山东省济宁市梁山一中2013-2014学年高二上学期期末模拟 数学理

梁山一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试
数学（理）
一．选择题(共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若集合M={－1,0,1},P={y|y=x2,x(M},则集合M与P的关系是（ ）
A.PM B.MP C.M=P D.M∈P
2.直线（为实常数）的倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知条件p：,条件q：，则“非p”是“非q”的（ ）
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.抛物线的准线方程是( )
A． B． C． D．
5．命题“对任意的”的否定是（ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．对任意的
6. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
7.双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则（　　）
A． B． C． D．
8.一个动圆与定圆：相内切，且与定直线：相切，则此动圆的圆心的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
9．直线与曲线的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11. 若，则的最小值是（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
12.关于函数的四个结论:
P1:最大值为；
P2:最小正周期为；
P3:单调递增区间为Z；
P4:图象的对称中心为Z.其中正确的命题个数（ ）
A.4 个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）．
13．直线的倾斜角的余弦值为______________________．
14．如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．
15．在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．
16．若圆与圆的公共弦的长为8，则___________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足4acosB－bcosC＝ccosB．
（1）求cosB的值；
（2）若，b＝3，求a和c．
18.(本小题满分12分)
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．
（1）求恰有一天空气质量超标的概率；
（2）求至多有一天空气质量超标的概率．
19. (本小题满分12分)
如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若平面，求二面角的
余弦值．
20. (本小题满分12分)
已知椭圆C:及直线L:.
（1） 当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；
（2） 当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程 .
21．(本小题满分12分)
已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
22.(本小题满分12分)
设为实数，且．
（1）求方程的解；
（2）若，满足f(a)=f(b)，求证：①；②
参考答案:
1-5 ADBBC 6-10 BBDBC 11-12 CB
13. 14. 15. 16.或
17.解：（1）由题意得 ，
由正弦定理得，，，
所以，
即，
所以，
又，
所以.
(2）由得，又，所以.
由，可得，
所以，即，
所以
18． 解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．
记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，
基本事件数为15 （1）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．
∴P(A)＝． （2）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，
其可能结果为ef，故P(C)＝，∴P(B)＝1－P(C)＝．
19．解：(1)法1：取PD中点F，连AF，FE，因为是的中点，∴FE∥DC，且FE=DC.又AB∥DC且AB=DC；∴FE∥AB,且FE=AB,∴四边形ABEF为平行四边形，∴AF∥BE ,平面,AF平面,∴//平面 …5分
法2：设，建立如图的空间坐标系，
，,，.
（1），，
所以,平面，平面.
（2）平面，，即
，，即.
在平面和平面中，，
设面的一个法向量为=(x,y,z),由(=0，且(=0；得
取y=1,得z=-1,x=2,∴
又平面的一个法向量为；
cos<,>==(=(
所以二面角的余弦值为．
20． 解： 由方程组 消去y，
整理得…2分
∴△
(1)因为直线和椭圆有公共点的充要条件是△，即，解之得
(2)设直线L和椭圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)
由韦达定理得 ……8分
∴弦长|AB|= =
= ，……10分
∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为．
21．解：（1）由题意可得，
解得，，故椭圆方程为． 　　
（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，
设，
因为，，故．
于是设直线的方程为，
由得．
由，得， 且,．
由题意应有，又，
故，得．
即．
整理得．
解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．
22． 解：由f(x)=1得，lgx=1所以x=10或
（2）结合函数图像，由f(a)=f(b)可判断 ，
从而-lga=lgb，从而ab=1
又， 令)
任取,
上为增函数. .
所以