甘肃省兰州市第五十八高级中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试卷（Word版含解析）

兰州市第五十八高级中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列{an}中，若a21＋a33＝6，则a25＋a27＋a29＝(　　)
A．6　　 B．9 C．12　　 D．54
2．若直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　)
A．2 B．－2 C． D．－
3．已知直线l：x－2y＋a－1＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a＝(　　)
A．－9 B．1 C．1或－2 D．1或－9
4．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
5．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　　)
A．36 B．35 C．34 D．33
6．已知二项式n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是(　　)
A．1 B． C． D．3
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　)
A．40种 B．30种 C．20种 D．60种
8．已知首项为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝，a7·a9＝，则a13＝(　　)
A．　　 B． C．±　　 D．±
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则(　　)
A．a0＝1 B．a1＋a2＋…＋a7＝129
C．a1＋a3＋a5＋a7＝8 256 D．a0＋a2＋a4＋a6＝8 128
10设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是(　　)
A． B． C． D．
11．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2
C．点M的横坐标为± D．△MF1F2的面积为2
12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　)
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则公差d＝________．
14．圆C：(x－1)2＋y2＝1关于直线l：x－y＋1＝0对称的圆的方程为______________．
15．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为________．
16．已知{an}是等差数列，{an＋bn}是公比为c的等比数列，a1＝1，b1＝0，a3＝5，则数列{an}的前10项和为________，数列{bn}的前10项和为________(用c表示)．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
18．(12分)某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．
19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
20．(12分)如图，过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F的直线交C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1x2＝－4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，R，Q的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．
21．(10分)在①a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列；②满足a5＝a6＋2a7，且a6＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且__________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn<.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)过点(，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答案及解析
1． 在等差数列{an}中，若a21＋a33＝6，则a25＋a27＋a29＝(　　)
A．6　　 B．9 C．12　　 D．54
【答案】B　【解析】∵在等差数列{an}中，a25＋a29＝a21＋a33＝2a27＝6，∴a27＝3，∴a25＋a27＋a29＝3a27＝9.
2．若直线l1：mx＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直，则实数m的值为(　　)
A．2 B．－2 C． D．－
【答案】B【解析】直线l1：y＝－x－，直线l2：y＝－x＋2，又∵直线l1与直线l2互相垂直，∴－×(－1)＝－1，即m＝－2．
3．已知直线l：x－2y＋a－1＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a＝(　　)
A．－9 B．1 C．1或－2 D．1或－9
【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l：x－2y＋a－1＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－2＝2，所以a2＋8a－9＝0，解得a＝1或a＝－9．
4．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x，由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，解得x＝c，所以A．把点A代入椭圆方程得到＋＝1，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因为0＜e＜1，所以可得e＝．
5．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　　)
A．36 B．35 C．34 D．33
【答案】D　【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA＝36，但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33.
6．已知二项式n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是(　　)
A．1 B． C． D．3
【答案】D　【解析】由2n＝64得n＝6，Tr＋1＝Cx6－r·r＝Cx6－3r，令6－3r＝3，得r＝1，故含x3项的系数为C＝3.
7．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　)
A．40种 B．30种 C．20种 D．60种
【答案】C　【解析】分类解决．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排，有A＝12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有A＝6(种)方法；甲排周三，乙，丙只能安排在周四和周五，有A＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知，共有12＋6＋2＝20(种)方法．
8．已知首项为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝，a7·a9＝，则a13＝(　　)
A．　　 B． C．±　　 D．±
【答案】B　【解析】首项为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝＝a，∴a3＝.∵a7·a9＝＝a，∴a8＝.设公比为q，则＝q5＝，∴q＝，则a13＝a8·q5＝×＝.
9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则(　　)
A．a0＝1 B．a1＋a2＋…＋a7＝129
C．a1＋a3＋a5＋a7＝8 256 D．a0＋a2＋a4＋a6＝8 128
【答案】BC　【解析】令x＝0，则a0＝－1，A错误；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128①，所以a1＋a2＋…＋a7＝129，B正确；令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7②，①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256，C正确；①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128，D错误．
10设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值为常数的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】ABC　【解析】因为在等比数列{an}中8a2＋a5＝0，设公比为q，所以8a2＋a2q3＝0，即q3＝－8，解得q＝－2，所以＝＝4，＝q＝－2，Sn＝＝，所以＝＝，＝＝.故选ABC．
11．已知F1，F2是双曲线C：－＝1的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F1F2为直径的圆经过点M，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2
C．点M的横坐标为± D．△MF1F2的面积为2
【答案】ACD【解析】由双曲线方程－＝1知a＝2，b＝，焦点在y轴，渐近线方程为y＝±x＝±x，A正确；c＝＝，以F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝6，B错误；由得或由对称性知点M横坐标是±，C正确；S△MF1F2＝|F1F2||xM|＝×2×＝2，D正确．故选ACD．
12．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　　)
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CC－C
【答案】ABD　【解析】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法，选法为CC；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种选法，有CC种，由分类加法计数原理知，总数为CC＋CC，错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝(C－C)种，正确；对于D，有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选，有CC种选法；②选化学，不选物理，有CC种选法；③物理与化学都选，有CC种选法，故总数为CC＋CC＋CC＝6＋10＋4＝20(种)，错误．故选ABD．
13．已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则公差d＝________．
【答案】2　【解析】{an}为等差数列，故由Sn－Sn－3＝51(n>3)可得an－2＋an－1＋an＝51，即3an－1＝51，an－1＝17，故a1＋an＝a2＋an－1＝20，故Sn＝＝10n＝100，n＝10，所以解得d＝2.
圆C：(x－1)2＋y2＝1关于直线l：x－y＋1＝0对称的圆的方程为______________．
【答案】(x＋1)2＋(y－2)2＝1
【解析】圆C：(x－1)2＋y2＝1圆心C(1,0)，半径r＝1，设圆C关于直线l：x－y＋1＝0的对称点C′(a，b)，则解得a＝－1，b＝2，即圆C的圆心关于直线l的对称圆心为C′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1．
15．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2|PF1|＝3|PF2|，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】2|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|＝6a，|PF2|＝4a．在△PF1F2中，利用余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos60°，化简整理得到c＝a，故e＝．
16.已知{an}是等差数列，{an＋bn}是公比为c的等比数列，a1＝1，b1＝0，a3＝5，则数列{an}的前10项和为________，数列{bn}的前10项和为________(用c表示)．
【答案】100　
【解析】因为{an}是等差数列，a1＝1，a3＝5，所以a3－a1＝2d＝4，解得d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以S10＝10×1＋×2＝100.因为{an＋bn}是公比为c的等比数列，且a1＋b1＝1，所以an＋bn＝cn－1，故bn＝cn－1－2n＋1，当c＝1时，T10＝＝－90，当c≠1时，T10＝(1＋c＋c2＋…＋c9)－(1＋3＋5＋…＋19)＝－100＋，综上T10＝
17.菱形ABCD的顶点A，C的坐标分别为A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
解：(1)kBC＝＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2．
∴AD边所在直线的方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0．
(2)kAC＝＝－．
∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝．
∵AC的中点(1,1)，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0．
18．某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．
解：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：
(1)4个名额全部分给某一个班，有C种分法；
(2)4个名额分给两个班，每班2个，有C种分法；
(3)4个名额分给两个班，其中一个班1个，一个班3个，共有A种分法；
(4)4个名额分给三个班，其中一个班2个，其余两个班每班1个，共有C·C种分法；
(5)4个名额分给四个班，每班1个，共有C种分法．
故共有C＋C＋A＋C·C＋C＝126(种)分配方法．
19已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝．
圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4．
两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2．
∴圆C1和圆C2相交．
(2)解：圆C1和圆C2的方程相减，
得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．
圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2．
如图，过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F的直线交C于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，且x1x2＝－4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，R，Q的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．
解：(1)由题意，设直线MN的方程为y＝kx＋，
由得x2－2pkx－p2＝0，
由题意知x1，x2是方程两根，所以x1x2＝－p2＝－4，
所以p＝2，抛物线的标准方程为x2＝4y．
(2)设R(x3，y3)，Q(x4，y4)，T(0，t)，因为点T在RQ的垂直平分线上，所以|TR|＝|TQ|，
得x＋(y3－t)2＝x＋(y4－t)2．
因为x＝4y3，x＝4y4，所以4y3＋(y3－t)2＝4y4＋(y4－t)2，
即4(y3－y4)＝(y3＋y4－2t)(y4－y3)，
所以－4＝y3＋y4－2t．
又因为y3＋y4＝1，所以t＝，故T．
于是S△MNT＝|FT||x1－x2|＝|x1－x2|．
由(1)得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
所以S△MNT＝|x1－x2|
＝
＝＝3≥3．
所以当k＝0时，S△MNT有最小值3．
21．(12分)在①a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列；②满足a5＝a6＋2a7，且a6＝这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
已知各项均为正数的数列{an}是等比数列，并且__________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn<.
(1)解：设等比数列的公比为q(q>0)，
若选择条件①，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，所以
即
解得
所以an＝a1qn－1＝8×＝24－n.
若选择条件②，由a5＝a6＋2a7，可得a1q4＝a1q5＋2a1q6.因为a1≠0，所以2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)，又因为a6＝，
所以an＝a1qn－1＝a6qn－6＝×＝24－n.
(2)证明：由(1)可知an＝24－n，所以bn＝a2n＝24－2n，所以＝＝，所以数列是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝＝＝－×<.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)过点(，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意可得＝，＋＝1，
又因为a2－b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)存在定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称，理由如下：
设直线l的方程为x＋my－＝0，与椭圆C联立，整理得(4＋m2)y2－2my－1＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意
t≠x1，t≠x2)，
则由韦达定理可得，y1＋y2＝，y1y2＝．
直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ，BQ的斜率互为相反数．
所以＋＝0，
即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0．
又因为x1＋my1－＝0，x2＋my2－＝0，
所以y1(－my2－t)＋y2(－my1－t)＝0，
整理得(－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0．
从而可得(－t)·－2m·＝0，
即2m(4－t)＝0，
所以当t＝，即Q时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立．特别地，当直线l为x轴时，Q也符合题意．
综上所述，存在x轴上的定点Q，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称．