甘肃省兰州市第五十八高级中学2022-2023学年高一下学期开学检测数学试卷（Word版含解析）

兰州市第五十八高级中学2022-2023学年高一下学期开学检测数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1． 已知全集U＝R，集合M＝{x|－3A．[－1,1] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) D．(－3，－1)
命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B． x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 D． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
3．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3 600人，有初中生2 400人，为了了解该校学生的近视情况，用分层随机抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　)
A．24 B．48 C．72 D．96
4．已知α是第二象限角，sin(π－α)＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
5． 已知集合A＝(－1,3]，B＝，则A∩B＝(　　)
A．[－2,1) B．(－1,1] C．(－1,1) D．[－2,3]
6．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　)
下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝ C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
8．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,4) D．(4，＋∞)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9． 已知<<0，则下列结论正确的有　(　　)
A．aC．|a|>|b| D．ab10． 下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．cos 400°>cos(－50°)
C．sin 3>sin 2 D．sin>cos
11．在某地区某传染病流行期间，为了建设指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是(　　)
A．平均数≤3 B．标准差s≤2
C．平均数≤3且极差小于或等于2 D．众数等于1且极差小于或等于4
12．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
14．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
15． 函数f(x)＝的定义域是________．
16．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18． （12分）某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按照质量指标值m划分等级如表：
质量指标值m m＜85 85≤m＜105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值)．
(1)求第75百分位数(精确到0.1)．
(2)在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少？
(3)将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品所获利润．
19．（12分）已知sin α＋cos α＝－．
(1)求sin αcos α的值；
(2)若＜α＜π，求－的值．
20．（12分）判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单调性．
21．（12分）已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知a∈R，函数f(x)＝log2．
(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围．
兰州市第五十八高级中学2022-2023学年高一下学期开学检测数学试卷
参考答案与试题解析
1． 已知全集U＝R，集合M＝{x|－3A．[－1,1] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) D．(－3，－1)
D　解析：阴影部分表示M∩( UN)．由U＝R，N＝{x||x|≤1}，可得 UN＝{x|x<－1或x>1}．又M＝{x|－32 命题“ x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是(　　)
A． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B． x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C． x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 D． x (0，＋∞)，ln x＝x－1
C　解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“ x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
3．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．已知某校有小学生3 600人，有初中生2 400人，为了了解该校学生的近视情况，用分层随机抽样的方法从该校的所有学生中随机抽取120名进行视力检查，则小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是(　　)
A．24 B．48 C．72 D．96
A　解析：由题意得，抽样比为＝，
所以小学生应抽取的人数为3 600×＝72，
初中生应抽取的人数为2 400×＝48，
所以小学生应抽取的人数与初中生应抽取的人数的差是72－48＝24．
4．已知α是第二象限角，sin(π－α)＝，则cos(π＋α)＝(　　)
A．－ B．－ C． D．
D　解析：因为α是第二象限角，sin(π－α)＝，可得sin α＝，所以cos α＝－＝－，则cos(π＋α)＝－cos α＝．
5． 已知集合A＝(－1,3]，B＝，则A∩B＝(　　)
A．[－2,1) B．(－1,1] C．(－1,1) D．[－2,3]
C　解析：∵A＝(－1,3]，B＝{x|－2≤x<1}，∴A∩B＝(－1,1)．
6．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则函数y＝loga|x|的大致图象是(　　)
B　解析：由于y＝a|x|的值域为[1，＋∞)，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数．又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称，所以y＝loga|x|的大致图象应为选项B．
7下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝
C．y＝|x| D．y＝－x2＋1
D　解析：A选项，根据y＝2x的图象知该函数非奇非偶，可知A错误；B选项，由y＝的定义域为[0，＋∞)，知该函数非奇非偶，可知B错误；C选项，当x∈(0，＋∞)时，y＝|x|＝x为增函数，不符合题意，可知C错误；D选项，函数的定义域为R，由－(－x)2＋1＝－x2＋1，可知该函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在(0，＋∞)上单调递减，可知D正确．
8．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(2,3) C．(3,4) D．(4，＋∞)
C　解析：易知f(x)是单调函数，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零点所在的区间是(3,4)．
9已知<<0，则下列结论正确的有　(　　)
A．aC．|a|>|b| D．abBD　解析：由<<0，得b|a|，b2>ab．
因此BD正确，AC不正确．
10下列不等式中成立的是(　　)
A．sin>sin B．cos 400°>cos(－50°)
C．sin 3>sin 2 D．sin>cos
BD　解析：y＝sin x在上单调递增，又－<－，
所以sincos 400°＝cos 40°>cos 50°＝cos(－50°)，故B成立．
y＝sin x在上单调递减，
又<2<3<π，所以sin 2>sin 3，故C不成立．
sin＝－sin，
cos＝－cos＝－sin＝－sin．
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增．
所以sincos，故D成立．
11．在某地区某传染病流行期间，为了建设指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是(　　)
A．平均数≤3 B．标准差s≤2
C．平均数≤3且极差小于或等于2 D．众数等于1且极差小于或等于4
CD　解析：对于A选项，若平均数≤3，不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，显然不符合题意；
对于C选项，若极差等于0或1，在≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则>3，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确；
对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．
设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)·g(x)是偶函数 B．|f(x)|·g(x)是奇函数
C．f(x)·|g(x)|是奇函数 D．|f(x)·g(x)|是偶函数
CD　解析：对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
13．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．
－　解析：因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，
所以＝＝＝－．
14．已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2)∪(2，＋∞)　解析：当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2． 当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2． 综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
15． 函数f(x)＝的定义域是________．
(－∞，－1]　解析：要使函数f(x)＝有意义，自变量x须满足：－2≥0，解得x≤－1，故函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]．
设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．
必要不充分　解析：因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲 乙，乙 / 甲；因为丙是乙的充要条件，即乙 丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙 丁，丁 / 丙．故甲 丁，丁 / 甲，即丁是甲的必要不充分条件．
17．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}， RP＝{x|x＜4，或x＞7}． 又Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以( RP)∩Q＝{x|－2≤x＜4}．
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以P是Q的真子集．
又Q＝{x|－2≤x≤5}，
分P＝ 或P≠ 两种情况讨论，
①当P＝ 时，a＋1＞2a＋1，所以a＜0．
②当P≠ 时，
所以0≤a≤2．
当a＝0时，P＝{1}是Q的真子集； 当a＝2时，P＝{x|3≤x≤5}也是Q的真子集．
综上所述，a的取值范围为{a|a≤2}．
18． 某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按照质量指标值m划分等级如表：
质量指标值m m＜85 85≤m＜105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值)．
(1)求第75百分位数(精确到0.1)．
(2)在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少？
(3)将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品所获利润．
解：(1)由题意可得，(0.002 5＋0.010 0＋0.020 0＋0.026 0＋0.009 0＋0.002 5＋x)×10＝1，解得x＝0.030，
所以产品质量在[65,105)的频率为0.625，产品质量在[65,115)的频率为0.885，
则第75百分位数在[105,115)内，
所以第75百分位数为105＋10×≈109.8．
(2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中一等品的频率为：
(0.026 0＋0.009 0＋0.002 5)×10＝0.375，
所以在样本中，一等品的件数为200×0.375＝75，
所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数为8×＝3(件)．
(3)由(2)知，从该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，则是二等品或三等品的概率为0.625，
故该企业销售600件这种产品，所获利润约为600×(0.375×10＋0.625×6)＝4 500(元)．
19．已知sin α＋cos α＝－．
(1)求sin αcos α的值；
(2)若＜α＜π，求－的值．
解：(1)由sin α＋cos α＝－，
两边平方得1＋2sin αcos α＝＝，
则sin αcos α＝－．
(2)－＝，
由(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝，得cos α－sin α＝±．
因为<α<π，所以sin α＞0，cos α＜0，则cos α－sin α＝－，
所以－＝＝＝．
20．判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单调性．
解：f(x)＝ax2＋(1任取1≤x1＜x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－＝(x2－x1)．
由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4,1＜x1x2＜4，－1＜－＜－．
又1＜a＜3，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
故当a∈(1,3)时，函数f(x)在[1,2]上单调递增．
21．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，得a＝－1，
故f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此解得a＝．
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0．
22．已知a∈R，函数f(x)＝log2．
(1)当a＝5时，解不等式f(x)＞0；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝5时，f(x)＝log2．
由f(x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0．
即不等式f(x)＞0的解集为∪(0，＋∞)．
(2)g(x)＝f(x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2(其中x＞0)．
因为函数g(x)＝f(x)＋2log2x只有一个零点，即g(x)＝0只有一个根，
即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一个解，
即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一个解．
①当a＝0时，方程x－1＝0，解得x＝1，符合题意．
②当a≠0时，设函数y＝ax2＋x－1．
当a＞0时，此时函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴，只有一个交点，符合题意．
当a＜0时，要使得函数y＝ax2＋x－1与x轴的正半轴只有一个交点，
则满足解得a＝－ ．
综上可得，实数a的取值范围是．