甘肃省兰州市第五十七高级中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试卷（Word版含解析）

兰州市第五十七高级中学2022-2023学年高二下学期开学检测数学试卷
选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0 C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
2已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．－1或1
3数列{an}为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)
A an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝
4圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
A．30 B．18 C．6 D．5
5 6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有(　　)
A．240种 B．192种 C．120种 D．96种
6直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
7已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为(　　)
B． C． D．
8已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(x≥) B．－＝1(x≤－)
C．＋＝1(x≥) D．＋＝1(x≤－)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)
A．a5＝1 B．Sn的最小值为S3
C．S1＝S6 D．Sn存在最大值
10 过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y＋1＝0
11设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
12 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　)
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝________，S4＝________．
14 l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
15已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为__________．
16已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 （10分）已知f(x)＝(2x＋1)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n．
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
18（12分）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
19 （12分）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．
(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；
(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；
(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法．
20 （12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
21（12分）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
22（12分）等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
答案及解析
1 若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)
A．a>0，c>0 B．a>0，c<0 C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
A　解析：直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0．
2已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．－1或1
C　解析：直线l1的斜率k1＝＝a．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝．因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1．当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，此时直线l2为y轴，又A(－2,0)，B(1,0)，则直线l1为x轴，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．
3数列{an}为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝
A　解析：方法一：数列{an}为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝．
4圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是(　　)
A．30 B．18 C．6 D．5
C　解析：由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为＋3＝8，最小距离为－3＝2，故最大距离与最小距离的差为6．
5 6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有(　　)
A．240种 B．192种 C．120种 D．96种
B　解析：共有7个人，老师在正中间，则老师左右各3人，所以甲、乙相邻在老师左右共有4种情况满足，剩下4人全排即可，所以不同的排法共有4×A×A＝192种．故选B．
6直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
A　解析：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0．因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆C相交．故选A．
7已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上．若|PF1|＝6，则∠PF1F2的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
A　解析：因为＋＝1，|PF1|＝6，|PF1|＋|PF2|＝2a＝16，所以|PF2|＝10．
而|F1F2|＝2＝10，
故cos∠PF1F2＝＝＝．
8已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(x≥) B．－＝1(x≤－)
C．＋＝1(x≥) D．＋＝1(x≤－)
A　解析：设动圆M的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4 b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)．
9 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是(　　)
A．a5＝1 B．Sn的最小值为S3
C．S1＝S6 D．Sn存在最大值
AC　解析：因为a1＋3a5＝S7，所以a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋d，
又因为d＝1，解得a1＝－3．
对选项A，a5＝a1＋4d＝1，故A正确；
对选项B，an＝－3＋n－1＝n－4，
因为a1＝－3<0，a3＝－1<0，a4＝0，a5＝1>0，
所以Sn的最小值为S3或S4，故B错误；
对选项C，S6－S1＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝5a4，
又因为a4＝0，所以S6－S1＝0，即S1＝S6，故C正确；
对选项D，因为a1＝－3<0，d＝1>0，所以Sn无最大值，故D错误．
10 过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y＋1＝0
CD　解析：当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为＋＝1，代入点A的坐标求出a＝－1，方程为x－y＋1＝0．故选CD．
11设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
BCD　解析：如图，
由题意知|AB|＝2|FH|＝2p，
所以xA＝，从而yA＝p，又S△ABF＝|AB|·yA＝p2＝9，所以p＝3，
所以抛物线C的方程为y2＝6x，C正确，D正确；
所以|BF|＝|AF|＝＝2p＝6，A错误；
又|AB|＝2p＝6，所以△ABF为等边三角形，所以B正确．故选BCD．
12 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　)
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA
AD　解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，A正确；
对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，B错误；
对于C，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，
则有A种安排方法，C错误；
对于D，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出1人开车，②从丙，丁，戊中选出2人开车，则有CCA＋CA种安排方法，D正确．故选AD．
13已知{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a2＋2a3＝6，则公比q＝________，S4＝________．
　　解析：由a1＝6，a2＋2a3＝6，可得a1q＋2a1q2＝6q＋12q2＝6，即2q2＋q－1＝0，解得q＝或q＝－1(舍去)．所以S4＝＝．
14 l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
x＋2y－3＝0　解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．
15已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，直线y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点．若AF⊥BF，则实数k的值为__________．
－　解析：依题意联立直线与椭圆方程得消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4kx＝0，解得x＝0或x＝，不妨取xA＝0，则yA＝1，xB＝，yB＝k·＋1＝，所以A(0,1)，B．又F(1,0)，所以kAF＝－1．因为AF⊥BF，所以kBF＝1，即＝1，即＝－1，所以1－2k2＝－4k－(2k2＋1)，解得k＝－．
16已知二项式的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的有理项系数和为________．
65　解析：因为展开式的二项式系数和为64，
所以2n＝64，所以n＝6．
所以Tk＋1＝C(2x)6－k＝(－1)kC·26－kx，
当k＝0时，T1＝(－1)0C26x9＝64x9；
当k＝6时，T7＝(－1)6C20x－2＝x－2．
所以展开式中的有理项系数和为64＋1＝65．
17．已知f(x)＝(2x＋1)n展开式的二项式系数和为128，且(1＋2x)n＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n．
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．
解：(1)由f(x)＝(1＋2x)n展开式的二项式系数和为128，
可得2n＝128＝27，即n＝7．
由(1＋2x)7＝[2(x＋1)－1]7＝C[2(x＋1)]7＋C[2(x＋1)]6(－1)1＋…＋C[2(x＋1)](－1)6＋C(－1)7，
得a2＝C(－1)522＝－84．
(2)令x＋1＝0，得a0＝－1，
令x＋1＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，
所以a1＋a2＋…＋a7＝2．
18已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解：(1)由题意可得，直线l的斜率存在．
设过点A(0,1)且斜率为k的直线l的方程：y＝kx＋1，
即kx－y＋1＝0．
由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径R＝1．
由直线l与圆C交于M，N两点，
则<1，
解得所以k的取值范围为．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题意可得，经过点M，N，A的直线方程为
y＝kx＋1，
代入圆C的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
可得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)
＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝．
由·＝x1x2＋y1y2＝＝12，
解得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．
圆心C在直线l上，MN的长即为圆的直径．
所以|MN|＝2．
19现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学(要求用数字作答)．
(1)若5本书完全相同，求共有多少种分法；
(2)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，求共有多少种分法；
(3)若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，求共有多少种分法．
解：(1)根据题意，5本书完全相同，
将这5本书和2个挡板排成一排，利用挡板将5本书分为3组，对应3位同学即可，
则有C＝21(种)不同的分法．
(2)根据题意，分2步进行分析：
①将5本书分成3组，
若分成1,1,3的三组，有＝10(种)分组方法．
若分成1,2,2的三组，有＝15(种)分组方法，
从而分组方法有10＋15＝25(种)．
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有A＝6(种)情况，
根据分步乘法计数原理，故共有25×6＝150(种)分法．
(3)记这5本书分别为A，A，B，C，D,5本书取其3本分配时，
①不含A时仅有一种分组，再分配给3人，有3种方法；
②仅含一个A时，分组的方法有C种，再分配给3人，共有C×A＝18(种)方法；
③含两个A时，分组的方法有C种，再分配给3人，共有C×A＝18(种)方法．
从而共有18＋18＋3＝39(种)分法．
20 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2．
(1)求C的方程；
(2)若斜率为－的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，O为坐标原点．证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
(1)解：由题意可得解得
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：设直线l的方程为y＝－x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故y1y2＝
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，
kOPkOQ＝＝＝＝k，
即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
21如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解：(1)设抛物线的方程为y2＝2px，
把P(1,2)代入得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．
(2)因为直线PA和PB的倾斜角互补，
所以kPA＋kPB＝0，
所以＋＝＋＝0，
所以＋＝0，所以y1＋y2＝－4，
kAB＝＝＝＝－1．
22等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)由的前n项和为Sn＝知
可得
设等差数列{an}的公差为d，
从而
解得或又a1>0，则
故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n，
则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
两边同时乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1，
故Tn＝＋·4n＋1．