2022-2023学年北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程 同步练习题（含解析）

第五章 分式与分式方程 同步练习题2022-2023学年北师大版八年级数学下册
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列代数式中,是分式的是(　　)
A.　　　　　B.-　　　　　C.　　　　　D.
2.分式与-的最简公分母是 (　　)
A.6x3y　　　　　B.6x2y　　　　　C.18x2y　　　　　D.18x3y
3.下列分式变形中,正确的是 (　　)
A.=　　　　　　B.= C.=　　　　　　D.=
4.已知分式的值为0,则 (　　)
A.x≠3　　　　　　B.x=-3 C.x=3　　　　　　D.x=±3
5.在下列方程中,分式方程的个数为 (　　)①x2-x+4=0;②=4(a为常数);③=4(a为常数);④=1;⑤=6;⑥+=2(a为常数).
A.2　　　　　　B.3　　　　　 C.4　　　　　　D.5
化简÷的结果是 (　　)
A.x-1　　　　　B.x+1　　　　　C.　　　　　D.
7.若分式方程=2+无解,则a的值为 (　　)
A.-4　　　　　　B.0.5　　　　　 C.2　　　　　　D.-2
8.早晨,小明和小亮同时从家里出发,分别到距家1.2 km和2.7 km的学校去上课.若小明步行,小亮骑自行车,小亮的速度是小明的3倍,结果比小明早到5 min,求小明和小亮的速度.设小明的速度为x m/min,则依题意可列方程为 (　　)
A.-=5　　　　　　 B.-=5
C.-=5　　　　　　D.-=
9.关于x的分式方程=1,下列说法正确的是 (　　)
A.方程的解是x=m-3 B.当m>3时,方程的解是正数
C.当m<3时,方程的解为负数 D.当m=3时,方程无解
10.规定一种新的运算“JQx→+∞”,其中A和B是关于x的多项式.当A的次数小于B的次数时,JQx→+∞=0;当A的次数等于B的次数时,JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商;当A的次数大于B的次数时,JQx→+∞不存在.
例:JQx→+∞=0,JQx→+∞=.
若=÷,则JQx→+∞的值为(　　)
A.0　　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　　D.不存在
二、填空题(每小题4分,共28分)
11.若分式有意义,则x的取值范围是　　　　.
12.计算:+=　　　.
13.当a=-2,b=时,的值是　　　　.
14.已知等式“-=”被墨迹覆盖了一部分,则被墨迹覆盖的部分是　　　　.
15.用换元法解方程-=5,设=y,则得到关于y的整式方程为　　　　　　　.
16.分式的值是整数,则正整数m的值等于　　　　.
17.若关于x的分式方程-=的解是正数,则a的取值范围是　　　　　　.
三、解答题(共42分)
18.(6分)解下列分式方程:
(1)=;　　(2)+=-1.
19.(8分)先化简,再求值:÷,其中a取0≤a≤2的整数.
20.(8分)刘芳和李婷进行跳绳比赛.已知刘芳每分钟比李婷多跳20个,刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等.求李婷每分钟跳绳的个数.
21.(8分)如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg.
(1)“丰收1号”每平方米的产量为　　　　 kg,“丰收2号”每平方米的产量为　　　　kg(结果用含a的式子表示);
(2)若“丰收2号”每平方米的产量是“丰收1号”每平方米的产量的1.5倍,求a的值.
22.(12分)某市计划对道路进行维护.已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%,甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天.
(1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度分别是多少千米;
(2)若某市计划对200千米的道路进行维护,每天需付给甲工程队的费用为25万元,每天需付给乙工程队的费用为15万元,考虑到要不超过26天完成整个工程,因工程的需要,两队均需参与,该市安排乙工程队先单独完成一部分,剩下的部分两个工程队再合作完成.问乙工程队先单独做多少天,该市需付的整个工程费用最低 整个工程费用最低是多少万元
参考答案
1.B　分式的分母中必须含有字母,只有B选项满足,故选B.
2.B　分式与-的最简公分母是6x2y.
故选B.
3.C　根据分式的分子、分母都乘或除以同一个不为零的整式,分式的值不变,可知C中变形正确.
故选C.
4.B　根据题意得|x|-3=0且x-3≠0,
∴x=-3,
故选B.
5.B　由分式方程的定义可知,③④⑤是分式方程.故选B.
6.D　÷=·=,
故选D.
7.A　去分母得x=2(x-4)-a,
解得x=a+8,
∵分式方程无解,
∴a+8=4,
解得a=-4.
故选A.
8.B　小明的速度为x m/min,则小亮的速度为3x m/min,由题意得-=5,故选B.
9.B　方程两边同乘(x+3)得m=x+3,
移项得x=m-3.
∵当x+3=0,即x=-3时,方程产生增根,
∴当x≠-3,即m-3≠-3时,方程的解是x=m-3,故A选项不符合题意;
当m>3时,x=m-3>0,
∵当x=-3时,方程产生增根,
∴m-3≠-3,即m≠0,
∴当m>3时,方程的解是正数,故B选项符合题意;
当m<3时,x=m-3<0,
∵当x=-3时,方程产生增根,
∴m-3≠-3,即m≠0,
∴当m<3且m≠0时,方程的解是负数,故C选项不符合题意;
当m=3时,方程的解为x=0,故D选项不符合题意.
故选B.
10.C　=÷
=÷
=·
=,
∴A的次数等于B的次数,
∴JQx→+∞=,
故选C.
11.答案　x≠1
解析　∵分式有意义,
∴x-1≠0,解得x≠1.
故答案为x≠1.
12.答案　2
解析　+===2.
13.答案　
解析　原式=
==,
当a=-2,b=时,原式==.
14.答案　
解析　被墨迹覆盖的部分是-===,
故答案为.
15.答案　y2-10y-6=0
解析　∵=y,
∴-=y-=5,
整理得y2-10y-6=0.
故答案为y2-10y-6=0.
16.答案　2或3或5
解析　∵分式的值是整数,∴m-1=±4或±2或±1,又∵m为正整数,
∴m=2或3或5,
故答案为2或3或5.
17.答案　a>-5且a≠-1
解析　-=,
去分母,得(x-1)(x+1)-(x-2)2=2x+a,
整理得4x-5=2x+a,
∴2x=a+5,
∴x=,
∵方程的解为正数,∴a+5>0,∴a>-5,∵x≠2,-1,∴a≠-1,-7,∴a>-5且a≠-1,
故答案为a>-5且a≠-1.
18.解析　(1)去分母得2(x-1)=x+1,解得x=3,
经检验,x=3是原方程的根.
∴原方程的解为x=3.
(2)去分母得(2+x)2-16=-(4-x2),解得x=2,
经检验,x=2是分式方程的增根,
∴原方程无解.
19.解析　原式=÷
=÷
=÷
=·
=.
∵a-1≠0且a-2≠0且a+1≠0且a+2≠0,
∴a≠±1且a≠±2.
∵a取0≤a≤2的整数,
∴a=0.
当a=0时,原式==-.
20.解析　设李婷每分钟跳绳的个数为x,则刘芳每分钟跳绳的个数为x+20,
由题意得=,
解得x=160,
经检验,x=160是所列分式方程的解,且符合题意.
答:李婷每分钟跳绳的个数为160.
21.解析　(1)“丰收1号”每平方米的产量为 kg,
“丰收2号”每平方米的产量为 kg,
故答案为;.
(2)由题意,可得×1.5=,
解得a=5,
经检验,a=5是原分式方程的解,且符合题意.
∴a的值为5.
22.解析　(1)设乙工程队每天维护道路的长度是x千米,则甲工程队每天维护道路的长度是(1+50%)x千米,
依题意得-=1,
解得x=4,
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意,
∴(1+50%)x=6.
答:甲工程队每天维护道路的长度是6千米,乙工程队每天维护道路的长度是4千米.
(2)设乙工程队先单独做m天,
依题意得m+≤26,
解得m≤10.
设所需工程费用为w万元,则w=15m+(25+15)×=-m+800,
∵-1<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=10时,w取得最小值,最小值为-10+800=790,
即乙工程队先单独做10天,该市需付的整个工程费用最低,整个工程费用最低是790万元.