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6.2.4 平面向量的运算（2）-数量积
【学习要求】
1.平面向量的数量积；
2.平面向量的数量积的几何意义；
3.向量的数量积与实数的乘法的区别。
【思维导图】
【知识梳理】
1.两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
3.投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
4.平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积的运算律
1）a·b＝b·a(交换律). 2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【高频考点】
高频考点1.向量的数量积的定义和几何意义
【方法点拨】
平面向量数列积的物理背景：如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.
平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).记作：，即.
1．（2022·广东高一课时练习）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000J B． C．2000J D．500J
【答案】A
【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．故选：A．
2．（2023·河北高一课时练习）已知一个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为，则力所做的功______J．
【答案】300
【分析】直接用向量的数量积即可求得.
【详解】.故答案为：300.
3.（2022·山东·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A：，A正确；
B：设，则，设，则，
因为与非零不共线，所以一般情况下，故B错误；
C：向量数乘的数量积满足结合律，C正确；D：数量积满足交换律，D正确；故选：B
4．（2022·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断
【详解】由数量积的定义知，
对于①，若，则或，不一定成立，①错误
对于②，成立，②正确
对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误
对于④，，④正确故选：B
5.（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．不与垂直
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确；
对于B，，
所以与垂直，故B错误；
对于C，因为不共线，所以组成三角形的三边，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.故选:ACD.
高频考点2 . 数量积的运算（一）
【方法点拨】求向量的数量积的两个关键点：
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简。
求平面向量数量积的方法
（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；
（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：
； ；。
1.（2023·全国·高一专题练习）已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．
【答案】3
【解析】向量和向量的夹角为，，，
又，.
2.（2022·广东高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______.
【答案】-268
【解析】
.
3．（2022·广东·深圳市高一期中）已知向量，，与的夹角为.
（1）求；（2）求.
【答案】（1）（2）
（1）解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，又由.
（2）解：因为向量，，且，所以.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角大小为，且，，求的值．
【答案】13
【详解】根据题意，得.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，．
（1）；（2）求证：．
【答案】（1）（2）证明见解析
（1）解：因为，是夹角为60°的两个单位向量，所以，因为，，
所以
（2）解：因为，，所以，，
所以，
所以；
6.（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.
【答案】6
【解析】由，得，两边平方，得，
因为，所以，得.
高频考点3 . 数量积的运算（二）几何图形中的数量积运算
【方法点拨】解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路：
解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征。利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。
1.（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为是等边三角形，所以.
所以是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，所以.
所以.故选：B
2．（2022·安徽高一阶段练习）在中，向量与满足，且，则为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】，分别为向量与的单位向量，
因为，所以角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，且，
由，，所以，
所以，可得，所以是等腰直角三角形.故选：D.
3．（2022·安徽宣城·高一期中）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（ ）
A．以为底边的等腰三角形 B．以为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．以为斜边的直角三角形
【答案】B
【详解】，
所以，所以是以为底边的等腰三角形，故选：B.
4．（2022春·重庆北碚·高一校考阶段练习）（多选题）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．
【详解】，A正确；
由向量加法的平行四边形法则知是以为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是，易知该平行四边形的对角线长不等于的二倍，即，而，因此B错误；，C正确；
，在上的投影为，又，
∴在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．
5．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则___________．
【答案】
【分析】注意到结论“为重心，则”，不妨创设条件：，则可得直角三角形，从而可得.
【详解】因为为重心，则，又因为，
不妨设，所以，
所以，所以，
所以故答案为：.
高频考点4. 向量的模的相关计算
【方法点拨】解决与向量的模有关的问题的基本思路：
或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化
1、（2022秋·上海长宁·高一期末）设向量、满足，则_______．
【答案】2
【解析】，故.
2、（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【解析】∵向量满足，，，
，，
，，故选：D
3.（2023春·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.
【答案】
【解析】由图知：，则，
又，则.
4、（2022·高一课时练习）已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.
【答案】2
【解析】设，的夹角为，则，
因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以.
5、（2022秋·上海黄浦·高一校考期末）平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，，所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
高频考点5 . 向量夹角的计算
【方法点拨】
求两向量夹角的基本思路：求两非零向量的夹角θ或余弦值一般利用夹角公式求解.
据题中条件分别求出和.确定θ时要注意，当时，；当时，；当时，.此外，往往将夹角的最值问题转化为模的范围研究，因此基本不等式是重要的工具.
1.（2022秋·湖北·高一联考阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，故选：A
2、（2022秋·广西桂林·高一统考期末）已知单位向量的夹角为，向量 ，则的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由单位向量的夹角为，得，
，
，，
于是得，而，即，
所以的夹角等于.故选：C
3.（2022·重庆北碚·高一期末）已知向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量，满足，
由，可得，即，即
又由，可得，
即，解得，即，又因为，
因为，所以，即与的夹角为.故选：B.
4.（2022·山东聊城·高一校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知向量在向量上的投影向量为，
则，即，
而，故，故选：D
5、（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，
所以向量，，间的夹角均为，不妨设
所以，
，
所以，
因为，所以，即与的夹角为.故选：A
6、（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量 的夹角为，且，设，.（1）求；（2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）.
（2）.
（3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行.
其中，而，
高频考点6. 垂直关系的向量表示
【方法点拨】
1.（2022·重庆高一练习）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.
【答案】11
【解析】因为平面向量，的夹角为，且，所以，
因为，所以，
所以，解得.
2、（2022秋·河北邢台·高一校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则______．
【答案】3
【解析】∵，∴，∴所以.
3．（2022·山西高一期中）已知，若向量与垂直，则实数的值为 ;
【答案】；
【详解】∵向量与垂直,∴,
即,解得.
4、（2022秋·北京·高一校考期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】因为、为非零向量，且，，
因此，“”是“”的充要条件.故选：C.
5.（2022·上海普陀·高一校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
又，令则上式等价于，对任意的恒成立，
故，解得，解得，即；
对A：由，故不成立，A错误；
对B：，不确定其结果，故不一定成立，B错误；
对C：，故，C正确；
对D：，不确定其结果，故不一定成立，D错误.故选：C.
6．（2022秋·陕西商洛·高一期末）已知向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简可得，进而根据数量积的性质得，从而得到的最大值
【详解】，因为，，所以，，所以.又，，所以，当且仅当与反向时，等号成立，所以的最大值为36+6.故选：A
高频考点7 . 利用平面向量数量积求参数问题
1．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【详解】由题意可得：，，
化简得，解得.故选：B.
2．（2022·辽宁实验中学二模）若存在单位向量，满足，，则的值为（ ）．
A．1 B．或1 C．0 D．1或0
【答案】D
【详解】，是单位向量，则，
，
于是有，即，显然，则或1，
所以的值为为1或0．故选：D
3．（2022·江西·高二阶段练习）在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为
所以当时，取最小值.故选：B.
4．（2022·天津高三阶段练习）若单位向量，的夹角为，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得
所以，即，所以故选：A
5．（2022·河北·邢台一中高三阶段练习）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意 ，可得，
即，解得.故选：C.
高频考点8. 向量的投影及投影向量
【方法点拨】
1.（2022·上海黄浦·高一期末）已知，则在方向上的投影是_____．
【答案】
【解析】已知，得.
当时，得在上的投影为，
当时，得在上的投影为.
2.（2022秋·江西南昌·高一统考期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】易得，则向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
3.（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】，，和的夹角为，
则在的方向上的投影向量的模长为故选：C
4.（2022·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设的中点为，则，所以，
所以外心与中点重合，故为直角三角形.
设，则，，，
设为方向上的单位向量，则
在上的投影向量为.故选：C.
5、（2022秋·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．
（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，∴，即，
又，∴，∴，
又向量夹角范围是，∴与的夹角为；
（2）∵，
∴向量在向量上的投影为．
6、（2022·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，，．（1）求的值；（2）设在上的投影向量为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，即，解得；
（2）在上的投影向量为，故.
高频考点9. 向量的数量积综合问题
1.（2022·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
可得可变形为
由可知，，解得
2.（2022春·江苏南京·高三联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由已知有，∴，得，
∴，当且仅当时取等号.即的最大值为.
3.（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）（多选）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】BC
【解析】由题意：
因为正六边形的边长为2，所以圆心到各边的距离为：，
所以，所以，故选：BC．
4.（2022秋·四川巴中·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为等边三角形，是边的中点，故,,
又是线段上任意一点，故设，
因为，所以.
故,
又,故.故选：C
5、（2022秋·江西萍乡·高一统考期中）如图：直角三角形ABC中，ACBC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点，
（1）若M是CD的中点，求的值；（2）)·的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）是的斜边上的中线，
，得
，，
．
（2）设，则．其中
是的中线，，
得，
当且仅当时，的最小值为．
即当时，的最小值为
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据向量的数量积的性质，求向量的模长，可进行自身平方开根号，可得答案.
【详解】由，可得，则，
将，代入可得：，可得：，
则，故选：C.
2．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量 的夹角为，，再利用数量积的公式和运算化简已知等式求解.
【详解】设向量 的夹角为，，因为为单位向量，，
因为，所以，所以.
因为，所以.故选：B
3．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据投影的定义式直接求得即可.
【详解】向量在向量方向上的投影等于.故选：C.
4．（2022·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解.
【详解】解：因为在方向上的投影向量为，所以，所以，
因为与垂直，所以，即，解得.故选：B.
5．（2022秋·河南濮阳·高一统考期中）在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由是的中点可知：，则，由此即可计算出答案.
【详解】因为是的中点，所以,
又因为，，所以
所以.故选：C.
6．（2022秋·吉林·高一校考阶段练习）若非零向量 和 满足 ， 且 ， 则 一定是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．有一个内角为 的锐角三角形
【答案】B
【分析】据单位向量的定义及向量加法的定义可得，再由数量积的定义求出，即可判断.
【详解】解：因为表示与同向的单位向量， 根据向量的性质可得，
在的角平分线上（设角平分线为，
，从而有，所以，
又因为且，所以，
又，所以，所以，则，
所以三角形为等腰直角三角形.故选：B．
7．（2022秋·山西吕梁·高一统考期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点P是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出在方向上的投影的取值范围，再由数量积的定义求出的取值范围即可.
【详解】
如图，作的延长线于M，的延长线于N，根据正八边形的特征，可知，
于是在方向上的投影的取值范围为，结合向量数量积的定义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
又，∴的最大值为，
的最小值为．则的取值范围是.故选：B．
8．（2022·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，非零向量的夹角为，且，则，
不等式对任意恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数的取值范围为.故选：A.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一专题练习），是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由数量积公式可得，计算是否等于0可判断A选项；求出可判断B选项；
对平方再开方计算可判断C选项；计算出，由向量的夹角公式计算可判断D选项．
【详解】由向量，是夹角为的单位向量，可得，
∵，，∴，
∴不成立，故A错误；，∴，故B正确；
由，可得，故C错误；
，则，故D正确．
故选：BD．
10．（2022秋·黑龙江鸡西·高一统考期末）已知向量，，和实数，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．若，则或 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】A：因为表示的向量与共线，向量表示的向量与共线，而向量，不一定是共线向量，所以本选项不正确；B：由共线向量的性质和向量数量积的定义可知本选项正确；
C：当向量，都是非零向量且互相垂直时，显然，所以本选项不正确；
D：当为零向量时，显然成立，但是不一定成立，所以本选项不正确，故选：ACD
11．（2022·高一单元测试）已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】先求出，由题意列不等式组，解得且.对照选项得到正确答案.
【详解】因为向量，满足，且与的夹角为，
所以．因为与的夹角为钝角，
所以，化简得：，解得：且.
对照四个选项，实数的值可以是和.故选：BC
12．（2022秋·山东临沂·高一期中）已知非零平面向量满足，，其中.若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意求得且，以及，设，求得，则，列出不等式组，求得的取值范围，利用，设，结合二次函数的性质和选项，即可求解.
【详解】因为，可得，
可得且，由，其中，
所以，
设，可得，即，
代入上式，可得，即，
解得，则，
又由且，解得或，
因为
，
设，当时，可得；当时，可得，
结合选项，可得的值可能为和.故选：BC.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
【答案】##-0.5
【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.
【详解】，，得
，解得故答案为：
14．（2022秋·湖北襄阳·高一校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则__________．
【答案】
【分析】先求得，从而求得.
【详解】由两边平方得，，.
所以.故答案为：
15．（2022秋·上海金山·高一校考期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
【答案】
【分析】由数量积及运算性质，利用列方程求解即可.
【详解】，即，即，解得或（舍）.故答案为：3.
16．（2022秋·上海·高一校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是__.
【答案】
【分析】计算得到，平方化简得到，，计算得到最值.
【详解】由，得，
所以，当和共线时等号成立，
所以，即，所以，
又，当时取等号.
所以的最大值是.故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·广东阳江·高一校考期中）已知向量满足，且.(1)求；(2)记向量与向量的夹角为，求.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用数量积的定义求出，进而求出；（2）利用夹角公式求出.
【详解】（1）因为，所以.
因为向量满足，所以，所以.
所以.
（2）因为，
所以.
18．（2022秋·上海普陀·高一校考期中）已知，，．
(1)求；(2)求的值．
【答案】．(1)(2)
【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解.
（2）用公式，展开即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以，即，
即，又，所以
（2）
19．（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；(2)求；(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可；
（2）根据结合数量积的运算律计算即可；
（3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可.
（1）解：因为，，所以，
又因，所以；
（2）解：；
（3）解：当向量与向量互相垂直时，
，即，即，解得.
20．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，，求解.
【答案】．(1)；(2)4.
【分析】（1）根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示出来，从而可求出，进而可求出的值；（2）根据平面向量基本定理结合已知条件将，用表示出来，再由列方程可求出.
【详解】（1）因为点在边上，且，所以，
因为是线段的中点，所以，
因为，不共线，所以，所以；
（2）由题意可得，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，，所以，得，所以.
21．（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据投影向量定义可得在方向上的投影向量为，结合条件化简即可；
(2)根据向量的模的性质由条件求出的表达式，再通过换元法求其最小值.
（1）
由数量积的定义可知：，所以在方向上的投影向量为：
；
（2）
又，，所以
令所以
所以当时，取到最小值为
22．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．
(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值
【答案】(1)-6(2)或
【分析】（1）利用数量积的运算律和定义求解；
设，由 求解.
（1）解：因为，，，，
所以．
（2）因为点M在直线上移动，所以设，
则 ，，，
当时，的最小值为，则，故．
又，所以或
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6.2.4 平面向量的运算（2）-数量积
【学习要求】
1.平面向量的数量积；
2.平面向量的数量积的几何意义；
3.向量的数量积与实数的乘法的区别。
【思维导图】
【知识梳理】
1.两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
3.投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
4.平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积的运算律
1）a·b＝b·a(交换律). 2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【高频考点】
高频考点1.向量的数量积的定义和几何意义
【方法点拨】
平面向量数列积的物理背景：如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.
平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).记作：，即.
1．（2022·广东高一课时练习）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000J B． C．2000J D．500J
2．（2023·河北高一课时练习）已知一个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为，则力所做的功______J．
3.（2022·山东·高一课时练习）已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·山西太原·高一统考期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）
A． B．不与垂直
C． D．
高频考点2 . 数量积的运算（一）
【方法点拨】求向量的数量积的两个关键点：
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简。
求平面向量数量积的方法
（1）定义法：若已知向量的模及夹角，则直接利用公式，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件；
（2）运算律转化法：由可得如下运算公式：
； ；。
1.（2023·全国·高一专题练习）已知向量和向量的夹角为30°，，，则______．
2.（2022·广东高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则______.
3．（2022·广东·深圳市高一期中）已知向量，，与的夹角为.
（1）求；（2）求.
4．（2022·全国·高一课时练习）已知向量与的夹角大小为，且，，求的值．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，，．
（1）；（2）求证：．
6.（2022秋·安徽黄山·高一统考期末）已知向量，，满足，，，，，则_________.
高频考点3 . 数量积的运算（二）几何图形中的数量积运算
【方法点拨】解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路：
解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征。利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解。
1.（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形，点D为边的中点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2022·安徽高一阶段练习）在中，向量与满足，且，则为（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022·安徽宣城·高一期中）为平面上的定点，是平面上不共线的三点，若，则是（ ）
A．以为底边的等腰三角形 B．以为底边的等腰三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．以为斜边的直角三角形
4．（2022春·重庆北碚·高一校考阶段练习）（多选题）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH，其中=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
5．（2023·全国·高三专题练习）设为的重心，若，则___________．
高频考点4. 向量的模的相关计算
【方法点拨】解决与向量的模有关的问题的基本思路：
或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化
1、（2022秋·上海长宁·高一期末）设向量、满足，则_______．
2、（2023·广西梧州·统考一模）已知向量，满足，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
3.（2023春·北京昌平·高一统考期末）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________.
4、（2022·高一课时练习）已知，若向量在向量上的投影向量为，则______.
5、（2022秋·上海黄浦·高一校考期末）平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．
高频考点5 . 向量夹角的计算
【方法点拨】
求两向量夹角的基本思路：求两非零向量的夹角θ或余弦值一般利用夹角公式求解.
据题中条件分别求出和.确定θ时要注意，当时，；当时，；当时，.此外，往往将夹角的最值问题转化为模的范围研究，因此基本不等式是重要的工具.
1.（2022秋·湖北·高一联考阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2022秋·广西桂林·高一统考期末）已知单位向量的夹角为，向量 ，则的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·重庆北碚·高一期末）已知向量，满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·山东聊城·高一校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022秋·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6、（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量 的夹角为，且，设，.（1）求；（2）试用来表示的值；（3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围.
高频考点6. 垂直关系的向量表示
【方法点拨】
1.（2022·重庆高一练习）已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.
2、（2022秋·河北邢台·高一校联考阶段练习）已知向量，满足，，，则______．
3．（2022·山西高一期中）已知，若向量与垂直，则实数的值为 ;
4、（2022秋·北京·高一校考期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5.（2022·上海普陀·高一校考阶段练习）已知向量，对任意的，恒有，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·陕西商洛·高一期末）已知向量满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点7 . 利用平面向量数量积求参数问题
1．（2022·全国·高三专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（ ）
A． B．－ C． D．－
2．（2022·辽宁实验中学二模）若存在单位向量，满足，，则的值为（ ）．
A．1 B．或1 C．0 D．1或0
3．（2022·江西·高二阶段练习）在中，，且，则取最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津高三阶段练习）若单位向量，的夹角为，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北·邢台一中高三阶段练习）已知向量与的夹角是，且，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点8. 向量的投影及投影向量
【方法点拨】
1.（2022·上海黄浦·高一期末）已知，则在方向上的投影是_____．
2.（2022秋·江西南昌·高一统考期末）在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C．1 D．
3.（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）若，，和的夹角为，则在的方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B． C．2 D．4
4.（2022·浙江·高一校联考期中）已知是的外心，且满足，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022秋·四川绵阳·高一统考期末）已知平面向量满足，且．
（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影．
6、（2022·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知平面向量，满足，，．（1）求的值；（2）设在上的投影向量为，求实数的值．
高频考点9. 向量的数量积综合问题
1.（2022·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知向量满足，，则的取值范围是_________．
2.（2022春·江苏南京·高三联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．
3.（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）（多选）如图，正六边形的边长为2，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
4.（2022秋·四川巴中·高一统考期末）若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022秋·江西萍乡·高一统考期中）如图：直角三角形ABC中，ACBC，AB=2，D是AB的中点，M是CD上的动点，
（1）若M是CD的中点，求的值；（2）)·的最小值.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·辽宁锦州·高一统考期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．5
2．（2022秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知向量 是单位向量， 且，则向量与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习），，向量与向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影等于（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022·高一课时练习）设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022秋·河南濮阳·高一统考期中）在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·吉林·高一校考阶段练习）若非零向量 和 满足 ， 且 ， 则 一定是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．有一个内角为 的锐角三角形
7．（2022秋·山西吕梁·高一统考期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点P是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·高一期中）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一专题练习），是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·黑龙江鸡西·高一统考期末）已知向量，，和实数，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．若，则或 D．若，则
11．（2022·高一单元测试）已知向量，满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·山东临沂·高一期中）已知非零平面向量满足，，其中.若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·湖南株洲·高一校联考期中）已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．
14．（2022秋·湖北襄阳·高一校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则__________．
15．（2022秋·上海金山·高一校考期末）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．
16．（2022秋·上海·高一校考期中）已知平面向量满足，则的最大值是__.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022春·广东阳江·高一校考期中）已知向量满足，且.(1)求；(2)记向量与向量的夹角为，求.
18．（2022秋·上海普陀·高一校考期中）已知，，．
(1)求；(2)求的值．
19．（2022秋·浙江宁波·高一校考期末）已知向量，若，
(1)求与的夹角θ；(2)求；(3)当λ为何值时，向量与向量互相垂直？
20．（2022春·江苏盐城·高一校考阶段练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．(1)若是线段的中点，，求的值；(2)若，，求解.
21．（2022秋·重庆铜梁·高一统考期末）已知向量满足：，，．
(1)若，求在方向上的投影向量；(2)求的最小值．
22．（2022·全国·高一专题练习）已知两个不共线的向量的夹角为，且．
(1)若，求的值；(2)若为定值，点M在直线上移动，的最小值为，求的值
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