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6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理及坐标（1）
【学习要求】
1.了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；
2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示；
3.掌握平面向量数乘运算的坐标表示；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件；
5.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。
【思维导图】
【知识梳理】
1.平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3. 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
4.平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
5.平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
6.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
【高频考点】
高频考点1. 对基底的理解与辨析
【方法点拨】
1.（2022春·吉林长春·高一校考期末）（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【解析】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，
由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD
2、（2022·高一课时练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【解析】根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.
3、（2022春·福建三明·高一校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于选项A，，所以共线，所以不能作为基底；
对于选项B, ,所以不共线，所以可以作为基底；
对于选项C, 共线，所以不能作为基底；
对于选项D, ，所以共线，所以不能作为基底.故选：B
4.（2022春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【解析】对于A，因为，所以和共线，
则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；
对于B，假设和共线，则，故，
所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故B错误；
对于C，假设和共线，则，即，
由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故C错误；
对于D，假设和共线，则，即，
由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，
则和能作为平面内的一组基底，故D错误.故选：A.
5.（2022春·甘肃·高一统考期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
【答案】A
【解析】由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，
且，故选：A.
高频考点2 . 用基底表示向量
【方法点拨】用基底表示向量的两种基本方法：
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解。
1、（2022春·重庆·高一统考学业考试）在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，故选：A
2.（2022·高一单元测试）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为的中点，则．因为为的中点，则．
所以，即.故选：A．
3.（2022春·重庆巴南·高一校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以，
所以，故选：D
4.（2022春·山东济宁·高一统考期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，，，
，，，
.故选：B.
5、（2022·山东高一课时练习）如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.
【答案】
【解析】因为分别是矩形的边，的中点，所以，，，
设，
所以，由向量加法的平行四边形法则可得.
因为三点共线，所以，，即，
所以，，所以.
高频考点3 . 平面向量基本定理及其应用
【方法点拨】平面向量基本定理唯一性的应用：
设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则
重要结论：设是平面内一个基底，若，
①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，；
1.（2021春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，
又因为为中点，所以，
所以，所以，所以.故选：A
2.（2022春·安徽芜湖·高一统考期末）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，
则点E为BC的中点，且
由3，得：D是BC的四等分点，
则，
所以，所以.故选A．
3、（2022春·上海嘉定·高一校考期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则___________.
【答案】
【解析】因为F为线段AB的中点，所以,
因为，所以，所以,
因为，所以,
由直线与相交于点，设，则,
所以，所以，解得
4.（2022·高一单元测试）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，因为三点共线，所以，即，
所以，又,
所以
.故选：C.
5、（2022春·福建龙岩·高一统考期末）在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】因为，，,
所以
，故选：B
6、（2022春·河南商丘·高一校联考期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，AD交BC于点E，
，设.
由B，E，C三点共线可得，解之得
∴，则
∴.设，则，
又，则∴，∴.故选：C
高频考点4 . 对正交分解概念的理解与辨析
【方法点拨】平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
注意：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
1.（2022·广东·高一月考）（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数，使得
B．若，则，且
C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O
D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则
【答案】BCD
【解析】由平面向量基本定理，可知A正确；
例如，，但1＝1，故B错误；
因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C错误；
当的终点坐标是时，是以的始点是原点为前提的，故D错误.故选：BCD.
2、（2022·高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是
A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和
C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和
【答案】C
【解析】选项A中，与的夹角为60°；选项B中，与的夹角为锐角；
选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意.
选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意.故选：C
3.（2022·河北石家庄·高一统考期末）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据减法运算法则，求得，如下图：
在，的方向上进行分解，容易知：，故选：C.
4、（2023·高一课时练面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
【答案】
【解析】因为点，所以故答案为：
5.（2022·河北·高一课时训练）在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．
【答案】，，．
【解析】设、、，
则，，所以；
，，所以；
，，所以.
高频考点5. 用坐标表示平面向量
【方法点拨】平面向量的坐标表示
（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，
把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
（2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则.
（3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.
（4）特殊向量的坐标：．
1.（2022·上海·高一期末）若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______.
【答案】
【解析】 故答案为: .
2.已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
【答案】C
【解析】设点的坐标为，则，，
因为，即，所以，解得，所以.故选：C.
3.（2022春·高一课时练习）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
【答案】
【解析】因为点A（l，2），B（3，2），所以，
又因为向量与相等，所以，解得．
4、（2022春·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.
【答案】
【解析】设点在角的终边上，可得，
则点在角的终边上，坐标为
故答案为：
5、（2022·湖南·高一校联考期末）已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得，
则由题意可得
所以点的坐标为，故选：C
高频考点6 . 平面向量线性运算的坐标表示
【方法点拨】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：
1）向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用；
2）利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；3）利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数。
1.（2022春·广东河源·高一校考阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选：A
2.（2022春·新疆·高一校考阶段练习）已知向量，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量，所以.故选：B
3.（2022春·河南·高一统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意．故选：B．
4.（2022·甘肃武威·高一统考期末）已知、，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点，因为，则，
即，解得，即点.故选：C.
5、（2022春·福建福州·高一校考期末）已知向量、满足，，则________.
【答案】
【解析】由已知可得.故答案为：.
高频考点7. 用坐标解决向量共线的问题
【方法点拨】根据向量共线求参数的值的基本思路：
借助两向量平行的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助：a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可。
1.（2022春·新疆·高一校考阶段练习）与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A选项，若，则，所以，A选项正确.
B选项，若，而，所以不平行，B选项错误.
C选项，若，而，所以不平行，C选项错误.
D选项，若，而，所以不平行，D选项错误.故选：A
2.（2022春·江苏镇江·高一校考期中）下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于B中，由，，可得，所以两向量不共线；
对于C中，由，，可得，所以两向量共线；
对于D中，由，，可得，所以两向量不共线.故选：C.
3.（2022春·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以，又，
所以，解得.故选：B
4、（2022春·陕西西安·高一统考期末）已知向量，若，则_____.
【答案】
【解析】因为向量，可得，
又因为，可得，解得，可得.
5.（2022春·广东河源·高一校考阶段练习）若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
因为，，，，
因此，向量与共线，故选：D.
高频考点8. 用坐标解决三点共线问题
【方法点拨】
1.（2022春·新疆哈密·高一校考期中）已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【解析】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于B: 不存在实数，
使得，故 三点不共线；
对于C: ,故 ，所以三点共线；
对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；故选：C
2.（2022春·新疆·高一期末）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【解析】由题得,
由 三点共线，可得 ，故 ，故选：C
3.（2022·高一）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，
∵，，，
∴，，
∴，解得.故选：B．
4.（2023·高一）若，，三点不能构成三角形，则t=______．
【答案】
【解析】由三点不能构成三角形，即三点共线，且，，
所以且，则，可得.故答案为：
5、（2021春·山东泰安·高一校联考阶段练习）已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则的值不可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意：，
若点A,B,C三点共线，则，解得，所以的值不可以为，故选：B.
高频考点9. 用向量坐标解决几何问题
【方法点拨】利用向量解决平面几何问题的基本思路：
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决。
1.（2022春·广东广州·高一广州科学城中学校考期中）（多选）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】设点的坐标为，
若是平行四边形，则有，可得，解得,
故所求顶点的坐标为.所以A正确
若是平行四边形，则有，可得，解得，
故所求顶点的坐标为.所以B正确
若是平行四边形，则有，可得 ，解得，.
故所求顶点的坐标为.所以C正确，故选：ABC
2、（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）已知平面向量，，，，，且A，C，D三点共线.（1）求的坐标；（2）已知，若A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，所以与不共线，
即与可以作为平面内的一组基底，
因为，
所以，又，
因为，，三点共线，所以，解得.
所以.
（2）由（1）知，又因为，则有，
因为，所以，
因为A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.
设，则，
因为，所以解得，即点E的坐标为.
3、若平面上三点的坐标分别为，，．（1）证明：A、B、C三点共线；
（2）设O是坐标原点，且四边形ABOD是平行四边形，求顶点D的坐标．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题设，，
所以，即，且有公共点A，故A、B、C三点共线．
（2）设D的坐标为，因为四边形ABOD是平行四边形，O是坐标原点，
所以，即D的坐标为．
4、（2022春·江苏常州·高一校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，（1）求点的坐标；（2）求证：四边形为等腰梯形．
【答案】（1）；；（2）证明见解析．
【解析】（1）设，则，，
，，；
（2）证明：连接,，，
，且，
又，，,四边形为等腰梯形
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于D，，即向量共线，D不是；
对于C，因为，即向量与不共线，
则向量与能作为平面的一个基底，C是.故选：C
2．（2022秋·四川成都·高一统考期末）设平面向量，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设B点坐标为，则可得的坐标，根据题意，列出等式，即可得答案.
【详解】设B点坐标为，
所以，解得，所以B的坐标为.故选：B
3．（2022秋·山西朔州·高一）已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，再求与同向的单位向量即可．
【详解】因为两点, 所以，
所以＝＝，所以与向量同向的单位向量为，故选：A.
4．（2022秋·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】解：因为，，，
所以，又，所以，解得.故选：B
5．（2022秋·新疆哈密·高一校考期中）已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数m的值为（ ）．
A． B．12 C． D．1
【答案】D
【分析】由向量数乘的坐标表示求得值．
【详解】由得，，或，
∵，∴，从而．故选：D．
6．（2022秋·四川德阳·高一校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则( )
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】由知，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解.
【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形，
∵，∴. ∵，
故可分别作向量在方向上的分向量，，其中.
∵点在内，且，∴，即.
又，∴，∴. 故选：C.
7.（2022春·河南许昌·高一统考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，
即把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，
则，
设，则，解得，
所以，故选：D
8．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】利用、表示出，再利用三点共线得到，再把转化为关于的式子，即可求出最小值.
【详解】
三点共线即
故的最小值为.故选：C.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·福建福州·高一校联考期末）已知向量，若存在实数，，使得，则，可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】BCD
【分析】对选项分别验证是否存在实数，，满足即可.
【详解】对于A.由，得，所以，无解，所以不存在实数，，使得，所以此选项错误；
对于B .由，得，所以，，存在实数，，使得，所以此选项正确；
对于C .由，得，所以，解得，所以存在实数，，使得，所以此选项正确；
对于D.由，得，所以，所以存在实数，，使得，所以此选项正确；故选：BCD.
10．（2022秋·吉林长春·高一校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，
即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD
11．（2022·河北高一期中）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数，使得
B．若，则，且
C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O
D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由平面向量基本定理判断，对于B，举例判断，对于C，由平面向量的定义判断，对于D，由平面向量的性质判断
【详解】由平面向量基本定理，可知A正确；
例如，，但1＝1，故B错误；
因为向量可以平移，所以与的起点是不是原点无关，故C错误；
当的终点坐标是时，是以的始点是原点为前提的，故D错误.故选：BCD.
12．（2022·河北·高一阶段练习）已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
【答案】BD
【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、（2022·高一课时练习）已知是不共线的向量，若，则用与表示为___________.
【答案】
【解析】由题知：不共线，由平面向量基本定理知有且只有一对实数，使，
所以，
从而，解得，所以.
14．（2022秋·上海杨浦·高一校考期末）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
【答案】
【分析】先求得向量，的坐标，再根据数量投影的定义即可求得答案.
【详解】，
所以向量在方向上的数量投影为.故答案为：.
15、设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵三点能构成三角形，∴，不共线.
又∵，，∴ .解得.∴m的取值范围是.
16．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________.
【答案】
【分析】利用三点共线可得出，可得出，设，，则，，将用表示，可得出关于、的等式，即可得解.
【详解】因为、、三点共线，则存在，使得，
则，所以，，
由已知，则，所以，，
设，，则，，
因为，则，
因为，
所以，，所以，，
因此，. 故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.
(1)试用和表示；(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出；（2）由，，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出．
【详解】（1）解：，，，
，则整理得：．
（2）解：，，三点共线，．
，，，
又．
．
，解得，．．
18.如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点B的坐标；（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，因为，，故，
故，即点B的坐标为
（2）由题意，，
又，故，且不共线，故
19．（2022秋·广东韶关·高一校考阶段练习）已知向量，，.
(1)求；(2)求满足的实数，；
【答案】(1)(2)、
【分析】（1）直接利用向量的坐标运算法则求解即可．
（2）利用平面向量坐标运算和向量相等列出方程组即可求解．
（1）解：，，，
．
（2）解：因为，所以，
所以，解得．即、.
20．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；(2)若，，求的值．
【答案】(1) (2)3.
【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，
根据三点共线找出等量关系；
【详解】（1）在中，由,又，所以，
所以
（2）因为，
又， 所以，，所以，
又三点共线，且在线外，所以有：，即.
21．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
【答案】
【分析】设，根据得出，最后由正弦函数的性质得出的取值范围
【详解】设，
则
因为，所以
即，解得，
所以
因为，所以 即
22.（2022春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
（1）若，以，为基底表示向量与；（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）
【解析】（1）
，所以；
因为，所以，所以；
（2），所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为.
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6.3.1-6.3.3 平面向量基本定理及坐标（1）
【学习要求】
1.了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；
2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示；
3.掌握平面向量数乘运算的坐标表示；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件；
5.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。
【思维导图】
【知识梳理】
1.平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3. 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
4.平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
5.平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
6.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
【高频考点】
高频考点1. 对基底的理解与辨析
【方法点拨】
1.（2022春·吉林长春·高一校考期末）（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
2、（2022·高一课时练习）（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
3、（2022春·福建三明·高一校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·广西桂林·高一校考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
5.（2022春·甘肃·高一统考期末）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（ ）
A．，是该平面所有向量的一组基底，
B．，是该平面所有向量的一组基底，
C．，不是该平面所有向量的一组基底，
D．，不是该平面所有向量的一组基底，
高频考点2 . 用基底表示向量
【方法点拨】用基底表示向量的两种基本方法：
用基底表示向量的基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解。
1、（2022春·重庆·高一统考学业考试）在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·高一单元测试）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
3.（2022春·重庆巴南·高一校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·山东济宁·高一统考期中）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且满足．下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5、（2022·山东高一课时练习）如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.
高频考点3 . 平面向量基本定理及其应用
【方法点拨】平面向量基本定理唯一性的应用：
设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则
重要结论：设是平面内一个基底，若，
①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，；
1.（2021春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
2.（2022春·安徽芜湖·高一统考期末）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2022春·上海嘉定·高一校考期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则___________.
4.（2022·高一单元测试）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
5、（2022春·福建龙岩·高一统考期末）在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（ ）
A．12 B．6 C． D．
6、（2022春·河南商丘·高一校联考期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点4 . 对正交分解概念的理解与辨析
【方法点拨】平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
注意：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
1.（2022·广东·高一月考）（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数，使得
B．若，则，且
C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O
D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则
2、（2022·高一课时练习）下列可作为正交分解的基底的是
A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和
C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和
3.（2022·河北石家庄·高一统考期末）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2023·高一课时练面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是___________．
5.（2022·河北·高一课时训练）在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标．
高频考点5. 用坐标表示平面向量
【方法点拨】平面向量的坐标表示
（1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，
把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
（2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设、，则.
（3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立.
（4）特殊向量的坐标：．
1.（2022·上海·高一期末）若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______.
2.已知，，若，则点的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）
3.（2022春·高一课时练习）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值．
4、（2022春·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为___________.
5、（2022·湖南·高一校联考期末）已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫着把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
高频考点6 . 平面向量线性运算的坐标表示
【方法点拨】利用向量线性运算的坐标表示解决有关问题的基本思路：
1）向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算，另外解题过程中要注意方程思想的运用；
2）利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；3）利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数。
1.（2022春·广东河源·高一校考阶段练习）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·新疆·高一校考阶段练习）已知向量，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022春·河南·高一统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·甘肃武威·高一统考期末）已知、，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·福建福州·高一校考期末）已知向量、满足，，则________.
高频考点7. 用坐标解决向量共线的问题
【方法点拨】根据向量共线求参数的值的基本思路：
借助两向量平行的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助：a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可。
1.（2022春·新疆·高一校考阶段练习）与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·江苏镇江·高一校考期中）下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3.（2022春·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4、（2022春·陕西西安·高一统考期末）已知向量，若，则_____.
5.（2022春·广东河源·高一校考阶段练习）若向量，，则与共线的向量可以是（ ）
A． B． C． D．
高频考点8. 用坐标解决三点共线问题
【方法点拨】
1.（2022春·新疆哈密·高一校考期中）已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线
2.（2022春·新疆·高一期末）已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
3.（2022·高一）已知向量．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·高一）若，，三点不能构成三角形，则t=______．
5、（2021春·山东泰安·高一校联考阶段练习）已知向量，若点A，B，C能构成三角形，则的值不可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
高频考点9. 用向量坐标解决几何问题
【方法点拨】利用向量解决平面几何问题的基本思路：
利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。常用方法是建立平面直角坐标系，借助向量的坐标运算转化为代数问题来解决。
1.（2022春·广东广州·高一广州科学城中学校考期中）（多选）已知，，，则以，，为顶点的平行四边形的另一个顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）已知平面向量，，，，，且A，C，D三点共线.（1）求的坐标；（2）已知，若A，B，D，E四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点E的坐标.
3、若平面上三点的坐标分别为，，．（1）证明：A、B、C三点共线；
（2）设O是坐标原点，且四边形ABOD是平行四边形，求顶点D的坐标．
4、（2022春·江苏常州·高一校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，（1）求点的坐标；（2）求证：四边形为等腰梯形．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·四川成都·高一统考期末）设平面向量，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·山西朔州·高一）已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京·高一统考期末）已知向量，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·新疆哈密·高一校考期中）已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数m的值为（ ）．
A． B．12 C． D．1
6．（2022秋·四川德阳·高一校考阶段练习）已知、满足，点C在内，且，设.若，则( )
A． B．4 C． D．
7.（2022春·河南许昌·高一统考期末）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·江苏宿迁·高一统考期末）在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C． D．5
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·福建福州·高一校联考期末）已知向量，若存在实数，，使得，则，可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（2022秋·吉林长春·高一校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
11．（2022·河北高一期中）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数，使得
B．若，则，且
C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O
D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则
12．（2022·河北·高一阶段练习）已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、（2022·高一课时练习）已知是不共线的向量，若，则用与表示为___________.
.14．（2022秋·上海杨浦·高一校考期末）已知点，，，，则向量在方向上的数量投影为______．
15、设，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围是________.
16．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一假期作业）如图，在梯形中，，且，设.
(1)试用和表示；(2)若点满足，且三点共线，求实数的值.
18.如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求点B的坐标；（2）求证：．
19．（2022秋·广东韶关·高一校考阶段练习）已知向量，，.
(1)求；(2)求满足的实数，；
20．（2022春·辽宁大连·高一统考期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；(2)若，，求的值．
21．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．
22.（2022春·河北邯郸·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
（1）若，以，为基底表示向量与；（2）若，求的取值范围.
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