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5.3.4 平面向量基本定理及坐标表示（2）坐标的数量积运算
【学习要求】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示；
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1.平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝.
【高频考点】
高频考点1. 平面向量数量积的坐标计算
【方法点拨】
技巧：向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
1.（2022春·广东湛江·高一校考阶段练习）设，，，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为，，所以，
因为，所以，故选：C
2.（2022·河北·高一月考）在平行四边形中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
从而，所以．故选：A
3.（2022·河南濮阳·高一统考期中）若向量与向量共线，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】因为向量与向量共线，所以，解得，，所以.故选：D.
4.（2022秋·河南洛阳·高一）已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ）
A．12 B．4 C．6 D．3
【答案】C
【解析】网格纸上小正方形的边长为1，如图，在平面直角坐标系中，，，
，，故选：C．
5、（2022春·北京丰台·高一统考期末）如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，令，，则，，，
所以，所以，，所以，故选：C
高频考点2 . 根据坐标研究向量垂直问题
【方法点拨】根据向量垂直求参数的值的基本思路：
借助两向量垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助：a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可
1.（2022春·北京·高一统考期末）已知，，那么与垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
对于A：，此时，故A错误；
对于B：，则，故B正确；
对于C：，此时，故C错误；
对于D：，则则，故D错误；故选：B
2．（2022秋·河南南阳·高一统考期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再根据即可得解.
【详解】解：因为，所以，解得，所以，
又因为是与同向的单位向量，所以.故选：D.
3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，如果向量与垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】，若向量与垂直，
则，解得.故选：D
4.（2022春·北京·高一期末）设向量，，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，又，所以故选：C
5.（2022春·河南·高一统考期末）已知，，，，若△ABC是直角三角形，则k的值为（ ）
A．-1，-2或8 B．-1，-2或3 C．-2或3 D．-1或3
【答案】B
【解析】因为，所以．
因为，所以k＝-3，-2，-1，0，1，2，3．
当为直角三角形时，应有，或，或．
由，得2k＋4＝0，所以k＝-2．
，由，得，所以k＝-1或3．
由，得，所以k＝8（舍去）．所以k的值为-1，-2或3，故选:B．
高频考点3 . 利用坐标研究平面向量的模
【方法点拨】若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
1．（2022秋·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】求出，求模即可.
【详解】∵，，∴，∴.故选：C.
2．（2022·广东潮州·高一校考期中）已知，是单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用得到，然后计算即可求得答案
【详解】因为，所以，
因为，是单位向量，所以，所以，
所以，所以，故选：D
3．（2022秋·陕西渭南·高一校考期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据向量的坐标运算求出，再根据向量的模的坐标公式和题意列出关于的不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，因为不超过5，
所以，解得：，故选：C.
4.（2022春·安徽淮南·高一校考阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【解析】由，可得 由，可得
又，则，解之得故选：C
5.（2022·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.
设，，，
则，，，，
则，即，所以.
由，得，
所以，.由，得，
即，所以，即.
所以的取值范围是，故选：D.
6．（2022·重庆垫江·高一校考阶段练习）在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决
【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，，，，设点为，，，
，，，，，，
，，① 直线的方程为，②，
联立①②，解得，此时最大，，故选：．
【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
高频考点4. 利用坐标研究平面向量的夹角
【方法点拨】设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) cos θ＝＝.
1.（2022春·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以可设，，则，，
因为，所以，即.
则，故选：A.
2.（2022春·辽宁·高一校联考阶段练习）在中，，D为BC的中点，点E满足，直线CE与AD交于点P，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以为原点建立平面直角坐标系，则，
因为D为BC的中点，故，则，
故，所以.故选：B.
3．（2022秋·辽宁沈阳·高一联考期中）若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的运算，求出，再利用向量的数量积公式，得到且不同向，进而可求解.
【详解】由已知得，，，
所以，，且不共线同向，即且，所以，且，故.故选：C
4、（2023·北京市 高一课时练习）若分别是轴正方向上的单位向量，且，，若，的夹角为钝角，则实数m的范围为______．
【答案】
【解析】∵，的夹角为钝角，且，不平行
又，解得．
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，，，，，
则，
因为，则有，解得
（2）由（1）可知， 设与的夹角为，
则
高频考点5 . 利用坐标求数量积的最值范围
1.已知平面向量满足，，，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】不妨设，则，
所以，即
所以，即，当且仅当时等号成立，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
2.（2022春·贵州贵阳·高一统考期末）在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所以为坐标原点，建立直角坐标系，
，因为是线段上的点，
所以，所以，
所以 所以，，
当时，有最大值，当时，有最小值.
所以的取值范围是.故选：B.
3.（吉林2021-2022学年高一下学期期中数学试题）在菱形ABCD中，，点P在ABCD所在平面内，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：设交于点，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
易得，，
设，则，
则
，
当时，取得最小值时，
此时，.故选：C.
4、（2022春·四川资阳·高一统考期末）如图，在等腰直角中，斜边为，M，B为BC上的动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设，则，，所以．
，所以，
所以时，取最小值，或时，取最大值6，故选：C．
5、（2022春·湖南长沙·高一校考阶段练习）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【解析】由题意知：，设，
∴
，∴，
以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，，设，且
则，， 当时，故选：C.
高频考点6. 利用坐标解决数量积与三角函数交汇问题
【方法点拨】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可。解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算。
1、（2022·浙江金华·高一校考开学考试）已知为原点，点在单位圆上，点，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】∵，，∴.
∴，∴.
∴，
即，解得.
∴.故选：A.
2．（2022·全国·高一期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求出α，从而求出C的坐标，再根据数量积的坐标表示求出，从而可求．
【详解】，则，解得，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴．故选：A．
3．（2022秋·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.
【答案】(1)(2)最大值，
【分析】（1）利用向量得到，对所求的式子进行弦化切代入可得答案；
由数量积的坐标运算和辅助角公式化简可得，再根据三角函数的有界性可得最大值及.
（1）因为向量，
所以，所以，；
（2），其中，
当时，取得最大值，
此时，
即时，取得最大值
4．（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知是不共线的两个向量，且.
(1)若且三点共线，求的值；
(2)若
①求证：.②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？如果存在，试确定和的关系；如果不存在，请说明理由
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②存在，.
【分析】（1）利用向量的运算及向量共线定理即得；
（2）利用向量的运算可得向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标表示可得，再利用条件可得，即得.
（1）因为是不共线的两个向量，又，三点共线，所以，且，所以，即的值为；
（2）①∵，∴，
又，∴，，；②因为向量，且，∴，又，∴，存在不等于0的实数和，使得，此时.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·吉林·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示求得m，然后可得的坐标，再由公式直接求模可得.
【详解】因为，所以，解得，则
所以，所以.故选：A
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先由，得可求出，从而求出的坐标，进而可求得
【详解】因为，，，所以，得，
所以，所以，故选：C
3．（2022秋·山东·高一统考期中）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，向量，满足，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】据矩形建立直角坐标系，得到，.利用向量的坐标运算对四个选项一一验证.
【详解】建立如图示的直角坐标系：
因为AB＝2，BC＝1，所以，.
对于A：.故A正确；
对于B：.故B错误；对于C：.故C错误；
对于D：，所以，所以不成立.故D错误.故选：A
4．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为
【答案】D
【分析】由向量模长坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】对于A，，则，A错误；
对于B，，则不平行，B错误；
对于C，，又，则，C错误；
对于D，在上的投影向量的模为，D正确.故选：D.
5．（2022秋·北京·高一北京八中）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，，故所求向量与共线，再根据共线向量的性质求解即可
【详解】设所求向量为，因为，故，又与向量和夹角均相等，根据平行四边形法则可得与共线，设，
则，故，即，故或
故选：C
6．（2022秋·山东青岛·高一统考期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】，
由题意得：且，解得：且，故选：D
7．（2022·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，设，，，由得到P的坐标，再由，结合求解.
【详解】解：如图所示：
以A为原点，，的方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系.
设，，，则，，，，
则，即，所以.
由，得，
所以，.由，得，
即，所以，即.
所以的取值范围是，故选：D.
8．（2022·高一单元测试）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；
②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则；
③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】由，，，结合向量的运算判断①；由三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.
【详解】对于①：，，，故，故①正确；
对于②：，，因为三点共线，所以，即，解得，故②错误；
对于③：以点作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，，，设，
因为，，
所以，当时，，
当时，，即的取值范围是，故③正确；故选：C
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.
【详解】
对于A，，，与不垂直，A不正确；
对于B，，有，B正确；
对于C，，有，C不正确；
对于D，，由选项C知，，D正确.故选：BD
10．（2022秋·山东聊城·高一校考期中）下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
【答案】AC
【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.
【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；
因为，则，又因为与夹角为锐角，
所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；
因为，两边同时平方得，即，
所以，即，
因此
，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；
因为，所以，
因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，
故选：AC.
11、（2022春·山东青岛·高一校考期中）（多选）在平面直角坐标系中，，分别是与，轴正方向相同的单位向量，对于直角，若，，则实数可能的取值为（ ）
A．－1 B．2 C．－6 D．
【答案】AC
【解析】由题可设，则，，，
因为为直角三角形，则或或，
若，则，解得，若，则，解得，
若，则，即，则，无解，
故实数可能的取值为-1，-6.故选：AC.
12．（2022秋·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，根据平面向量平行的判定条件求解参数；
对于B选项，根据平面向量垂直的判定条件求解参数；
对于C选项，将向量，及代入等式，根据平面向量相等的判定条件求解参数与的关系；
对于D选项，根据向量的模长计算公式表示出向量的模长，然后根据二次函数求解最小值》
【详解】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确；
对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确；
对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确；
对于D选项，，
，
当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确.故选：ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·云南曲靖·高一校考期末）已知平面向量，，，则___________.
【答案】3
【分析】由得，代入可得答案.
【详解】由题意可得，，由得，所以，
则故答案为：.
14．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知，，向量在上的投影向量为 .
【答案】
【分析】直接根据投影向量的概念计算得到答案.
【详解】向量在上的投影向量为.故答案为：
15．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________.
【答案】48
【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值．
【详解】，，即为直角三角形，
建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，，外接圆，
设，，则，，，
所以，当且仅当时取等号．
所以的最大值是48．故答案为：48．
16．（2022秋·上海黄浦·高一期中）已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【详解】由题意设，则，，
设，如图，因为求的最小值，
则，，，，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：.
【点睛】关键点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐标法将涉及的各个点用坐标表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知向量.
(1)已知，求向量与的夹角；(2)若，求实数的值.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式进行求解；（2）先计算得到，，再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出的值.
【详解】（1）因为，所以，故，
因为，所以向量与的夹角；
（2），，
由于，所以，
解得：或，从而或.
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知，，，，且. (1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；
（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.
【详解】（1）根据题意，，，，，
则， 因为，则有，解得
（2）由（1）可知， 设与的夹角为，
则
19．（2022秋·天津·高一校联考期末）已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.(1)求；(2)求(3)若与垂直，求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由题意，根据向量模长的坐标表示，结合数量积的定义式，可得答案；
（2）由（1），根据数量积的性质，求解模长，可得答案；
（3）根据垂直向量的数量积性质，可得答案.
（1），，.
（2），∴.
（3）若与垂直，则，
即，∴，即，∴.
20．（2022秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，其中．
(1)求及在上的投影向量；(2)证明 ，，三点共线，并求当时的值．
【答案】(1)，在上的投影向量为；(2)证明见解析；
【分析】（1）利用数量积的坐标运算算出，接着先算，，接着利用投影公式算出答案；（2）先利用得到且，利用题意算出能得到，再结合公共点能得到三点共线，最后，最终算出的值
（1）因为，，所以，
，，
所以在上的投影向量为
（2）证明：因为，所以且，
因为，，，
所以，
即，又有公共点，所以，，三点共线；
因为，所以，即
21．（2022秋·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】（1）的坐标为或；（2）
【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标；
（2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围．
【详解】（1）设点的坐标，由，得，
因为点是直线上一点，且，所以或，
即或，
解得或，所以点的坐标为或；
（2）因为与的夹角为，所以，
，
因为与的夹角为锐角，所以，即，
解得，又当与共线时有，解得，所以，
综上，实数的取值范围是．
22．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【答案】(1)，，(2)(3)，最小值
【分析】（1）利用任意角三角函数的定义易求、、的坐标；
（2）利用平面向量的夹角公式求解即可；
（3）设，用表示点坐标，代数量积的坐标计算公式即可求解
（1）因为半圆的直径，由题易知：又，.
又，，则，，即.
（2）由（1）知，，，所以.
设与夹角为，则，
又因为，所以，即与的夹角为.
（3）设，由（1）知，，，，所以，
又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.
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5.3.4 平面向量基本定理及坐标表示（2）坐标的数量积运算
【学习要求】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示；
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1.平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝.
【高频考点】
高频考点1. 平面向量数量积的坐标计算
【方法点拨】
技巧：向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
1.（2022春·广东湛江·高一校考阶段练习）设，，，则等于（ ）
A． B．0 C． D．
2.（2022·河北·高一月考）在平行四边形中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·河南濮阳·高一统考期中）若向量与向量共线，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
4.（2022秋·河南洛阳·高一）已知向量在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则（ ）
A．12 B．4 C．6 D．3
5、（2022春·北京丰台·高一统考期末）如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
高频考点2 . 根据坐标研究向量垂直问题
【方法点拨】根据向量垂直求参数的值的基本思路：
借助两向量垂直的条件求解某参数的值，是向量坐标运算的重要应用之一，具体做法就是先借助：a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列关于某参数的方程(或方程组)，然后解之即可
1.（2022春·北京·高一统考期末）已知，，那么与垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南南阳·高一统考期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，如果向量与垂直，则（ ）
A． B． C．2 D．
4.（2022春·北京·高一期末）设向量，，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
5.（2022春·河南·高一统考期末）已知，，，，若△ABC是直角三角形，则k的值为（ ）
A．-1，-2或8 B．-1，-2或3 C．-2或3 D．-1或3
高频考点3 . 利用坐标研究平面向量的模
【方法点拨】若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
1．（2022秋·山东东营·高一统考期中）已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2022·广东潮州·高一校考期中）已知，是单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·陕西渭南·高一校考期末）已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·安徽淮南·高一校考阶段练习）已知向量，，，则（ ）
A． B． C．5 D．25
5.（2022·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·重庆垫江·高一校考阶段练习）在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
高频考点4. 利用坐标研究平面向量的夹角
【方法点拨】设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) cos θ＝＝.
1.（2022春·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·辽宁·高一校联考阶段练习）在中，，D为BC的中点，点E满足，直线CE与AD交于点P，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁沈阳·高一联考期中）若，，，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（2023·北京市 高一课时练习）若分别是轴正方向上的单位向量，且，，若，的夹角为钝角，则实数m的范围为______．
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知，，，，且.（1）求的值；（2）求向量与向量夹角的余弦.
高频考点5 . 利用坐标求数量积的最值范围
1.已知平面向量满足，，，，则的最大值为________．
2.（2022春·贵州贵阳·高一统考期末）在中，是线段上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（吉林2021-2022学年高一下学期期中数学试题）在菱形ABCD中，，点P在ABCD所在平面内，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
4、（2022春·四川资阳·高一统考期末）如图，在等腰直角中，斜边为，M，B为BC上的动点，且，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·湖南长沙·高一校考阶段练习）已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
高频考点6. 利用坐标解决数量积与三角函数交汇问题
【方法点拨】解决数量积的坐标表示与三角函数交汇问题的基本思路：
先运用平面向量数量积的坐标表示的相关知识(平面向量数量积的坐标表示、平面向量模与夹角的坐标表示、平面向量平行与垂直的坐标表示等)将问题转化为与三角函数有关的问题(如化简、求值、证明等)，再利用三角函数的相关知识求解即可。解决这类问题时应注意充分挖掘题目中的隐含条件，使问题得到快速解决，注意到，可以简化运算。
1、（2022·浙江金华·高一校考开学考试）已知为原点，点在单位圆上，点，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2022·全国·高一期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
3．（2022秋·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知向量.
(1)若，求的值；(2)求的最大值及取得最大值时角的余弦值.
4．（2022秋·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知是不共线的两个向量，且.
(1)若且三点共线，求的值；
(2)若
①求证：.②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？如果存在，试确定和的关系；如果不存在，请说明理由
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·吉林·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）已知，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022秋·山东·高一统考期中）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，向量，满足，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏苏州·高一校联考期末）如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为
5．（2022秋·北京·高一北京八中）与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2022秋·山东青岛·高一统考期末）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·高一单元测试）在平面内，，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·高一单元测试）如图，在△中，是的中点，是上一点，且，则下列说法中正确的个数是（ ）
①；
②过点作一条直线与边分别相交于点，若，，则；
③若△是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是
A．个 B．个 C．个 D．个
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022秋·湖南株洲·高一校联考期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·山东聊城·高一校考期中）下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
11、（2022春·山东青岛·高一校考期中）（多选）在平面直角坐标系中，，分别是与，轴正方向相同的单位向量，对于直角，若，，则实数可能的取值为（ ）
A．－1 B．2 C．－6 D．
12．（2022秋·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·云南曲靖·高一校考期末）已知平面向量，，，则___________.
14．（2022秋·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知，，向量在上的投影向量为 .
15．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为___________.
16．（2022秋·上海黄浦·高一期中）已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为______．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知向量.
(1)已知，求向量与的夹角；(2)若，求实数的值.
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知，，，，且. (1)求的值；(2)求向量与向量夹角的余弦.
19．（2022秋·天津·高一校联考期末）已知平面向量已知平面向量，，，且与的夹角为.(1)求；(2)求(3)若与垂直，求的值.
20．（2022秋·吉林·高一长春市第二实验中学校联考期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，其中．
(1)求及在上的投影向量；(2)证明 ，，三点共线，并求当时的值．
21．（2022秋·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标；（2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
22．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求点A、B、C的坐标；(2)若，求与夹角的大小；
(3)试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
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