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因式分解复习一、因式分解的定义 把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。即：一个多项式→几个整式的积因式分解整式乘法互逆1、下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？2、下列因式分解正确的是哪些？请将不正确的改成正确的。3、一个多项式分解因式的结果是 ，那么这个多项式是： 。4、若 能分解为 ，试求 的值。5、已知 有一个因式
为 ，则另一个因式
是： 。6、一个多项式若能因式分解成两个因式的积，则这个多项式被其中任一个因式除，所得的余式为 。二、因式分解的方法1、提取公因式法：
①系数为各项系数的最大公约数；
②字母取各项相同字母的最低幂。2、公式法：
平方差公式：
完全平方公式：7、下列因式分解正确吗？不对的给予改正。 提取公因式的常见思维误区：1、漏项；2、变错符号；3、分解不彻底；4、混淆因式分解与整式乘法的意义。8、用提取公因式法对下列各式进行因式分解：运用公式法进行分解的多项式的特点：（1）运用平方差公式分解的多项式是二项式，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反。
（2）运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。9、下列各式中能用平方差公式分解因式的是：A、B、C、D、10、下列代数式：①
②
③ ④
⑤
⑥A、1个 B、2个 C、3个 D、4个能用完全平方公式有11、用公式法对下列各式进行因式分解：因式分解12、已知正方形的面积
是 ，
利用因式分解写出表示该正方形的边
长的代数式。三、因式分解的综合应用13、巧算：14、若 ，
求 15、若 ，求 16、不解方程组
求 的值。17、若
则 的值是多少？2。（a2+b2）（a2+b2-6）+9=0
求a2+b2值。3。 a2+b2-4a+8b+20=0，求a2+b2值1。因式分解5。x2+x-6有一个因式（x-2），求另一个因式。6。 x2+x-k=（x-2）（x+k/2），求k。8。 x2+x-k有一个因式（x-2），求k。 9。2x3-x2-5x+k中有一个因式（x-2）
求k的值。10、下列多项式中，含有因式 的多项式是：11、能整除代数式
的因式有：12、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（1）上述分解因式的方法是 共应用了 次。（2）若分解 ，则需应用上述方法 次，结果是 。（3）分解因式：13、若 ，
求 的值。 14、当 取何值时，多项式
取得最小值？16、已知正方形的面积
是 ，利用因式
分解写出表示该正方形的边长的代数式。17、利用分解因式证明： 能被120整除。19、因式分解：第九章 因式分解复习
教学目标：
进一步理解因式分解的意义，把握四种因式分解方法的特点，掌握多项式因式分解的一般步骤，提高因式分解的能力。
梳理知识网络，培养观察、归纳、总结能力。
在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注重解题策略的良好思维品质。渗透整体思想和化归思想。
教学重点：多项式的因式分解的方法的选择
教学难点：多项式因式分解一般步骤的得出，以及合理、有效的选择因式分解的方法
教学流程图：
教学过程：
教学策略方案
教学设计意图与理念
引入：学习了因式分解这一单元，都学到了哪些知识？你能概括总结一下吗？
展示学生总结的因式分解知识结构图。
因式分解的意义
什么是因式分解？要点是什么？
概念巩固
例1、下列各式的变形中，是否因式分解，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
教学策略方案
（5）
因式分解的方法
在知道了什么是因式分解之后，我们学习了因式分解的方法，有哪些方法呢？方法不同，它们所适用的多项式也不同，请指出它们各应用于分解几项式？
1、提取公因式法 —— 多项式
2、公式法：
平方差公式 —— 二项式
完全平方公式 —— 三项式
3、十字相乘法 —— 三项式
4、分组分解法 —— 四项或四项以上多项式
根据多项式的项数，来确定因式分解的方法，是对我们的基本要求。
例2、因式分解
1、
2、
3、
4、
事实上，把多项式分解因式往往不只用上面的四种方法中的一种方法，而是需要把几种方法综合起来使用，这就面临一个问题：哪种方法先用？哪种方法后用？怎样合理地选择？
因式分解方法的选择
由例2，归纳多项式分解因式的一般步骤是：
首先观察这个多项式的各项是否有公因式，如果有，可先提取公因式。
提取公因式后，另一个因式如果是一个二次二项式，考虑用平方差公式；另一个因式如果是一个二次三项式，先考虑用完全平方公式，再考虑用十字相乘法；另一个因式如果是四项或四项以上多项式，则考虑用分组分解法分解因式。
练习：分解因式
1、
2、
3、
教学策略方案
以上问题，都具备应用因式分解的四种方法之一的特征。而在因式分解时，我们所遇到的问题不仅仅只有这一种类型，还会遇到另一类问题，如例3，它们又有什么特征呢？
例3、因式分解
1、
2、
3、
4、
小结
因式分解的意义
左边 = 右边
多项式 整式×整式（单项式或多项式）
因式分解的一般步骤
第一步
提 取 公 因 式 法
第二步
看 项 数
1、
两项式： 平方差公式
2、
三项式： 完全平方公式
十字相乘法
3、
四项或四项以上式： 分组分解法
3、多项式有因式乘积项 展开 重新整理
分解因式
4、因式分解的结果：
单项式的因式应写在多项式的前面。
各因式中不应有大、中括号。
相同的因式写成幂的形式。
每个因式都要分解到不能分解为止。
作业
因式分解：
1、 2、
3、 4、
教学策略方案
5、
6、
7、 8、
9、
板书设计
因式分解复习
意义 例2、 例3、
2、方法步骤
（例1及练习在课件中出现）
通过梳理知识网络，培养观察、归纳、总结能力，形成知识系统，有利于掌握知识。
理解因式分解的要点：
结果是积的形式；
每个因式必须是整式；
是对多项式进行因式分解。
各因式要分解到不能再分解为止。
培养学生会用基本概念
教学设计意图与理念
解释问题，而非主观臆断。
从宏观的角度，明确四种因式分解的方法所适用的范围。
形成简明的一般步骤：
1、提取公因式
2、看项数
*两项式--平方差公式
*三项式---完全平方公式
十字相乘法
*四项或四项以上式---分组分解法
学生应能说出选择因式分解方法的思想历程。
培养思维的有序性和逻辑性。养成先分析，再解题的良好学习品质。
教学设计意图与理念
先利用整式乘法法则展开，再按照因式分解的一般步骤分解因式。
渗透整体思想和化归思想，逐步学会解决问题的思想方法。
在日常学习中养成边学习边总结，不断形成知识系统的学习习惯，逐步培养概括总结能力，批判反思能力，从而不断提高学习能力。
教学设计意图与理念
有序的板书，无论对于学生掌握知识，还是培养学生严谨、认真、仔细的治学态度，都是很好地示范。
第九章 因式分解
一、分解因式
1.2x4y2－4x3y2＋10xy4。
2. 5xn+1－15xn＋60xn－1。
3.
4. (a+b)2x2-2(a2-b2)xy+(a-b)2y2
5. x4-1
6.－ａ2－b2＋2ab＋４分解因式。
7.
8.
9.
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
11.x2-2x-8
12．3x2+5x-2
13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
15．把多项式3x2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。
二证明题
17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：是57的倍数.
19.求证：无论x、y为何值，的值恒为正。
20.已知x2+y2-4x+6y+13=0,求x,y的值。
三 求值。
21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c2+16=0,求a+b+c的值 .
22．已知x2+3x+6是多项式x4-6x3+mx2+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习答案
一分解因式
1. 解：原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2
=2xy2 (x3－2x2＋5y2)。
提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy2，即公因式2xy2，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。
2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是xn-1，提公因式时xn+1提取xn-1后为x2，xn提取xn--1后为x。
解：原式=5 xn--1·x2－5xn--1·3x＋5xn--1·12
=5 xn--1 (x2－3x＋12)
3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3)
=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)
提示：立方差公式：a3-b3=(a-b)( a2+ab+b2)
立方和公式：a3+ b3=(a+b)( a2-ab+b2)
所以，1-8 a3=(1-2a)(1+2a+4a2)
4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2
=(ax+bx-ay+by)2
提示：将（a+b）x和（a-b）y视为 一个整体。
5.解：原式=( x2+1)( x2-1)
=( x2+1)(x+1)(x-1)
提示：许多同学分解到(x2+1)( x2-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。
6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－４）
＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）
提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如－９x2＋４y２＝（－3x）２－（2y）2＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的错误。
7. 解： 原式= x4-x3-(x-1)
= x3(x-1)-(x-1)
=(x-1)(x3-1)
=(x-1)2(x2+x+1)
提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。另外，本题的结果不可写成(x-1)(x-1)( x2+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)( x2+x+1)
8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4
=y2(x+y-6)2-y4
=y2[(x+y-6)2-y2]
=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)
= y2(x+2y-6)(x-6)
9. 解：原式= (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4
=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]
=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)
= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=（a2+b2 +2ab）+2bc+2ac+c2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=(a+b+c)2
提示：*将(a+b)视为 1个整体。
11.解：原式=x2-2x+1-1-8 *
=(x-1)2-32
=(x-1+3)(x-1-3)
=(x+2)(x-4)
提示：本题用了配方法，将x2-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。
12．解：原式=3(x2+x)-2
=3(x2+x+-)-2 *
=3(x+)2-3×-2
=3(x+)2-
=3[(x+)2-]
=3(x++)(x+-)
=3(x+2)(x-)
=(x+2)(3x-1)
提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可配成a(x+)2+.
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=( x2+5x+4)( x2+5x+6)+1
令x2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1
=a2+10a+25
=(a+5)2
=(x2+5x+5)
提示：把x2+5x看成一个整体。
14. 解?原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
??????? =(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
??????? =( x2+5x+6)( x2+5x+4)-120
令??x2+5x=m, 代入上式,得
原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96
=(m+16)(m-6)=( x2+5x+16)( x2+5x-6)=( x2+5x+16)(x+6)(x-1)
提示：把x2+5x看成一个整体。
15．解：原式＝(x+2)(3x+5)
提示：把二次项3x2分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。
说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。
ax c
二次项 常数项
bx d
adx+bcx=(ad+bc)x 一次项
ab x2+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)
16. 解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)
x －2y
5x 4y
－6xy
二证明题
17．证明： 原式=31998(32－4×3＋10)= 31998×7，
∴ 能被7整除。
18.证明：
=8（82n-7n）+8×7n+7n+2
=8（82n-7n）+7n(49+8)
=8（82n-7n）+577n
是57的倍数.
19.证明：
=4 x2-12x+9+9 y2+30y+25+1
=(2x-3) 2+(3y+5) 2+1
≥1.
20.解：∵x2+y2-4x+6y+13=0
∴x2-4x+4+y2+6y+9=0
(x-2) 2+(y+3) 2=0
(x-2) 2≥0, (y+3) 2≥0.
x-2=0且y+3=0
x=2,y=-3
三 求值。
21.解：∵a-b=8
∴a=8+b
又ab+c2+16=0
即∴（b+8）b+c2+16=0
即(b+4)2+c2=0
又因为，(b+4) 2≥0，C2≥0,
∴b+4=0,c=0,
b=-4,c=0,a=b+8=4
∴a+b+c=0.
22． 解：设它的另一个因式是x2+px+6,则
X4-6x3+mx2+nx+36
=(x2+px+6)(x2+3x+6)
=x4+(p+3)x3+(3p+12)x2+(6p+18)x+36
比较两边的系数得以下方程组：
解得
