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9.3 平行四边形
第3课时 由“对角线”判定平行四边形
知识总结：
1.平行四边形的判定定理3： 对角线互相平分 的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的判定方法总结：
(1)从对边的角度看满足：___两组对边平行____或___两组对边相等____或___一组对边平行且相等____的四边形是平行四边形；
(2)从对角线的角度看满足：____对角线互相平分______的四边形是平行四边形；
3.反证法是一种间接证明命题成立的方法，先提出与结论_相反_的假设，然后由这个“假设”出发推导
出__矛盾__的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立.
基础练习
1.四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AO＝CO，添加下列条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( B )
A.∠ABC＝∠ADC B.BO＝DO C.AD＝BC D.AB＝CD
2.如图，已知AC＝6，BO＝DO，当AO＝___3___时，四边形ABCD是平行四边形.
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BD＝20，AC与BD相交于点E，∠BAC＝90°，AE＝CE＝6，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵∠BAC＝90°， ∴BE＝＝10，
∵BD＝20，∴BE＝DE＝10.又∵AE＝CE，∴四边形ABCD是平行四边形.
4.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B90°”时，应先假设( C )
A.ABAC B.∠B90° C.∠B90° D.ABAC且∠B90°
5.用反证法证明“只有一条对角线被平分的四边形不是平行四边形”。
解：已知：如图，在四边形ABCD中.OB＝0D,0A0C,
求证：四边形ABCD不是平行四边形，
证明：假设四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴0A＝0C，OB＝0D，与已知OAOC矛盾，
∴只有一条对角线被平分的四边形不是平行四边形.
6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0，在下列条件中：
①AB//CD； ②AD＝BC； ③AO＝CO； ④AB＝CD，
小明选择了条件①②,则小明选择的条件___不能__（填“能”或“不能”)判定四边形ABCD是平行四边形.
【解析】∵只有两组对边分别平行或一组对边平行且相等或两组对边分别相等或对角线互相平分的四边形才可以判定四边形ABCD是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等不能判定四边形是平行四边形；能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是①④.
7.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N是BD上的两点，则下列条件中：
①OM＝ON； ②AM＝CN； ③AN//CM； ④∠DCM＝∠BAN，
添加一个条件能判定四边形AMCN是平行四边形的有__①③④ __.（填序号）
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，又∵OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形∴AO＝CO，
∵AN//CM ∴∠ANM＝∠CMN,
又∵∠AON＝∠COM.∴△AON≌△COM,∴ON＝OM.∴四边形AMCN是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，∠ABN＝∠CDM，
又∵∠DCM＝∠BAN,∴△CDM≌△ABN,∴DM＝NB.∴OM＝ON.∴四边形AMGN是平行四边形；
①③④符合题意.
综合拓展
8.如图，在△ABC中，D，E分别是BA，BC延长线上的点，AE是∠DAC的平分线，用反证法证明：ABAC.
证明：假设AB＝AC.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠DAC＝2∠DAE＝2∠CAE,
∴∠ACB＝∠CAE,
∴AE//BC.与已知∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E相矛盾.则ABAC
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，点E是AB边上的中点，连接EO并延长交CD于点F.已知AO＝CO，BO＝DO，则的值为( A )
A. B. C. D.
10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0，且AO＝CO，过点0的直线EF为BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，若∠BAD＝110°，∠DBF＝2∠ABE，则∠ABE的度数为__14°__.
【解析】设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
∵EF为BD的垂直平分线，∴OB＝OD，EF⊥BD,∴BE＝DE,∴∠EBD＝∠EDB,
∵AO＝CO∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD//BC,∴∠EDB＝∠DBF.∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x,
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°∴110°+x+2x+2x＝180°，解得x＝14°，即∠ABE＝14°.
11.如图，在四边形ABCD中，E为AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接AF，若BE＝EF，DC＝DF，求证：AD//BC.
证明：如图，连接BD，
∵E为AD的中点，∴AE＝DE,
∵BE＝EF,∴四边形ABDF是平行四边形，∴AB//DF,AB＝DF,
∵DC＝DF，∴AB＝DC，
又∵AB//DF，即AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC.
12.如图，在□ABCD中，过对角线BD的中点0作直线EF分别交CB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，连接BF，DE.
(1)求证：△EBO≌△FDO；
(2)若BE＝CE，△BCD的面积为4，求四边形BEDF的面积
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD,即CE//AF,∴∠BEO＝∠DFO，
∵0是BD的中点，∴OB＝OD,
在△EBO和△FDO中，∴△EBO≌△FDO(AAS)；
(2)解：由(1)可知△EBO≌△FDO，∴EO＝FO,
又∵BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝CE ∴BC＝2BE,
∵△BCD中BC边上的高与△BED中BE边上的高相同，
∴ ，∴ 2×2＝4.
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9.3 平行四边形
第3课时 由“对角线”判定平行四边形
知识总结：
1.平行四边形的判定定理3： 的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的判定方法总结：
(1)从对边的角度看满足：_________________或__________________或__________________的四边形是平行四边形；
(2)从对角线的角度看满足：________________________________的四边形是平行四边形；
3.反证法是一种间接证明命题成立的方法，先提出与结论________的假设，然后由这个“假设”出发推导
出______________的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立.
基础练习
1.四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AO＝CO，添加下列条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠ABC＝∠ADC B.BO＝DO C.AD＝BC D.AB＝CD
2.如图，已知AC＝6，BO＝DO，当AO＝____________时，四边形ABCD是平行四边形.
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BD＝20，AC与BD相交于点E，∠BAC＝90°，AE＝CE＝6，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
4.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B90°”时，应先假设( )
A.ABAC B.∠B90° C.∠B90° D.ABAC且∠B90°
5.用反证法证明“只有一条对角线被平分的四边形不是平行四边形”。
6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0，在下列条件中：
①AB//CD； ②AD＝BC； ③AO＝CO； ④AB＝CD，
小明选择了条件①②,则小明选择的条件__________（填“能”或“不能”)判定四边形ABCD是平行四边形.
7.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N是BD上的两点，则下列条件中：
①OM＝ON； ②AM＝CN； ③AN//CM； ④∠DCM＝∠BAN，
添加一个条件能判定四边形AMCN是平行四边形的有___________.（填序号）
综合拓展
8.如图，在△ABC中，D，E分别是BA，BC延长线上的点，AE是∠DAC的平分线，用反证法证明：ABAC.
9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，点E是AB边上的中点，连接EO并延长交CD于点F.已知AO＝CO，BO＝DO，则的值为( )
A. B. C. D.
10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点0，且AO＝CO，过点0的直线EF为BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，若∠BAD＝110°，∠DBF＝2∠ABE，则∠ABE的度数为____________.
11.如图，在四边形ABCD中，E为AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接AF，若BE＝EF，DC＝DF，求证：AD//BC.
12.如图，在□ABCD中，过对角线BD的中点0作直线EF分别交CB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，连接BF，DE.
(1)求证：△EBO≌△FDO；
(2)若BE＝CE，△BCD的面积为4，求四边形BEDF的面积
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