北师大版 九下 1.4解直角三角形 同步测试卷A卷
答案解析
选择题（共30分）
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵在 中， ，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴ ．
故答案为：A．
2.如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
3.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O=AO=5，
∴sinα=，
∴A′C=5sinα，
故答案为：C．
4.如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
5.如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
6.如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
则tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故答案为：B
7.设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故答案为：C．
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝2x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝2；
故选：D．
9．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD，
∴AB2，
∴sinB．
故选：D．
10.如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝3，则△ABC的面积是( )
A． B．12 C．14 D．21
答案 A
填空题（共24分）
11.菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的相邻的两内角分别为_______________.
答案 60°，120°
12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，则△ABE的面积等于______.
答案
13.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 ．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC，AC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．
14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2 ，
∵CA=CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，
∴∠BCB1=∠ACA1=60°，
∵CB=CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1=2 ，BA1=2，∠A1BB1=90°，
∴BD=DB1= ，
∴A1D=
15.在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CD⊥AB交BA于点D，
∵BC=14， ，
∴CD= ，
∴BD= ，
∵，
∴AD= AB-BD-= ，
在Rt△ACD中，AC= ，
过P作PE⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为 ，
∴△APE∽△ACD，
∴，
即 ，
解得 ，
∴①点P在线段AC上时，CP=AC-AP= ，
②点P在射线CA上时，CP=AC+AP= ，
综上所述，CP的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
16.如图，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠D，tanB，BC＝5，CD＝3，∠BCA＝90°∠BCD，则AD＝ ．
【解答】解：解法一：如图1，延长DC至Q，使CQ＝BC＝5，连接AQ，过A作AH⊥DQ于H，
则DQ＝DC+CQ＝CD+BC＝3+5＝8，
∵∠BCA+∠ACQ+∠BCQ＝180°，
∵∠BCA＝90°∠BCD，
设∠BCD＝x°，则∠BCA＝90x°，
∴∠ACQ＝180°﹣x°﹣（90°x）＝90x°＝∠BCA，
∴AC＝AC，
∴△BCA≌△QCA，
∴∠B＝∠Q＝∠D，
∴AD＝AQ，
∵AH⊥DQ，
∴DH＝QHQD＝4，
tan∠B＝tan∠Q，
∴AH＝2，
∴AQ＝AD＝2；
解法二：如图2，在BC上取一点F，使BF＝CD＝3，连接AF，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣3＝2，
过F作FG⊥AB于G，
∵tanB，
设FG＝x，BG＝2x，则BFx，
∴x＝3，
x，
即FG，
延长AC至E，连接BD，
∵∠BCA＝90°∠BCD，
∴2∠BCA+∠BCD＝180°，
∵∠BCA+∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BCA＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠DCE＝∠ABD，∠BCA＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
在△ABF和△ADC中，
∵，
∴△ABF≌△ADC（SAS），
∴AF＝AC，
过A作AH⊥BC于H，
∴FH＝HCFC＝1，
由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝42+AH2①，
S△ABFAB GFBF AH，
∴AB 3AH，
∴AH，
∴AH2②，
把②代入①得：AB2＝16，
解得：AB，
∵AB＞0，
∴AD＝AB＝2，
故答案为：2．
解答题（共66分）
17.（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4 = BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝ =
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
18.（8分）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
【答案】解：根据题意，
∵ ，AD是BC边上的高，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
19.（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
20.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
【答案】（1）解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，∴AC= ，∵点D是AC的中点，
∴CD= AC= ，
∴Rt△BCD中，BD= =
（2）解：如图，过C作CH⊥AB于H，∵BC= ，cot∠ABC= ，
∴CH= ，BH=1，
∵CE=CB，
∴EH=BH=1，
∵∠ACB=90°，BC= ，AC= ，
∴AB=3，
∴AE=3﹣2=1，
∴△ACE的面积= ×AE×CH= ×1× = ．
21.（10分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
【答案】解：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=35.75（cm），∴CD=EF=AE-AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm
22.（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB，AD＝1，
∴AB3，
∴BD2，
∴BC＝BD+DC＝21；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CEBC，
∴DE＝CE﹣CD1，
∴tan∠DAE．
23.（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠DBE，
即cos∠ABE的值为．北师大版 九下 1.4解直角三角形 同步测试卷A卷
选择题（共30分）
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4.如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（ ）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
5.如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
6.如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
7.设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
9．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AB＝3，则△ABC的面积是( )
A． B．12 C．14 D．21
填空题（共24分）
11.菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的相邻的两内角分别为_______________.
12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，则△ABE的面积等于______.
13.如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为 ．
14.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ．
15.在中，，点P在直线上，点P到直线的距离为，则的长为 ．
16.如图，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠D，tanB，BC＝5，CD＝3，∠BCA＝90°∠BCD，则AD＝ ．
解答题（共66分）
17.（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
18.（8分）如图，在 中， ，AD是BC边上的高，若 ， ，求AC的长．
19.（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值．
20.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= ，cot∠ABC= ，点D是AC的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）点E在边AB上，且CE=CB，求△ACE的面积．
21.（10分）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）
22.（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
23.（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
