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《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章
18.2.1矩形（1）
1.矩形的定义：有一个
叫做矩形.
2.矩形是一个 平行四边形.
3.矩形的性质：
（1）具备的平行四边形的性质有：
（2）具有特殊性质：
4.直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的 等于
的 .
理解矩形的性质
【例1】求证：矩形的对角线互相相等.
分析：先写出“已知”和“证明”，如图，可证△ABC≌△BAD，可得AC=BD.
解：已知：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD.求证：AC=BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
又BA=AB，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC=BD
练习1
如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，
BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数
是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
矩形性质的应用
【例2】长方形ABCD中，已知AB=8，AO=5，则矩形ABCD的面积 ．
分析：由矩形的对角线互相平分可得边AC的长，由矩形的四个角都为直角的性质以及勾股定理可求得BC，便能求得面积.
解：∵AO=5，∴AC=10，
在直角△ABC中，已知AB=8、AC=10，∴BC==6，
∴矩形ABCD的面积为6×8=48.
练习2
矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是 cm．
直角三角形的性质
【例3】如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1：2：3，AB边上的中线DC=4，求△ABC的面积．
分析：根据三角形的内角和定理求出∠A、∠B、∠C的度数，根据直角三角形性质求出AB、BC，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积求出即可．
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1：2：3，
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，
∵AB边上的中线DC=4，
∴AB=2CD=8，∴BC=AB=4，
由勾股定理得：AC=4，
∴S△ABC=AC×BC=×4×4=8.
练习3
如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长．
综合运用
【例4】如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过O作OF⊥AD于点F，OF=2，过A作AE⊥BD于点E，且BE：BD=1：4，求AC的长．
分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出△ABO是等边三角形，然后判断出OE是△AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵BE：BD=1：4，
∴设BE=x，则BD=4x，
∴OE=4x-2x-x=x，
∴BE=OE，
又∵AE⊥BD，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=AB，
∵OF⊥AD，OF=2，
∴OF是△ABD的中位线，
∴AB=2OF=2×2=4，
∴AC=2OA=2AB=2×4=8．
练习4
如图，已知四边形ABCD和四边形EFGC为全等的矩形，B、C、E在一条直线上，试判断△ACF的形状．
1.（2013 重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm
2.（2013 茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ）
A．2 B．4
C．2 D．4
3．（2013 台湾）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4.（2011 无锡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm．
5.（2013 扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 ．
6.（2011 遵义）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．21世纪教育网版权所有
用时 分数
一、（每题4分，共32分）
1．（2013 普洱）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A．16 B．12 C．24 D．20
2．（2012 苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（ ）
A． 4 B． 6 C． 8 D． 10
3．（2012 黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（，0）
C．（，0） D．（，0）
4．（2011 贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点
E，则AE的长是（ ）
A． B．
C．1 D．1.5
5．（2008 攀枝花）四边形ABCD为矩形，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，5），那么D点坐标为（ ）
A． （1，3） B． （1，5） C． （5，3） D． （5，1）
6．（2005 泸州）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A． 600m2 B．551m2
C． 550m2 D．500m2
7．（2013 枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长 ( http: / / www.21cnjy.com )为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
8．（2009 聊城）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（ ）
A． 62° B． 38°
C． 28° D． 26°
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2009 内江）已知Rt△ABC的周
长是4+4，斜边上的中线长是2，则
S△ABC= ．
10．（2004 盐城）若直角三角形斜边长为6，则这个直角三角形斜边上的中线长为 ．
11．（2013 遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
12．（2012 龙岩）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ．
13．（2012 哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
14．（2011 盘锦）如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C落在AD上的点E处，折痕为BF，则DE= ．
三、解答题（共40分）
15.（6分）（2011 乐山）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF．求证：BE=CF．
16.（6分）（2012 广东模拟）已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，∠ACD是△ABC的外角，延长EF交∠ACD的平分线于G点，求证：AG⊥CG．
17.（6分）已知：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC=2AD，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E，试判断△BDE的形状．
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18.如图，点P是矩形ABCD内一点，已知△PBC的面积为5，△PCD的面积为2，求△PAC的面积．
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19.（2013 重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若BC=2，求AB的长．
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20.（2013 烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
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参考答案：
基础为本、掌握新知
1.直角的平行四边形
2.特殊的
3.（1）对边互相平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分
（2）四个角都为直角；对角线相等.
4.中线 斜边 一半
一例一练、活用数学
1..C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．
2.28 【解析】根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到，解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．
3.解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，∴BC=BE=CE=4，∴△BCE是等边三角形，∵CD是斜边AB上的高，∴CD也是BE边上的中线，∴ED=EB=2．
4.解：△ACF是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，BC=EF，∴△ABC≌△CEF，∴∠ACB=∠CFE，AC=CF，
∵点B、C、E共线，∴∠ABC+∠ACF+∠FCE=180°，∴∠ACF=180°-（∠ECF+∠EFC）=90°，∴△ACF是等腰直角三角形．
6.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，
∵△BEH是△BAH翻折而成，∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，
∵△DGF是△DGC翻折而成，∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，
∴∠DBH=∠ABD，∠BDG=∠BDC，∴∠DBH=∠BDG，∴△BEH与△DFG中，
∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，∴△BEH≌△DFG，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，∴BD===10，∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，∴BF=10-6=4cm，
设FG=x，则BG=8-x，在Rt△BGF中，BG2=BF2+FG2，即(8-x)2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm．
课时自测、认清自我
1.B 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AC=8，∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO=4，
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4，∴△ABO的周长是4+4+4=12，
2.C 【解析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，∴OD=OC=AC=2，∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
C 【解析】由题意得，AC==，故可得AM=，BM=AM﹣AB=﹣3，又∵点B的坐标为（2，0），∴点M的坐标为（﹣1，0）．
4.D 【解析】连接CE，由矩形ABCD可知O是AC的中点，又因为EO⊥AC，所以EO是AC的垂直平分线，则AE=CE.在Rt△CDE中，设AE=CE=x，则DE=2 - x，由勾股定理，得CE2=CD2+DE2，则x2=2+(2-x)2，解得AE=x=1.5.
5.B 【解析】∵矩形ABCD中，A（1，1），B（3，1），C（3，5），∴AB∥x轴∥CD，AD∥BC∥y轴，∴D的横坐标和A的横坐标相同，都是1，D的纵坐标和C的纵坐标相同，都是5，
即D的坐标是（1，5）.
6.B 【解析】30×20﹣30×1﹣20×1+1×1=600﹣30﹣20+1=551（平方米）．
7.C 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
8.C 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，
∴DF=DE．∴Rt△BDF≌Rt△ADE（HL）．∴∠DBF=∠DAE=90°﹣62°=28°．
9.4 【解析】∵Rt△ABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，∴斜边长为4，
设两个直角边的长为x，y，则x+y=4，x2+y2=16，解得：xy=8，∴S△ABC=xy=4．
10.3 【解析】∵直角三角形斜边长为6，∴这个直角三角形斜边上的中线长为3．
15.证明：∵矩形ABCD的对角线为AC和BD，∴AO=CO=BO=DO，∵E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF，∴EO=FO，在△BOE和△COF中，
∵∴△BOE≌△COF（SAS），∴BE=CF．
16.证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，AF=CF，∴EF∥BC，
∴∠FGC=∠GCD．∵CG平分∠ACD，∴∠FCG=∠GCD，∴∠FCG=∠FGC，∴FG=FC．
又∵AF=CF，∴FG是△ACG中AC边上的中线，且，∴△AGC是直角三角形，
∴AG⊥CG．
17.解：△BDE是等边三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，AD∥BC，AC=2OA，BD=2OD，∵AC=2AD，∴OA=OD=AD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=60°，∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE=AC，∴BD=BE，∴△BDE是等边三角形．
18.解：∵S△APD+S△BPC=S矩形ABCD，S△ABP+S△CPD=S矩形ABCD，∴S△APD+S△BPC=S△ABP
+S△CPD=S矩形ABCD，∴S△PAB=S矩形ABCD﹣S△PCD=S矩形ABCD﹣2，∴S△PAC=S△ABP+S△BPC﹣S△ABC=S△ABP+S△BPC﹣S矩形ABCD=S矩形ABCD﹣2+5﹣S矩形ABCD=3．
19.（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，
，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；
基础为本、掌握新知
一例一练、活用数学
D
A
B
C
点评：理解好矩形的性质，对以后学习正方形打下基础.
点评：要清楚理解矩形与平行四边形的性质的共同点与不同点.
点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出AC、BC的长是解此题的关键．
点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△ABO是等边三角形是解题的关键．
全真考题、能力拓展
课时自测、认清自我(共15张PPT)
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原创：xx22pp
探讨：当平行四边形的一个角为直角时，
这时它是一个什么样的图形？
18.2 特殊的平行四边形
我们一起来看一下：
18.2.1 矩形（1）
定义：
我们把有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一个角是直角
平行四边形
矩形：特殊的平行四边形
一、生活中的矩形
大家一起来说一说！
二、探讨：矩形的性质
因为矩形是一种特殊的平行四边形，
所以矩形也具备如下性质：
（1）.两对边互相平行；
（2）.对边相等；
（3）.对角相等；
（4）.对角线互相平分.
1.根据平行四边形的性质，你能得出矩形有哪些性质？
2.由矩形的定义和它的图可以得到什么样的性质呢？
二、探讨：矩形的性质
矩形的四个角都是直角
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
二、探讨：矩形的性质
3.画一画，量一量
（1）请同学们画一出个矩形，并连接它的对角线；
（2）分别量出两条对角形的边长；
你发现了什么？
老师，我发现了······
矩形的对角线相等.
AC=BD
OA=OB=OC=OD
总结：矩形的性质：
1.平行四边形所具有的性质，矩形也具备；
2.矩形的四个角都是直角；
3.矩形的对角线相等.
二、探讨：矩形的性质
矩形所特有的性质
二、探讨：矩形的性质
例1
长方形ABCD中，已知AB=8，AO=5，则矩形ABCD的面积 ．
解：∵AO=5，∴AC=10，
在直角△ABC中，
已知AB=8、AC=10，∴BC= ，
∴矩形ABCD的面积为6×8=48.
2.矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是 cm．
二、探讨：矩形的性质
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．
2.解：根据矩形的性质得到△ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到 ，解得BC=8，AB=6，故它的周长=2×8+2×6=28cm．
故答案为28．
思考
三、推理：矩形性质的拓展
如图，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边上的中线，BO与AC有什么关系？
解：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OB=OC=OD，
即BO= BD= AC.
由此我们得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、推理：矩形性质的拓展
例2
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平行.
∴OA=OB.
又∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形.
∴OA=AB=4.
∴AC=BD=2OA=8.
练一练
三、推理：矩形性质的拓展
如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=
30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，
∴BC=BE=CE=4，
∴△BCE是等边三角形，
∵CD是斜边AB上的高，
∴CD也是BE边上的中线，
∴ED= EB=2．
课外练习，请见《名师学典·数字》学案部分
学案内容：【基础为本、掌握新知】、【一例一练、活用数学】、【全真考题、能力拓展】、【课时自测、认清自我】
