第4讲 三角函数的综合应用
知识与方法
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决生活中的一些实际问题.我们要学会收集数据,利用收集到的数据作出散点图,根据散点图进行函数拟合,建立三角函数模型,利用函数模型解决实际问题,体会数学的应用过程,认识数学的应用价值,激发学习数学的热情.
本专题例题主要类型为三角函数的图象识别、三角函数的实际应用、三角函数的性质、新定义型问题、恰成立问题等,强调三角函数知识运用的灵活性和综合性.
要学会三角函数模型的建模方法,解题时注意体会数形结合的思想,会运用待定系数法确定函数的解析式,注重分析信息,处理数据,抽象归纳.
典型例题
【例1】的部分图象大致为（ ）
A B
【例2】如图,长方形的边是的中点,点沿着边,运动,.将动点到两点距离之和表示为的函数,则的图象大致为（ ）
A B
C D
【例3】如图,某大风车的半径为,每旋转一周,它的最低点离地面,风车圆周上一点从最低点开始,运动后与地面的距离为,求函数的关系式.
【例4】设函数,则的最小正周期（ ）
A.与有关,且与有关 B.与有关,但与无关
C.与无关,且与无关 D.与无关,但与有关
【例5】已知且则_____.
【例6】已知锐角满足,求的值.
【例7】(多选题)定义:角与都是任意角,若满足,则称与“广义互余”.已知,则在下列角中,可能与角“广义互余”的是（ ）
A. B. C. D.
【例8】(多选题)已知为坐标原点,点
,则（ ）
A. B.
C. D.
【例9】已知数列的通项公式,前项和为,则
【例10】已知是三个互不相等的锐角,在中,大于的数至多有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【例11】若,且,则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【例12】已知函数,当时,记的最大值为,则对任意的,求的最大值.
【例13】若均为锐角,且,则与的大小关系为
A. B. C. D.不确定第4讲 三角函数的综合应用
知识与方法
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种模型,可以用来研究很多问题,我们可以通过建立三角函数模型来解决生活中的一些实际问题.我们要学会收集数据,利用收集到的数据作出散点图,根据散点图进行函数拟合,建立三角函数模型,利用函数模型解决实际问题,体会数学的应用过程,认识数学的应用价值,激发学习数学的热情.
本专题例题主要类型为三角函数的图象识别、三角函数的实际应用、三角函数的性质、新定义型问题、恰成立问题等,强调三角函数知识运用的灵活性和综合性.
要学会三角函数模型的建模方法,解题时注意体会数形结合的思想,会运用待定系数法确定函数的解析式,注重分析信息,处理数据,抽象归纳.
典型例题
【例1】的部分图象大致为（ ）
A B
【分析】 首先关注函数的定义域,从图象的对称性分析函数的奇偶性,根据函数的奇偶性排除部分选项,从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值,利用特值检验.较难的题型为研究函数的单调性,从图象的走势分析函数的单调性、周期性等.
【解析】 由题意知,函数为奇函数,故排除选项;
当时,,排除选项;
当时,,因为,所以,故,排除选项A.故选C.
【点睛】 判断函数大致图象的例,可以考虑利用特殊值法来解答.本题可令,则,排除选项;接下来分别令,求出对应的函数值,判断选项的正误,利用排除法解答.
【例2】如图,长方形的边是的中点,点沿着边,运动,.将动点到两点距离之和表示为的函数,则的图象大致为（ ）
A B
C D
【分析】 本题涉及函数的模型、图象与实际应用.易知在各个区间上不可能是线性函数,故选项错误;对于选项,当时,点从点运动到的中点,在此过程中,不变,变大,则的周长变小,点到两点距离之和变小,当点运动到的中点时最小.另外,由对称性,可得图象关于直线对称.
【解析】 由于,故排除选项;
当点在上时,,不难发现的图象是非线性的，排除选项.
故选B.
【点睛】 本题是函数的图象与实际应用问题.在解题过程中,要结合图象的对称性、最值(极值)、零点、单调性等考虑.
【例3】如图,某大风车的半径为,每旋转一周,它的最低点离地面,风车圆周上一点从最低点开始,运动后与地面的距离为,求函数的关系式.
【分析】 思路一先收集数据.当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.根据数据作出相应的散点图,由散点图进行函数拟合得出三角函数模型,由图象进一步确定系数的值,从而解决问题.
思路二建立恰当的直角坐标系,用坐标法求解析式.
【解析】解法1：(1)收集数据,列表如下.
时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24
距离
(2)画散点图
(3)由散点图进行函数拟合得出三角函数模型.
(4)结合函数图象可以得到.
因为,所以.
将代人三角函数模型,解得.
综上,所求【解析】式为,
即.
解法2：如图,以点为原点,过点的切线为轴建立直角坐标系.
设,则.
在中,设,则,
所以.
而,所以.
所以.
【点睛】 建立三角函数模型的一般步骤(1)收集数据;(2)作出相应的散点图;(3)进行函数拟合,得出函数模型;(4)利用函数模型解决实际问题.
【例4】设函数,则的最小正周期（ ）
A.与有关,且与有关 B.与有关,但与无关
C.与无关,且与无关 D.与无关,但与有关
【分析】 本题研究与三角函数有关的二次多项式函数的周期性.从函数的结构上发现,决定图象的上、下平移的与其最小正周期无关,可排除选项;因此只需对系数分类讨论即可.
【解析】 由于.
当时,的最小正周期为；
当时,因为,所以的最小正周期不是的变化会引起的图象的上、下平移,不会影响其最小正周期.故选B.
【点睛】 研究复合函数的周期性,可结合有关函数的图象和性质,对多种可能情况进行讨论.
【例5】已知且则_____.
【分析】 本题条件中含有共三个变元,而待求的式子中不含,因此先消去,得到;再把视为主元,让以的形式出现,联想构造一元函数,利用函数的单调性来解题.
【解析】 由已知得.
记,
因为,所以在定义域上是增函数.
由得,故.
【点睛】 此题所求的式子好像与题设条件关系不大,我们观察三个变元的系数,大胆想象,消去,利用立方公式、倍角公式、函数的单调性、奇偶性等来解题.注意观察的特点.
【例6】已知锐角满足,求的值.
【分析】 本题只有一个等式,要求出两个变量的值,一般是不可能的.若能求解,必定含有某一隐含的条件,这需要仔细挖掘.考虑到等式左边可化为,而右边结构为对勾型函数,利用基本不等式,则右边.因此两边同时达到最值2.
【解析】 等式左边,当时取最大值;
等式右边,当时取最小值,此时.
所以,故.
【点睛】 此题涉及一个等式、两个变量,求解时要挖掘急含条件.常见的隐含条件有(1)若一个多项式可配成多个非负数的和为零的形式,则这些数都为零;(2)一个二次方程有实数根,则其根的判别式.
【例7】(多选题)定义:角与都是任意角,若满足,则称与“广义互余”.已知,则在下列角中,可能与角“广义互余”的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】本题为新定义信息问题,关键在于理解概念:任意角与满足.解题时只需对题中所给的条件逐一核验.
【解析】因为,所以.
若,则.
对于选项,故选项A符合条件;
对于选项,故选项不符合条件;
对于选项,即,又,故,故选项C符合条件;
对于选项,即,又,故,故选项不符合条件.
故选AC.
【点睛】新定义信息问题(或信息迁移问题)应理解题意,求解此类问题通常要分三步进行:(1)对新的定义或迁移来的背景知识进行信息提取,确定化归方向;(2)进行信息加工,探究解决方法;(3)进行知识转换,有效地“输出”结果.其中对信息的提取和化归(转化)是解题的关键.
【例8】(多选题)已知为坐标原点,点
,则（ ）
A. B.
C. D.
【分析】本题以单位圆上的点的三角函数值为载体,涉及向量的线性运算、模、数量积的坐标表示.
【解析】因为,所以选项正确.又,故选项B错误.
因为,所以,故选项C正确.
又,
故选项D错误.
故选AC.
【点睛】本题进行向量的线性运算、模、数量积的坐标表示时,要熟悉三角恒等变换公式.专题4三角函数的综合应用
【例9】已知数列的通项公式,前项和为,则
【分析】本题的数列通项中含有三角函数,非等差数列或等比数列,因此考虑其是否具有周期性.实际上,的周期,可列出数列的前4项,分析该数列的特点,然后进行求和.
【解析】算出数列的前8项:.
观察发现:奇数项为0,第1项至第4项的和为2,第5项至第8项的和为2.
于是.
故答案为.
【点睛】当计算数列的前项和时,一般应根据数列的特点进行分析.本题数列呈周期性变化,也可对奇数项或偶数项分类讨论求解.
【例10】已知是三个互不相等的锐角,在中,大于的数至多有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】本题中的具有轮换对称性,考虑到三角函数的平方关系,且(当且仅当时取等号),同理均有类似的性质,于是相加可得,所以三个式子不可能都大于;或考虑二倍角公式,三个式子相乘得,同样三个式子不可能都大于,再取特殊值(如)进行检验.
【解析】解法1：因为,同理,相加可得,所以三个式子不可能都大于.当分别取时,和大于,所以中大于的数至多有2个,故选C.
解法2：注意到,,所以三个式子不可能都大于,
所以中大于的数至多有2个.当分别取时,三个值分别为,大于的数有2个,故选C.
【点睛】本题要观察项的特点,采用基本不等式或逆用二倍角公式构建不等式.
【例11】若,且,则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】本题以不等式为载体,比较角的大小.常用的方法是借助函数的单调性(与奇偶性结合),因此需构造函数.考虑到,设函数进行分析.
【解析】设函数,易知是偶函数.
在区间上,单调递增.
因为,即,所以,故.
故选D.
【点睛】本题比较角的大小可利用函数的奇偶性、单调性.做题时结合导数判断函数在给定区间上的单调性.
【例12】已知函数,当时,记的最大值为,则对任意的,求的最大值.
【分析】本题为含绝对值的二次函数最值的综合问题.求二次函数的最值通常要先对区间与对称轴的可能情况进行分类讨论.本题中含绝对值,解题时可利用绝对值三角不等式的性质.
【解析】解法1：令,问题转化为对任意的,函数,求的最大值的最大值.
因为,
(1)若,则;
(2)若,则
综上,即的最大值为10,当时取到.
解法2：由绝对值三角不等式可得
又,所以,于是,即.
当时,在区间上取到最大值10.
【点睛】利用绝对值三角不等式求解.解二次函数主要看两端点和对称轴的值,注意对称轴处的函数值的处理方法,解二次函数绝对值要有一次函数的意识.
【例13】若均为锐角,且,则与的大小关系为
A. B. C. D.不确定
【分析】显然,可将等式右边展开,利用三角函数的有界性放缩;或者先得到角的范围,再用反证法得出答案.
【解析】解法1：因为,
所以,即.
又函数在区间上单调递增,所以.
故选A.
解法2：因为,所以.
又,所以.
若,则,所以,矛盾!
综上.
故选A.
【点睛】遇到涉及三角函数的比较大小问题,要考虑三角函数的有界性.
