第3讲 三角恒等变换
知识与方法
本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力.
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2.二倍角公式;
缩角升幂.
扩角降幂.
3.辅助角公式
（其中,辅助角所在象限由点的象限决定,.
4.二倍角公式
注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.
典型例题
【例1】若,则________________.
【分析】 本题为已知两个角的和与差的余弦值,求解两角正切值的乘积问题.对于,一般先“化切为弦”,发现,因此需探求角的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.
【解析】 .
两式分别相加、相减得,故.
【点睛】 要善于将三角恒等变换公式展开,利用四则运算进行公式变形.将转化为,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为,则化为,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.
【例2】若,则______.
【分析】 本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为,分别对等号两边平方,然后相加消去角,进而求出结论.
【解析】 因为,
所以,即,
整理得,所以.
【点睛】 将已知条件变形为,分别对等号两边平方,然后相加消去角,进而求出结论.该类型题的主要形式有已知求;或已知求.
【例3】已知,且,则______.
【分析】 本题求角的正切值,涉及的角有,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出的正切,再将式子,化为关于与的三角函数值,得到与的关系求解.
【解析】 因为,所以.
又，
所以,
即.
等号两边同除以,得.
【点睛】 要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将表示为表示为;角是的二倍.
【例4】 计算（ ）
A. B. C. D.
【分析】 本题为三角函数式的化简与求值,涉及的角有,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到中的角有,先将化为,再将展开,合并求解.
【解析】 原式
,
答案选C.
【点睛】 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等.
【例5】计算.
【分析】 本题计算的值,涉及的角有,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.
【解析】解法1：原式
解法2：原式
【点睛】 利用同角三角函数的基本关系进行“切化弦”,利用诱导公式、辅助角公式、两角和的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换.本题解法1实施转化的方法是利用“切化弦”及的特殊性,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.
【例6】化简的结果是___________.
【分析】 对于分母要考虑如何开方,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意的范围是.注意到分子中含有,因此分子的处理也化为半角的三角函数.一方面,;另一方面,,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力.
【解析】,
原式
.
【点睛】 依题意,可求得,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.
【例7】已知,则（ ）
A. B. C. D.
【分析】 本题为已知同角的正弦、余弦三角函数值的和,求角的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出的正弦、余弦三角函数值,再求出的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于的二次齐次式,则更为方便.
【解析】解法1： 由得.
所以,解得或.
当时,,此时;
当时,,此时.
所以或,所以.
故选C.
解法2：将平方,得.
所以,所以,
所以,解得或,所以.
故选C.
【点睛】 由题意,结合可得,进而可得,将其代入二倍角的正切公式求解.
【例8】若,求的值.
【分析】 此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现.若从诱导公式角度入手,可以把看成是的“二倍角”.而,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助.
【解析】解法1：
因为,所以,
所以.
注意到,所以.
原式.
解法2： 因为,所以.
所以,
所以原式.
解法3：由展开得,所以.
所以.
因为,
所以.
故原式.
【点睛】 (1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.
(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口.
(3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.
【例9】化简.
【分析】 可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,及;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.
【解析】1 原式
【解析】2原式
【点睛】 对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.
【例10】已知,且,求的值.
【分析】 本题已知的值,要求角的余弦值.观察已知角和所求角,可作的配凑角变换,利用余弦的差角公式求的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角的余弦值.
【解析】 因为,所以.
所以,
所以
所以.
【点睛】 “凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角的余弦函数值,而已知角只有,因此要将配凑为的二倍.
【例11】已知都是锐角,若,则______________.
A. B. C.和 D.和
【分析】 本题要求角的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到都是锐角,,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求.
【解析】 因为,且都是锐角,
所以.
所以.
又,所以.
故选A.
【点睛】 例已知的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出,然后结合的取值范围即可求得答案.角的取值范围这里选用求解,若选用求解,应先考虑缩小的取值范围,否则会产生增解.
【例12】已知函数.
(1)求的最小正周期.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【分析】 本题研究三角函数的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为的形式,常用公式为辅助角公式.
【解析】(1)
所以的最小正周期.
(2)因为,所以.所以,
所以.
【点睛】 用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.
强化训练
1.若,则________________.
【答案】
【解析】,,
两式分别相加、相减得,
所以.
2.已知,且为锐角,则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】已知,两式平方并相加得
,
即.
因为为锐角,,所以.
所以
.
3.求值.
【答案】
【解析】原式
.
4.化简.
【解析】原式
.
5.求值.
【解析】原式
.
6.化简.
【解析】解法1：
原式
.
解法由余弦的平方差公式得
,
所以原式
.
7.已知,则_______.
【答案】
【解析】因为所以.
所以,
所以.
8.已知,且,则的值为_______.
【答案】
【解析】解法1：由和,
可得,
则
解法2：由可得,等号两边平方可得,
则.
又,则,
则
9.设,化简.
【解析】因为,所以.
原式.
10.已知函数.
(1)求的值.
(2)若,求.
【解析】(1).
(2)因为,所以.
故,
所以.
从而.
11.已知,且.
(1)求的值.
(2)求.
【解析】(1)因为,所以.
所以.
(2)因为,
所以.
所以
.
因为,所以.
12.已知函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与轴的交点,为正三角形.
(1)求的值及函数的值域.
(2)若,且,求的值.
【解析】(1)由已知可得,.
所以正三角形的高为,从而.
所以函数的周期,即,
函数的值域为.
(2)已知,
由(1)有,
即.
由知,
所以.
故
.第3讲 三角恒等变换
知识与方法
本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力.
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2.二倍角公式;
缩角升幂.
扩角降幂.
3.辅助角公式
（其中,辅助角所在象限由点的象限决定,.
4.二倍角公式
注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.
典型例题
【例1】若,则________________.
【例2】若,则______.
【例3】已知,且,则______.
【例4】 计算（ ）
A. B. C. D.
【例5】计算.
【例6】化简的结果是___________.
【例7】已知,则（ ）
A. B. C. D.
【例8】若,求的值.
【例9】化简.
【例10】已知,且,求的值.
【例11】已知都是锐角,若,则______________.
A. B. C.和 D.和
【例12】已知函数.
(1)求的最小正周期.
(2)求在区间上的最大值和最小值.
强化训练
1.若,则________________.
2.已知,且为锐角,则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.求值.
4.化简.
5.求值.
6.化简.
7.已知,则_________.
8.已知,且,则的值为________.
9.设,化简.
10.已知函数.
(1)求的值.
(2)若,求.
11.已知,且.
(1)求的值.
(2)求.
12.已知函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,为图象与轴的交点,为正三角形.
(1)求的值及函数的值域.
(2)若,且,求的值.
