第5讲 平面向量的概念和线性运算
知识与方法
本专题主要内容是向量的基本概念及线性运算(加法、减法、数乘)、向量共线定理及其在证明三点共线中的应用.
1.向量的有关概念
(1)向量的定义、模及表示法.
(2)两个特殊的向量:零向量、单位向量.
(3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量(零向量和任一向量平行).
(4)相等(反)向量:长度相等且方向相同(反)的向量.
2.向量的线性运算
(1)向量的加法
三角形法则(图1):.
平行四边形法则(图2):.
(2)向量的减法
三角形法则(图3):.
(3)向量的数乘
定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,长度和方向规定如下.
(1).
(2)当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,.
3.共线向量定理及其应用
定理:向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得.
应用:如图4,若三点共线
4.如图5,在四边形中,.
(1)四边形是平行四边形.
(2)且四边形是菱形.
(3)四边形是矩形.
(4)平行四边形对角线的性质:.
典型例题
【例1】(多选题)下列命题正确的有（ ）
A.若,则
B.向量与向量是共线向量,则四点在一条直线上
C.当两个非零向量共线时,一定有,反之也成立
D.在中,若是的中点,则
【分析】选项考查共线向量(平行向量),向量的平行要和直线的平行区分开来,零向量和任何向量平行;选项是三角形中线的重要结论.
【解析】选项A错误,若,则与不一定平行;选项错误,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,所以四点不一定在一条直线上.故选CD.
【点睛】共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.向量可以平移,平移后的向量与原向量相等,非零向量的平行关系具有传递性.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.是与同方向的单位向量.
【例2】在中,已知为边上的中线,为的中点,则_____.
A. B.
C. D.
【分析】本题由选项可知要将向转化,在中,,又,从而得出答案.
【解析】解法1：如图,,故选A.
解法2：,故选.【点睛】在平面内,用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.
【例3】设两个非零向量与不共线.
(1)若.证明:三点共线.
(2)试确定实数,使和共线.
【分析】由向量共线定理知,要证明点共线,只需证明.
【解析】(1)因为,
所以,所以共线.
又它们有公共点,所以三点共线.
(2)因为与共线,所以存在实数,
使,即,
所以.
因为是不共线的两个非零向量,
所以,所以,解得.
【点睛】证明三点共线,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两个向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;向量共线是指存在不全为零的实数,使成立.若不共线,,则.
【例4】记设为平面向量,则（）
A. B.
C. D.
【分析】和分别表示两个实数中的较大值和较小值,于是,,故,结合向量的平行四边形对角线的性质公式即可求解.
【解析】由三角形法则知与的大小不确定.
因为,
所以,
所以,故选D.
【点睛】平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和,向量中有类似的结论,即.
【例5】如图,在中,已知点在线段BC上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则;若,写出类似的结论:.(答案不唯一)
【分析】由题意知,为线段的三等分点,连接,由点与点分别共线可知,可用表示,也可用表示,且系数和为1,因此可推导之间的关系式.
【解析】因为三点共线,所以.又,所以.又,所以,所以,故.若,则.故,所以,故.
【点睛】若三点共线,为任意一点,且,则系数.
【例6】在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点.若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
【分析】本题是轨迹问题,由可得三点共线,所以点的轨迹就是直线;或者先求出点的坐标,再消去参数,得到点的轨迹方程.
【解析】解法1：由于点满足,其中,且,则三点共线,点的轨迹方程是直线的方程.
由得两点式方程,化为,故选D.
解法2：设,由已知得.
因为,则,
故解得
由得,
化为,故选D.
【点睛】若点满足,其中,且,则点在直线上,故求出直线的方程即求出点的轨迹方程.
【例7】设是平面上的定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【分析】注意到均为单位向量,以它们为邻边构成的平行四边形为菱形,这两个单位向量的和向量所在直线为角的平分线.题中涉及单位向量、向量的加法(减法)、数乘运算、向量共线定理、三角形“四心”等,综合性较强.【解析】因为,所以,所以,所以三点共线.注意到均为单位向量,以它们为邻边构成的平行四边形为菱形,又为该菱形的对角线向量,所以直线平分角.当变化时,点在角的平分线上运动,更高更妙的百题讲坛高中数学(三角与向量)
所以点的轨迹一定通过的内心.故选B.
【点睛】以两个单位向量为邻边构成的平行四边形为菱形,对角线为角平分线.
【例8】若是所在平面内的一点,且满足,则的形状为 _____.
【分析】本题关键在于等式右边向量的处理,解法1将一分为二,分别和配对相减;解法2取边的中点,将合二为一.
【解析】解法1：因为,所以.
故以为邻边构成的平行四边形为矩形,于是为直角三角形.
解法2：取边的中点,则,于是.
边是其对应中线的两倍,于是,所以为直角三角形.
【点睛】若,则.
【例9】已知是内一点,且,则的面积与的面积之比为_____.
【分析】利用题中的向量等式找出点的具体位置,由于和的系数相同,取的中点,则点共线,然后利用向量共线定理求解.
【解析】因为,取的中点,
所以,即.
以为邻边作平行四边形,所以.点在的中线上,且满足,所以,所以的面积即的面积与的面积之比为.故答案为7.
【点睛】在中,当遇到时,经常取线段的中点,利用三角形中线的性质得.
【例10】已知,点在线段上,且的最小值为1,则的最小值为_____.
A. B. C.2 D.
【分析】的最小值就是等腰三角形的高线长,从而得出的值,利用最小值的几何意义快速求解.
【解析】解法1：如图,为等腰三角形且点到直线的距离为1,所以.记,
于是,
所以的最小值为点与直线上一点距离的最小值,即点到直线的距离,所以最小值为.
故选B.
解法2:因为,
所以的最小值为.故选B.更高更妙的百题讲坛高中数学(三角与向量)N
【点睛】若,则最小值的几何意义是点到直线的垂线段长度,最小值为.
强化训练
1.给出下列命题:(1)若是不共线的四点,则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件;(2)若都是单位向量,则;(3)向量与相等.所有正确命题的序号是（）
A.(1) B.(3) C.(1)(3) D.(1)(2)
【答案】A
【解析】根据向量的定义可知①正确.因为,所以且,又是不共线的四点,所以四边形为平行四边形;反之,若四边形为平行四边形,则且方向相同,因此.
②错误根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故错误.
③错误向量与互为相反向量,故错误.
2.在中,已知为边上的高,为的中点.若,则
A.1 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
即.
故.
3.已知向量,则（）
A.三点共线 B.三点共线
C.三点共线 D.三点共线
【答案】B
【解析】因为,所以共线.
又有公共点,所以三点共线.
4.设是两个非零向量,下列选项正确的是().
A.若,则
B.若,则
C.若,则存在实数,使得
D.若存在实数,使得,则
【答案】C
【解析】由向量模的绝对值三角不等式可知.若等号成立,即,此时共线反向,且,于是存在实数,使得,所以选项C正确.
5.如图,在中,已知是上一点.若,则实数的值为_____.
【答案】
【解析】因为,
所以.
又是上一点,即三点共线,则.
6.已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则_____.
A.100 B.101 C.200 D.201
【答案】A
【解析】依题意三点共线,则,.
7.已知点是所在平面内的一点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】C
【解析】由正弦定理知,
所以.
记这个值为,则为的中点),所以,所以三点共线,所以点的轨迹一定通过的重心.
8.已知为四边形所在平面内的任意一点,若,则四边形一定是（）
A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
【答案】
【解析】由得,
即,所以且.
所以四边形的形状是平行四边形.
9.在中,已知分别为的中点.为线段上的任一点,实数满足.设的面积分别为,记,则当取最大值时,的值为
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】由题意知,即,所以,
两边同除以,得,即.所以,
所以,当且仅当时取等号.
此时是的中点,如图,延长,交于点,则为的中点.
由得
所以,所以.
10.在中,若对任意均有成立,则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知,点到直线的距离的最小值大于或等于,
所以,故.第5讲 平面向量的概念和线性运算
知识与方法
本专题主要内容是向量的基本概念及线性运算(加法、减法、数乘)、向量共线定理及其在证明三点共线中的应用.
1.向量的有关概念
(1)向量的定义、模及表示法.
(2)两个特殊的向量:零向量、单位向量.
(3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量(零向量和任一向量平行).
(4)相等(反)向量:长度相等且方向相同(反)的向量.
2.向量的线性运算
(1)向量的加法
三角形法则(图1):.
平行四边形法则(图2):.
(2)向量的减法
三角形法则(图3):.
(3)向量的数乘
定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,长度和方向规定如下.
(1).
(2)当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,.
3.共线向量定理及其应用
定理:向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得.
应用:如图4,若三点共线
4.如图5,在四边形中,.
(1)四边形是平行四边形.
(2)且四边形是菱形.
(3)四边形是矩形.
(4)平行四边形对角线的性质:.
典型例题
【例1】(多选题)下列命题正确的有（ ）
A.若,则
B.向量与向量是共线向量,则四点在一条直线上
C.当两个非零向量共线时,一定有,反之也成立
D.在中,若是的中点,则
【例2】在中,已知为边上的中线,为的中点,则_____.
A. B.
C. D.
【例3】设两个非零向量与不共线.
(1)若.证明:三点共线.
(2)试确定实数,使和共线.
【例4】记设为平面向量,则（）
A. B.
C. D.
【例5】如图,在中,已知点在线段BC上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则;若,写出类似的结论:.(答案不唯一)
【例6】在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点.若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
【例7】设是平面上的定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【例8】若是所在平面内的一点,且满足,则的形状为 _____.
【例9】已知是内一点,且,则的面积与的面积之比为_____.
【例10】已知,点在线段上,且的最小值为1,则的最小值为_____.
A. B. C.2 D.
强化训练
1.给出下列命题:(1)若是不共线的四点,则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件;(2)若都是单位向量,则;(3)向量与相等.所有正确命题的序号是（）
A.(1) B.(3) C.(1)(3) D.(1)(2)
2.在中,已知为边上的高,为的中点.若,则（）
A.1 B. C. D.
3.已知向量,则（）
A.三点共线 B.三点共线
C.三点共线 D.三点共线
4.设是两个非零向量,下列选项正确的是().
A.若,则
B.若,则
C.若,则存在实数,使得
D.若存在实数,使得,则
5.如图,在中,已知是上一点.若,则实数的值为_____.
6.已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则_____.
A.100 B.101 C.200 D.201
7.已知点是所在平面内的一点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
8.已知为四边形所在平面内的任意一点,若,则四边形一定是（）
A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
9.在中,已知分别为的中点.为线段上的任一点,实数满足.设的面积分别为,记,则当取最大值时,的值为
A. B.1 C. D.
10.在中,若对任意均有成立,则（）
A. B.
C. D.
