第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式
知识与方法
本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法.
1.弧度制和角度制的换算:;
变形:.
弧长公式,扇形的面积公式.
2.象限角、终边相同的角的集合表示.
3.任意角的三角函数概念.
用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设
是单位圆与任意角的终边的交点,则.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.
在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系,商数关系.
(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系中,设是角的终边上的任意一点,记.
(2)同角三角函数的基本关系变形:.
典型例题
【例1】若角是第三象限象限角,则是第_______象限角.
【分析】此题为已知角终边所在象限,求半角所在象限问题.常用方法为由例所给的条件先写出的集合,再求出的范围,注意对整数进行讨论.
【解析】解法1：因为角是第三象限角,设,则
.
当时,,则是第二象限角;当
时,,则是第四象限角.故是第二或第四象限角.
解法2：(八卦图法)如图,将平面直角坐标系各象限分成两份,按逆时针方向依次标注记为,标满为止.由于角是第三象限角,现在看标有3的数字在图中哪些象限,注意到第二、四象限均有3,所以是第二或第四象限角.
【点睛】已知角终边所在象限,求半角终边所在象限,可对整 分两类讨论,即,.若是求三分之一角终边所在象限,可对整数分三类讨论,即,;也可用八卦图法,将坐标系各象限分成3份,按逆时针方向依次标注,标满为止,然后观察求解.当求 边所在象限时,不要忽略终边在坐标轴上的情况.
【例2】(1)若,求扇形的弧长.
(2)已知扇形的周长为,面积为,求扇形的圆心角弧度.
(3)若扇形的周长为,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【分析】已知扇形的圆心角和半径,求解长 和面积时应注意两种度量单位之间的换算,合理运用计算公式;若已知扇形的周长和面积的值,求圆心角弧度数只要建立关于半径和弧长的等式,解方程组即可.
【解析】(1)弧长.
(2)由题意得解得或
所以圆心角的弧度,舍去)或.
(3)由题意得,
所以扇形的面积.
当时,面积达到最大,此时弧长,圆心角弧度.
【点睛】解题时注意圆心角弧度值小于.
【例3】已知角的终边经过点,则________.
【分析】任意角的三角函数是用单位 来定义的,若角的终边上的点不在单位图上,则可考虑终边比值定义.若角的终边位置不确定,则需对可能的情况进行分类讨论.
【解析】点到原点的距离.
由三角函数的定义知,.
若,则,故;
若,则,故.
综上可得,.
【点睛】任意角的三角函数可用终边比值定义,也可用单位圆定义,注意.本题中,应该对分和两种情况讨论.
【例4】若,且,则是()
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限
【分析】任意角的三角函数涉及角所在的象限、函数名、符号.由角某一三角函数符号判定其所在象限时,注意口诀“-全正、二正弦、三正切、四余弦”.
【解析】由可知,角的终边在第三象限或轴负半轴或第四象限.
由可知,角的终边在第一象限或第三象限.
综上可得,角的终边在第三象限,故选.
【点睛】三角函数在各个象限的符号规律为“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.当时,注意角的终边可能会在轴负半轴上;当时,角的终边可能会在轴正半轴上.余弦值也类似.
【例5】满足的角的集合为________.
【分析】由某一三角函数值的范围求相应角的范围,常借助单位圆中的三角函数线或三角函数图象进行求解.
【解析】已知,如图.
当且时,或.
由角的终边与单位圆交点的横坐标得
.
所以角的集合为.
【点睛】解三角不等式可用单位圆法或三角函数图象法.对单位圆中的三角函数线可进行拓展学习,注意正弦线、余弦线、正切线的位置和方向.
【例6】已知,则________.
【分析】已知角的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.本题涉及角两个三角函数值的关系,借助“知二求一”的规律进行解方 组求解.
【解析】解法1：(利用平方关系和解方程(组)思想)
由得,即
,
解得.于是.
解法2：(化齐次式和“1”的代换)
等号两边平方得,
即,
整理得,解得.
另外,由得
,
即,解得,
解法3：:(构造对偶式)
利用,得,于是.
解法4：:(利用辅助角公式)
因为能取最大值,
所以,解.
解法5：（极值处导数值为0)
利用辅助角公式,能取最大值,则最大值处导数值为0.
等号两边求导得,即.
【点睛】本题利用弦切互化解方程的常规思路可求;由于条件给出的是特殊形式,考虑将等号两边平方,转化成齐次式,通过齐次式求解;若满足的形式,则;从导数的角度很容易理解,,若取得最值或极值,则必有.解题时应注意角的范围及三角函数值的符号.
【例7】已知,求：
(1)的值;
(2)的值.
【分析】已知角的某一三角函数值,求其余三角函数值,一般先用平方关系,再用商数关系.已知,得,结合平方关系,分角位于-、三象限进行讨论,求解,该方法较烦琐;本题中已知,常规方法为“切化弦”,巧用平方关系,进行“1”的代换.
【解析】(1)【解析】解法1：由得.
换.
解法2：原式分子、分母同除以得.
(2)原式除以得
.
【点睛】在同角三角函数关系中,已知角的正切值,求齐次式的值有两种常见类型:
类型1:分式型,分子、分母同除以,得到与正切有关的分式;
类型二次齐次型,分母1化为,然后将分子、分母同除以,得到与正切有关的分式.
【例】8已知是第三象限角,且.
(1)化简.
(2)若,求的值.
(3)若,求的值.
【分析】利用诱导公式对先化简,再求值,涉及三角恒等变换.在运用诱导公式化简时,可把当作锐角.
【解析】(1).
(2)因为,所以.
又是第三象限角,于是.
(3).
”与角的三角函数关系时,可将角当作锐角,“奇变偶不变,符号看象限”这里的“奇”“侗”指是奇效或是偶数.“变”与不变”指函数名,当是奇数时,函数名变为余名函数名;当是偶数时,函数名不变.如:在化简左边时,不能把当作第三象限角;用 导公式时,将角当作锐角.
强化训练
1.已知集合,则（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】集合中的元素取遍所有奇数,集合中的元素取遍所有整数,故,答案为.
2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢).
弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）
A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米
【答案】B
【解析】由题意知弦长为,矢为.
弧田面积(平方米).
3.若角的终边过点,且,则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由已知得,
所以,解得.
故选B.
4.若点在第四象限,则内的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为点在第四象限,
所以且.
如图,结合单位圆可得,【答案】为B.
5.函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】由,得,故.
由角的终边与单位圆中交点的纵坐标(正弦线)解得.
6.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为,过点作轴于点,直线与的图象交于点,则线段的长为________.
【答案】
【解析】线段的长即为的值,其中的满足,
即,
整理得,
解得或(舍去).
所以线段的长为.
7.若是第四象限角且,则__________.
【答案】
【解析】因为,所以,解得或8.
由于是第四象限角,当时,,,满足条件.
于是.
当时,不满足条件,舍去.
8.化简:.
【解析】原式,对的奇偶性讨论.
当为偶数时,设,
原式
;
当为奇数时,设,
原式
.
综上,原式.第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念与诱导公式
知识与方法
本专题主要涉及的知识为三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式.在学习过程中,要会利用定义、公式求解三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式,体会并理解数形结合、转化与化归的思想方法.
1.弧度制和角度制的换算:;
变形:.
弧长公式,扇形的面积公式.
2.象限角、终边相同的角的集合表示.
3.任意角的三角函数概念.
用单位圆上的点坐标表示锐角三角函数,在此基础上定义任意角的三角函数.设
是单位圆与任意角的终边的交点,则.直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式以及同角三角函数的基本关系.
在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,得出同角三角函数的平方关系,商数关系.
(1)三角函数的终边比值定义在平面直角坐标系中,设是角的终边上的任意一点,记.
(2)同角三角函数的基本关系变形:.
典型例题
【例1】若角是第三象限象限角,则是第_______象限角.
【例2】(1)若,求扇形的弧长.
(2)已知扇形的周长为,面积为,求扇形的圆心角弧度.
(3)若扇形的周长为,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【例3】已知角的终边经过点,则________.
【例4】若,且,则是()
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限
【例5】满足的角的集合为________.
【例6】已知,则________.
【例7】已知,求：
(1)的值;
(2)的值.
【例】8已知是第三象限角,且.
(1)化简.
(2)若,求的值.
(3)若,求的值.
强化训练
1.已知集合,则（）
A. B. C. D.
2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中“方田”章计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢矢).
弧田(如图),由圆弧和其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为、半径等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）
A.6平方米 B.9平方米 C.12平方米 D.15平方米
3.若角的终边过点,且,则的值为（）
A. B. C. D.
4.若点在第四象限,则内的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.函数的定义域为_________.
6.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为,过点作轴于点,直线与的图象交于点,则线段的长为________.
7.若是第四象限角且,则__________.
8.化简:.
