第2讲 三角函数的图像与性质
知识与方法
本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.
1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.
(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);
（2）对周期函数与周期定义中的“当取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;
(3)正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为.
2.对于函数,要注意以下几点.
(1)会用“五点法”作函数的图象.
(2)理解并掌握函数图象和函数图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.
具体:
注意,若周期变换在前,则一般公式为
.
(3)当函数表示一个振动量时,叫做振 ,叫做周期,叫做频率,叫做相位,叫做初相.
一般结论:函数及函数(其中为常数,且的周期.
数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借
典型例题
【例1】求函数的定义域.
【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.
【解析】利用的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期内,满足的解为,故所求函数的定义域为
.
图1图2
【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义的的取值范围,易错误提示：当列出有关的式子时,应注意其中隐含的条件.
如解,利用的图象(图3)或单位圆(图4)得
【例2】函数在区间上的值域为
【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如的式子在某一区间上的值域.
【解析】由已知得.
因为,所以,所以,所求值域为.
【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和的符号.
【例3】已知,则的最大值是_________.
【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数的值域问题.一般解法为消元,根据已知条件将用表示,利用三角函数的基本关系式将用表示,所求的式子昁般化为关于的二次式,其中整理得到,最后利用的取值范围,结合二次函数图象进行求解.
【解析】因为,所以.
函数.又因为,所以.
当时,取最大值.
【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式转化为关于的二次式,这里确定的取値范围是一个易错点.事实上不成主,否则,矛盾.
【例4】函数的值域是_________.
【分析】令,借助的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.
【解析】令,则.
对平方,得,所以.
所以,值域为.
【点睛】三角函数运算中和、差、积存在着密切的联系.如
等.在做题时要害于观察,进行相互转化.本题在换元时,注意.
【例5】函数的最大值是_______.
【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何 义求解.
【解析】解法1：（反解与有界性)
去分母可得,所以,
故,其中.
由三角函数的有界性知,所以,解得.
故所求的最大值为.
解法2：斜率的几何意义)
将化为,
可看作动点与定点连线的斜率.
易得在单位圆上,且,
单位圆的圆心到直线的距离,
可得.故所求的最大值为.
解法3：(代数法)
由得.
令,可得.故所求的最大值为.
解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)
因为
.
(分子分母同除以)
要使函数最大,则.
从而,当且为当时取等号.故所求的最大值为.
解法5：由【解析】4得,将其化为.
当时,,成立;
当时,,则,得.
故所求的最大值为.
【点睛】本题考查分式型函数最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.
【例6】已知函数,求：
（1）函数的单调递减区间.
(2)函数在区间上的单调递减区间.
【分析】本题研究三角函数的图象与性质,在求单调区间时,一般将看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时注意的符号对增减的影响.
【解析】(1)原函数化为,求函数的单调递减区间等价于求的单调递增区间.
令,解得.故函数的单调递减区间为.
(2)函数的单调递 区间与区间取交集即可.
函数的单调递减区间为,经分析可得只能取0
和.故在区间上的单调递减区间为和.
【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式,应注意0,把看作一个整体,根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单 区间,则对通解中的进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.
【例7】已知函数的最小正周期为,则函数的图象的一条对称轴方程是（）
A. B. C. D.
【分析】本题已知函数的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步研究其图象对称轴方程的求法.
【解析】1结合函数的周期公式,得,所以.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人的【解析】式检验即可,故选 C.
【解析】2由【解析】1知.
令,解得.
所以直线是图象的一条对称轴,故选 C.
【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.
【例8】若函数的图象关于直线对称,则实数______.
【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.
【解析】解法1：若函数的图象关于直线对称,则
为最大值,即,解得.故填.
解法2:若函数的图象关于直线对称,则
,解得.故填.
解法3：若函数的图象关于直线对称,则
.又,即,解得.故填.
【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关 是求的值,由图象关于直线对称得,从而求求的值,过程比较复杂.若换用特殊值点来求,小,注意,则的图象关于直线对称;而与的图象关于直线对称.
【例9】若函数对于任意,都有,则的最小值为（）
A. B. C.1 D.2
【分析】本题考查三 函数定义,三角函数周期的求法,以及计算能力和理解能力.
【解析】由题意知和分别为函数的最小值和最大值,故的最小值为函数的半周期.又周期,故的最小值为1.答案为.的最小值就是函数的半周期,求解即可.
*一般地,函数的周期为和的最小公倍数,但函数不是周期函数,不存在周 .
易错警示:考虑到的周期均为,则的周期为.此为错误解法.
【例10】已知函数.
(1)求它的振幅、周期和初相.
(2)用“五点法”作出它的图象.
(3)的图象可由的图象经过怎样的变换得到
【分析】熟悉三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.
【解析】(1)的振幅为、周期为、初相为.
(2)列表如下.
所作图象如下.
(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)
先将函数的图象向右平移个单位长度,得;再将横坐标变为原来的,纵坐标不变,得;
最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得.
解法2：(先伸缩后平移)
先将函数的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得;
再将图象向右平移个单位长度,得;
最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得.
【点睛】本题主要考查的图象,以“五点法”作图求解最为方便,但必须清楚它的图象与函数图象问的关系,弄清怎样由函 图象变换得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.
【例11】已知函数的一个周期的图象如图所示.
(1)写出解析式.
(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标.
(3)求函数的单调区间.
【分析】本题为已知函数的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求.
【解析】(1)由图象知振幅,周期,所以,所以
.
代人初始点,得.
又,所以,函数的解析式为.
(2)令,得,对称轴方程为.
令,得,对称中心坐标为.
(3)令,得.
所以函数的单调递增区间为.
令,得.
所以函数的单调递减区间为.
【点睛】由函数的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,注意对影响,进而由研究的性质.
【例12】已知,且在区间上有最小值,无最大值,则________________.
【分析】 由三角函数的图象和性质确定参数的值.
【解析】 因为在区间上有最小值,无最大值,所以,故,所以.又直线为函数图象的一条对称轴,且,故,所以.
结合知,.
【点睛】 由三角函数的图象和性质确定参数的值,注意区间范围.
【例13】设函数,则在下列区间上,函数不存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【分析】 由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.
【解析】解法1：画出函数与的图象,它们在区间上没有交点.故选A.
解法2： 考虑方程在指定区间上是否有解.
令,则.
考虑方程在区间上是否有解.作图发现函数和的图象在区间上无交点,从而方程在区间上无解.
故选A.
【点睛】 将求方程的根变换为求和图象的交点.
强化训练
求函数的定义域.
【解析】定义域为
由得角的终边位于图中的轴下方;
由得角的终边位于图中的阴影部分(包含).
在函数的一个周期内,满足以上两个条件的的范围是.
故定义域为或
2.已知的最大值为,最小值为,求实数与的值.
【解析】当时,因为的最大值为、最小值为,
所以,
解得.
当时,因为的最大值为、最小值为,
所以,解得.
当时,不满足条件.
综上所述,或.
已知,则的最大值为_______,最小值为___________.
【答案】
【解析】由得
所以.
由于,
由已知条件知,
所以,
故
函数的值域是________.
【答案】
【解析】令,则.因为,
所以,,则.
对平方得,所以.
所以,值域为.
函数的值域是________.
【答案】
【解析】解法(反解表示与有界性)去分母可得,即.
由三角函数的有界性知,,
整理得,解得.故值域是.
解法2：(常数分离法)函数.
因为,所以,,则.
故值域是.
已知是正数,函数在区号上是增函数,求的取值范围.
【解析】解法函数在区间上是增函数,
故且,从而.
解法2：由题意知.
因为,所以
即故.
7.若函数是偶函数,则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为偶函数,函数的图象关于直线对称,
则.
又,得.故选C.
8.若函数为常数,在处取得最小值,则函数是（）
A.偶函数,且它的图象关于点对称
B.偶函数,且它的图象关于点对称
C.奇函数,且它的图象关于点对称
D.奇函数,且它的图象关于点对称
【答案】
【解析】因为函数图象的对称轴是直线,则,得,
所以.
所以为奇函数且其图象关于点对称.
故选C
9.为了使函数在区间上至少出现50次最大值,则的最小值是________.
【答案】
【解析】至少需要个周期,即.
10.已知是实数,则函数的图像不可能是（）
【答案】D
【解析】对于选项,可得振幅,则周期;对于选项,可得当振幅时,周期;对于选项,可得,图象符合;选项不符合要求,它的振幅,则,但周期反而大于了.
故选D.
11.已知函数的部分图象如图所示,则__________.
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【分析】本题为已知三角函数与,研究两者图象间的变换问的.
【解析】.
先将函数名变为相同,,
再将其图象向右平移个单位长度即可.答案为 C.
【点睛】将变换为时,注意先提取,得,即,函数名化相同.进行平移变换应注意平移对象、函数名和平移量.
12.已知函数在上单调递减,则的取值范围是________________.
【答案】
【解析】由题意知,且一个单调递减区间为,故.
于是.
13.设常数使方程在闭区间上恰有三个解,,则________________.
【答案】
【解析】在区间上恰有三个解,结合函数在区间上的图象可知,当时,恰有三个解.不妨设,其中关于直线对称,,所以.第2讲 三角函数的图像与性质
知识与方法
本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.
1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.
(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);
（2）对周期函数与周期定义中的“当取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;
(3)正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为.
2.对于函数,要注意以下几点.
(1)会用“五点法”作函数的图象.
(2)理解并掌握函数图象和函数图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.
具体:
注意,若周期变换在前,则一般公式为
.
(3)当函数表示一个振动量时,叫做振 ,叫做周期,叫做频率,叫做相位,叫做初相.
一般结论:函数及函数(其中为常数,且的周期.
数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借
典型例题
【例1】求函数的定义域.
【例2】函数在区间上的值域为_________.
【例3】已知,则的最大值是_________.
【例4】函数的值域是_________.
【例5】函数的最大值是_______.
【例6】已知函数,求：
（1）函数的单调递减区间.
(2)函数在区间上的单调递减区间.
【例7】已知函数的最小正周期为,则函数的图象的一条对称轴方程是（）
A. B. C. D.
【例8】若函数的图象关于直线对称,则实数______.
【例9】若函数对于任意,都有,则的最小值为（）
A. B. C.1 D.2
【例10】已知函数.
(1)求它的振幅、周期和初相.
(2)用“五点法”作出它的图象.
(3)的图象可由的图象经过怎样的变换得到
【例11】已知函数的一个周期的图象如图所示.
(1)写出解析式.
(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标.
(3)求函数的单调区间.
【例12】已知,且在区间上有最小值,无最大值,则________________.
【例13】设函数,则在下列区间上,函数不存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
强化训练
求函数的定义域.
已知的最大值为,最小值为,求实数与的值.
已知,则的最大值为_______,最小值为___________.
4.函数的值域是________.
5.函数的值域是________.
6.已知是正数,函数在区号上是增函数,求的取值范围.
7.若函数是偶函数,则等于（）
A. B. C. D.
8.若函数为常数,在处取得最小值,则函数是（）
A.偶函数,且它的图象关于点对称
B.偶函数,且它的图象关于点对称
C.奇函数,且它的图象关于点对称
D.奇函数,且它的图象关于点对称
9.为了使函数在区间上至少出现50次最大值,则的最小值是________.
10.已知是实数,则函数的图像不可能是（）
11.已知函数的部分图象如图所示,则__________.
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
12.已知函数在上单调递减,则的取值范围是________________.
13.设常数使方程在闭区间上恰有三个解,,则________________.
