第8讲 余弦定理、正弦定理
知识与方法
本专题主要借助于向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.同学们要掌握余弦定理、正弦定理,能用余弦定理、正弦定理解决简单的解三角形问题.体会逻辑推理、数学建模及数学运算素养.
内角和定理:在中,已知,则,可得如下结论.
(1);
(3).
正弦定理:(其中表示三角形外接圆的半径).
易知在中,.
余弦定理:.
推论:.
3.在中,已知和时,解的情况如下.
三角形常用面积公式
4 设的面积为,外接圆半径为,内切圆半径为,半周长为.
(1);(2);(3);(4);(5);(6)(海伦
公式).
三角形中的射影定理
在中,.
6、应用问题:测量距离、高度、角度,计算面积、航海、物理问题等.
(1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角;在水平视线下方的角叫做俯角.
(2)方位角:指从正北方向按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角.
典型例题
【例1】设锐角三角形的三个内角所对的边分别为,且,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【例2】若的内角满足,则的最小值是_____.
【例3】 如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC只有两个，那么k的取值范围是________.
【例4】 在△ABC中，已知，且，试判断△ABC的形状.
【例5】在△ABC中，已知“”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【例6】 在△ABC中，设角所对的边分别为.已知
.
（1）求角C的大小.
（2）若，求△ABC的面积.
【例7】 在△ABC中，设角所对的边分别为，已知.
（1）证明：.
（2）若△ABC的面积，求角A的大小.
【例8】在△ABC中，设角所对的边分别为，S为△ABC的面积，满足.
（1）求角C的大小.
（2）若，求的取值范围.
【例9】 在锐角角形ABC中，已知.
（1）求角C.
（2）当时，求的取值范围.
【例10】 设△ABC的内角所对的边分别为，已知.
（1）求B.
（2）若，求△ABC面积的最大值.
【例11】如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则的最大值是________.（仰角为直线AP与平面ABC所成的角）
【例12】 在△ABC中，已知∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=
________.
【例13】 在△ABC中，已知分别是角的对边，设，求的值.第8讲 余弦定理、正弦定理
知识与方法
本专题主要借助于向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.同学们要掌握余弦定理、正弦定理,能用余弦定理、正弦定理解决简单的解三角形问题.体会逻辑推理、数学建模及数学运算素养.
内角和定理:在中,已知,则,可得如下结论.
(1);
(3).
正弦定理:(其中表示三角形外接圆的半径).
易知在中,.
余弦定理:.
推论:.
3.在中,已知和时,解的情况如下.
三角形常用面积公式
4 设的面积为,外接圆半径为,内切圆半径为,半周长为.
(1);(2);(3);(4);(5);(6)(海伦
公式).
三角形中的射影定理
在中,.
6、应用问题:测量距离、高度、角度,计算面积、航海、物理问题等.
(1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角;在水平视线下方的角叫做俯角.
(2)方位角:指从正北方向按顺时针方向转到目标方向线所成的水平角.
典型例题
【例1】设锐角三角形的三个内角所对的边分别为,且,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【分析】已知三角形某一条边或角,求其他边或角的取值范围,可运用正弦定理或余弦定理,考虑将“边化角”或“角化边”.
【解析】因为,所以.
因为是锐角三角形,所以
【点睛】本题的三个内角都是锐角,做题时易忽略.
【例2】若的内角满足,则的最小值是_____.
【分析】求角或某一角的三角函数值的取值范围,注意选择合适的三角函数,结合三角函数图象或单调性解决.这里已知角的正弦值,先用正弦定理将角化为边,再用余弦定理求的表达式.
【解析】 由已知及正弦定理得，则
，
当且仅当时等号成立.
故的最小值是.
【点睛】 解本题考虑用正弦定理、余弦定理和基本不等式，应注意等号成立的条件.如果进一步求解，则可得角C的取值范围.
【例3】 如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC只有两个，那么k的取值范围是________.
【分析】 根据正弦定理，用k表示出，由∠ABC推出角C的取值范围，利用特殊角的三角函数值求出的取值范围，进而求出k的取值范围.也可用几何法求解.
【解析】解法1： （图象法）由正弦定理得，即.
由题意知，满足条件的△ABC有两个，则.
解法2： （几何法）当满足条件的△ABC有两个时，需满足，
由此得到k的取值范围.
如图，，当时，以AC为半径的圆弧与BC交于点，由于△ABC有两个，可得.
【点睛】 由三角形的边角关系判断解的组数，涉及正弦定理及特殊角的三角函数值，要求掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值及灵活运用三角形的内角和定理这一隐含条件.
【例4】 在△ABC中，已知，且，试判断△ABC的形状.
【分析】 判断三角形形状可以按角分类，也可以按边分类.本题进行“边化角”用正弦定理，进行“角化边”用余弦定理，找出边或角的关系.
【解析】解法1 （从角考虑）由及正弦定理可得，
.
由得，即，
，从而，△ABC为等边三角形.
解法2 （从边考虑）由及余弦定理可得
.
又，得，即，
，从而，△ABC为等边三角形.
【点睛】 本题也可同时考虑边和角，已知条件中既有角的关系又有边的关系，不是用正弦定理就是用余弦定理，要么“边化角”，要么“角化边”.结论一般为特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.在变形过程中，要注意的范围对三角函数值的影响.
【例5】在△ABC中，已知“”是“△ABC为锐角三角形”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】 本题直接由推断△ABC的形状较难，注意到三角形中的三正切关系，进而分析求解.
【解析】 若△ABC为锐角三角形，则每个内角的正切值都大于0，
所以.
若，则在△ABC中，
存在恒等式，
故，
所以只能全为正数或两负、一正（舍去，否则有两个钝角），于是内角均为锐角，即△ABC为锐角三角形.
综上可知，“”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件.
故选C.
【点睛】 斜三角形中的重要恒等式：.
【例6】 在△ABC中，设角所对的边分别为.已知
.
（1）求角C的大小.
（2）若，求△ABC的面积.
【分析】 学会利用三角恒等变换和辅助角公式，利用诱导公式进行变形；掌握三角形内角和定理、正弦定理以及三角形面积公式中边角的处理方法.
【解析】 （1）由题意得，，
所以，化为.
由得.又，得，
即，所以.
（2）已知，由正弦定理得，得.
由得，从而，故
，所以.
【点睛】 第（1）问可根据，等降幂公式变形，然后利用辅助角公式将其变形为，写出两个正弦值相等的情况，注意，从而求出及角C；第（2）问已知两个角，一条边c，先用内角和定理和诱导公式求得，再用正弦定理或余弦定理求得边a，代入面积公式求解.
【例7】 在△ABC中，设角所对的边分别为，已知.
（1）证明：.
（2）若△ABC的面积，求角A的大小.
【分析】 本题已知边与角的关系式，第（1）问证明，可利用正弦定理化边为角，需要借助三角形的内角和定理、两角和的正弦公式；第（2）问增加△ABC的面积这一条件，求角A，涉及面积公式，得到，利用诱导公式要注意变换角.
【解析】 （1）因为，所以，
即，展开得
所以.
因为是三角形的内角，所以，即.
（2）由得，故有.
因为，所以.
义，所以.
当时，；当时，.
综上，或.
【点睛】 第（1）问先由正弦定理及两角和的正弦公式得，再判断的取值范围，进而可证；第（2）问先由三角形的面积公式及二倍角公式得，再利用三角形的内角和可得角A的大小.
【例8】在△ABC中，设角所对的边分别为，S为△ABC的面积，满足.
（1）求角C的大小.
（2）若，求的取值范围.
【分析】 本题第（1）问已知条件，求角C的大小，注意到等号左边可用三角形的面积公式，等号右边用余弦定理进行变形，得到角C的某一三角函数值，进而求角.第（2）问在第（1）问的基础上，已知一条边，求另两条边的和的取值范围，可考虑运用正弦定理化边为角的某一三角函数值，利用辅助角公式求函数值的取值范围.
【解析】 （1）由题意可知，所以.
因为，所以.
（2）解法1： 由正弦定理得，
则.
因为
，
所以.
又，所以，
所以，即的取值范围是.
解法2： 因为，所以，
即，
所以.
又，所以，即的取值范围是.
解法3： （数形结合）因为，即点C在圆弧上运动，如图，由图形的对称性得，
即的取值范围是.
【点睛】 由角的某一三角函数值求角的大小必须注意角的范围；同样，由角的范围求角的某一三角函数值，也需注意角的范围.若将条件限定在锐角三角形中，则角A的范围不是，也不是，应为所以.一般求两边之和（或周长）的范围还可以考虑用余弦定理和基本不等式，也可以借助圆来求解.
【例9】 在锐角角形ABC中，已知.
（1）求角C.
（2）当时，求的取值范围.
【分析】 第（1）问已知，求角C的大小，主要考虑等式两边结构，左边进行“切化弦”，右边分母利用余弦定理变形为角的某一三角函数值，进而求角的大小；第（2）问则利用正弦定理、辅助角公式求解函数值的范围.
【解析】 （1）因为，即，
所以，得或（舍去）.
（2）当时，.
所以
.
又△ABC为锐角三角形，所以且，得.
所以，故.
【点睛】 由角的某一三角函数值求角的大小必须注意角的范围；同样，由角的范围求角的某一三角函数值，也需注意角的范围.
【例10】 设△ABC的内角所对的边分别为，已知.
（1）求B.
（2）若，求△ABC面积的最大值.
【分析】 第（1）问已知，求B的大小，利用正弦定理将已知等式中的边化为角，求得角的某一三角函数值，进而求角的大小；第（2）问则利用正弦定理、辅助角公式或余弦定理、基本不等式求解面积函数值的取值范围.
【解析】 （1）解法1 已知，由正弦定理得，
所以，
即.
因为，所以，解得.
解法2 （射影定理）因为，又已知，
所以，解得.
（2）由余弦定理得，即.
由不等式得，即，当且仅当时，取等号.
所以△ABC的面积.
故△ABC面积的最大值为.
【点睛】 由角的某一三角函数值求角的大小必须注意角的范围；同样，由角的范围求角的某一三角函数值或△ABC面积的最值，也需注意角的范围.另外，要注意射影定理对简化解题的作用.
【例11】如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则的最大值是________.（仰角为直线AP与平面ABC所成的角）
【分析】 本题利用解三角形求最值.利用解三角形还能测量高度、长度、角度等，注意方向角、方位角、仰角、俯角等相关概念.
【解析】 因为AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，所以BC=20m.
如图，过点P作，交BC于点，连接，则.
设，则.
由∠BCM=30°得.
在中，，
所以
.
当时，函数取得最大值.故答案为.
【点睛】 求最值范围问题，要么化为二次函数求最值，要么化为对勾函数求最值，也可以利用导函数的性质求解.另外，直线AP与平面ABC所成角的最大值为平面MAC与平面BAC所成的二面角.
【例12】 在△ABC中，已知∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=
________.
【分析】 本题为已知Rt△ABC边角关系，求解某一角的三角函数值，可画图分析所求与已知的关系，通过诱导公式、同角关系、勾股定理、正弦定理等求解.
【解析】1 因为，所以.
又
，
即，
所以，
所以.
【解析】2 如图，设.
在△ABM中，由正弦定理可得，
代入数据可得，解得.
故.
在Rt△ACM中，.
故，化简可得，解得.
由勾股定理得，联立得.
在Rt△ABC中，.
【解析】3 设，在△ABM中，由正弦定理得，
又，所以.
又，
联立消去得，
构造二次齐次式，等号两边同除以，可得.
若，则，
解得，易得.
【解析】4 作，交于点D，
设，
由△DMB和△CAB相似解得，则，易得.
故答案为.
【点睛】 对于三角函数的实际应用问题，会依据实际问题画出三角形（或多边形），把已知问题转化为三角形中的边与角的关系，然后解三角形.
【例13】 在△ABC中，已知分别是角的对边，设，求的值.
以下公式供解题时参考：
，
.
【分析】 本题对已知等式采用正弦定理，化为关于角的正弦函数的等式.解题时利用同角三角函数基本公式、诱导公式等进行恒等变形.
【解析】解法1 因为所以
由得.
所以，
化简整理得.
因为，所以.
从而，所以.
解法2 由正弦定理和已知条件得.
由和差化积公式得.
由得.
又，得，所以.
因为，所以.
从而，所以.
【点睛】 条件中三边的幂次相同，此时可考虑用正弦定理或余弦定理化简.
