第7讲 平面向量的数量积及坐标表示
知识与方法
本专题主要内容是向量数量积的定义、投影向量、数量积的几何意义、数量积的坐标表示、向量的模长公式、两个向量的夹角计算公式等.数量积有四种不同形式:原始定义、几何意义、极化恒等式、余弦定理形式.解题时选择合适的基底或建立平面直角坐标系表示向量及其数量积,要能因“题”制宜,灵活运用,合理选择其中一种形式进行求解.
1.数量积的定义
,其中是与的夹角,的取值范围是.
投影向量
如图,设是两个非零向量,在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,我们把叫做向量在上的投影向量.
3.数量积的几何意义
与的数量积等于与在方向上的投影向量的数量积.
4.数量积的坐标表示及性质
坐标表示:若,则.
(1)；(解决垂直问题)
(2);(求向量的长度)
(3);(求向量的夹角)
(4).(当时取等号)
5.极化恒等式.
6.余弦定理形式.
典型例题
【例1】已知,若与的夹角为,求的值.
【例2】已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求向量与的夹角.
【例3】 设两个向量 满足 的夹角为 , 若向量 . 与 的夹角为钝角,求实数的取值范围.
【例4】已知 是空间单位向量, . , 若空间向量 满足 , 且
A. B.
C. D.
【例5】已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=，若空间向量b满足b·e1==2，b·e2=，且对于任意,则_____.
【例6】已知平面向量满足,且与的夹角为,则的取值范围是_____.
【例7】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）
A.1 B.2 C. D.
【例8】已知向量,点满足,若,且,则的取值范围是_____.
【例9】已知 是边长为 2 的等边三角形, 为平面 内一点, 则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【例10】已已知点为的外心,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【例 11】已知 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 满足 , 则 最小值为_____.
强化训练
1.设为单位向量,非零向量.若的夹角为,则的最大值等于_____.
2.已知都是非零向量,且,求向量与的夹角的正弦值.
3.已知平面上的三点,若为钝角,则的取值范围是()
A. B. C. D.且
4.设为两个非零向量的夹角,已知对任意的实数的最小值为1()
A.若确定,则唯一确定 B.若确定,则唯一确定
C.若确定,则唯一确定 D.若确定,则唯一确定
5.已知正四面体的棱长为2,空间动点满足,求.的取值范围.
6.已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是_____.
7.已知是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是
A. B. C.2 D.
8.已知向量满足,且,则的取值范围是_____.
9.在中,已知是边上的定点,满足,且对于边上任一点,恒有,则()
A. B. C. D.
10.若三点不共线,,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
11.已知共面向量满足,且.若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为（ ）
A. B.2 C.4 D.6第7讲 平面向量的数量积及坐标表示
知识与方法
本专题主要内容是向量数量积的定义、投影向量、数量积的几何意义、数量积的坐标表示、向量的模长公式、两个向量的夹角计算公式等.数量积有四种不同形式:原始定义、几何意义、极化恒等式、余弦定理形式.解题时选择合适的基底或建立平面直角坐标系表示向量及其数量积,要能因“题”制宜,灵活运用,合理选择其中一种形式进行求解.
1.数量积的定义
,其中是与的夹角,的取值范围是.
投影向量
如图,设是两个非零向量,在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,我们把叫做向量在上的投影向量.
3.数量积的几何意义
与的数量积等于与在方向上的投影向量的数量积.
4.数量积的坐标表示及性质
坐标表示:若,则.
(1)；(解决垂直问题)
(2);(求向量的长度)
(3);(求向量的夹角)
(4).(当时取等号)
5.极化恒等式.
6.余弦定理形式.
典型例题
【例1】已知,若与的夹角为,求的值.
【分析】本题是向量数量积的定义及坐标表示的运用,常用方法是先求出坐标,再通过两向量夹角计算公式,得到关于的方程.
【解析】由已知得,所以.
因为,又,
所以,所以,解得或(增根,舍去),所以.
【点睛】求解与向量模有关的问题,可利用坐标运算求解或进行平方化求解.利用数量积公式可建立一个关于的方程,进而求解.
【例2】已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求向量与的夹角.
【分析】两个向量垂直即它们的数量积为零,联立方程组消去得到的关系式,利用向量夹角公式求解.
【解析】由题意即
由(1)-(2)得,即,代人(1)得,所以.令与的夹角为,则,故,即与的夹角为.
【点睛】将向量的垂直和角度问题转化为与数量积有关的应用问题.
【例3】 设两个向量 满足 的夹角为 , 若向量 . 与 的夹角为钝角,求实数的取值范围.
【分析】因为与的夹角为钴角,所以两者的数量积小于零,但应排除两个向量反向的情形.
【解析】由向量与的夹角为钝角得,,化简得,解得.当夹角为时,也有,但此时夹角不是钝角.
综上,实数的取值范围是.
【点睛】研究两个向量夹角的范围,常用其数量积进行计算.夹角为锐角等价于且不同向(共线).
【例4】已知 是空间单位向量, . , 若空间向量 满足 , 且
A. B.
C. D.
【分析】本题是向量垂直关系的判定,解法1将不等式平方,化为与向量模有关的不等式恒成立问题;解法2利用向量的几何意义,将模转化为点线距离.
【解析】解法1：将的两边平方得,即,展开并整理得.
对任意均成立,则需方程的判别式,
即.
又,所以,故,即.
故选C.
解法2：寻求不等式的几何意义,如图所示.
设,则即为,当时取等号,即当为点到直线间的距离时,点线之间的垂线段最短.所以,故选C.
【点睛】对于与向量模有关的不等式恒成立问题,常用解法为平方法,将原问题转化为二次函数的恒成立问题加以解决.利用的几何意义,即点线之间的垂线段最短求解更简捷.
【例5】已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=，若空间向量b满足b·e1==2，b·e2=，且对于任意,则_____.
【分析】由可知,空间向量在上投影向量的长度分别为;表示的终点与确定平面上任意一点的距离,由题意知,的终点到确定平面的距离为1,将空间问题平面化,利用数形结合法求出.
【解析】解法1：由知,向量到为基底的平面的距离为1.
向量为平面的法向量,则与都垂直,
所以.
又,所以.
解法2：因为,所以.
不妨设，
由题意可知,解得,所以.
因为,
所以
.
当时,取最小值1,
此时,故.故答案为.
【点睛】要正确理解的几何意义,即其模最小值表示点面之间的距离也即垂线段最短,其中为平面的法向量.
【例6】已知平面向量满足,且与的夹角为,则的取值范围是_____.
【分析】本题研究向量的模与夹角,利用三角形中的边角关系进行求解.
【解析】解法1：设,因为与的夹角为,所以.又,所以点在圆弧上运动,的最小值为0,最大值为圆弧所在的圆的直径.
由正弦定理可得,又,所以的取值范围是.
解法2：由余弦定理可得,整理得,所以,即,故的取值范围是.
【点睛】对于三角形中涉及一边及对角的问题,可考虑利用三点共圆,解题时用正弦定理或余弦定理.
【例7】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（）
A.1 B.2 C. D.
【解析】解法1：由得.因为是平面内两个互相垂直的单位向量,所以.
所以,即的最大值是.故选C.
解法2：建立适当的平面直角坐标系,设,由得,即,整理得.故点在以为圆心、为半径的圆上,则的最大值等于圆的直径,故选C.
【解析】3设且,因为互相垂直,,所以互相垂直,所以四点共圆.当为圆的直径时,达到最大值.
故选C.
【例8】已知向量,点满足,若,且,则的取值范围是_____.
【分析】本题考查向量的数量积与模的关系,会利用矩形的性质进行求解.
【解析】解法1：由于,若,则以为邻边构造矩形,则矩形外一点满足,即.
又,则,故的取值范围是.
解法2：设点,
由可得点.
于是.
又,所以.综上,.
【点睛】利用矩形的性质进行求解,注意构造矩形.
【例9】已知 是边长为 2 的等边三角形, 为平面 内一点, 则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【分析】本题求解平面向量的数量积运算涉及最值,一般可建立直角坐标系将相关向量用坐标表示;注意到三角形的一条边长为定值,另两条边所在向量的数量积可考虑利用极化恒等式求解.
解法1：以为轴,的垂直平分线为轴,点为坐标原点建立直角坐标系,如图.则.设点,则.所以.
故,
当点的坐标为时,取最小值.
解法2：(利用极化恒等式),取的中点,则,即最小值是.
故选B.
【点睛】平面向量数量积中有关最值问题的求解通常有两种思路:一是“形化”,即利用平面向量数量积的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断;二是“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.解法2利用极化恒等式方便计算.
【例10】已已知点为的外心,若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【分析】先利用外心的性质对所求式子进行化简,再进行消元.
【解析】解法1：取的中点的中点,如图.
因为,则,解得,
所以,故选B.
解法2：取的中点,连接,则,
所以
(下同解法1)
【点睛】求向量数量积的范围主要用基底法、投影法等.
【例 11】已知 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 满足 , 则 最小值为_____.
【分析】利用坐标法求解,建立坐标系,设,再设,则,构造相似三角形.设,可得,所以.
【解析】如图,,
设,则向量满足.设,所以是以为圆心、为半径的圆上的一点,
所以.
同理.
取点,则.
因为,所以,所以,即,
所以.
由三角形的三边关系知.
【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量模的几何意义,以及函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,求解时注意构造相似三角形.
强化训练
设为单位向量,非零向量.若的夹角为,则的最大值等于_____.
【答案】2
【解析】因为为单位向量,的夹角等于,
所以.
因为非零向量,
所以.
当时,
故当时,取得最大值为2.
已知都是非零向量,且,求向量与的夹角的正弦值.
【解析】由题意得
即
得.
令向量与的夹角为,
则.所以.
3.已知平面上的三点,若为钝角,则的取值范围是()
A. B. C. D.且
【答案】D
【解析】由于为钝角,则且不反向.
又,
则
即
4.设为两个非零向量的夹角,已知对任意的实数的最小值为1()
A.若确定,则唯一确定 B.若确定,则唯一确定
C.若确定,则唯一确定 D.若确定,则唯一确定
【答案】B
【解析】解法 1：由题意可得
令,
得.
由二次函数的性质可知恒成立,
所以当时,取最小值1,
即.
故当唯一确定时,唯一确定.
解法寻求不等式的几何意义,如图所示.
设,则对任意,恒有,即,当,即为点到直线间的距离时,取等号,此时点线之间垂线段最短.
若确定,则唯一确定
5.已知正四面体的棱长为2,空间动点满足,求.的取值范围.
【解析】取的中点.
因为,所以,所以点在以为球心,半径为1的球面上运动,
于是.
又.
综上,。
6.已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】解法1：因为,即,所以且.
因为为单位向量,所以,所以,故.
解法2：设,则.,所以点在以为直径的圆上,
如图,故.
解法坐标法)
设,则.
所以,即.
因此终点的轨迹是圆,所以的几何意义是圆上一点到原点距离的范围,
所以
7.已知是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是（）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】解法设,
因为,
所以表示点在以为圆心、1为半径的圆上.
若非零向量与的夹角为,如图,当,即共线时,有最小值是.
解法2：化为.
令,则.表示,点在以为直径的圆上.(下略)
解法3：以为坐标原点,设.
由得,即.
故点在以为圆心、1为半径的圆上.(下略)
8.已知向量满足,且,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】设,
由知.
以为邻边构造矩形,如图,则.
矩形外一点满足,则
故的取值范围为.
9.在中,已知是边上的定点,满足,且对于边上任一点,恒有,则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图,取的中点,
则,
其最小值为,则.
又是边上的定点,满足.
取的中点,则.
故是等腰三角形,所以.
10.若三点不共线,,则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知,以所在直线为轴、中垂线为轴建立直角坐标系,可得,,设.
已知,代入相应坐标得
即,故点的轨迹是阿氏圆,圆心坐标为,半径为,
则.
所以
11.已知共面向量满足,且.若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为（ ）
A. B.2 C.4 D.6
【答案】
【解析】已知,可取,设.
因为,
所以为线段的中点,,
易得,
即,故点的轨迹是阿氏圆,圆心坐标为,半径为2.
的最小值为,表示点到直线的距离,的最大值为圆的半径2.
