第9讲 平面向量的综合应用
知识与方法
本专题为平面向量的综合应用.平面向量融“数”“形”于一体，主要有两个作用：①载体作用，利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
平面向量具有几何与代数的双重身份，向量的坐标表示和运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合创造了条件.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题.在解题时，通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，这是解决这类问题的一般方法.
（1）矩形的性质定理：
设O是矩形ABCD所在平面内一点，则.
（2）四边形对角线向量定理：
已知四边形ABCD，则.
典型例题
【例1】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是________.
【例2】已知向量满足，则的最小值是________，最大值是________.
【例3】 已知向量，平面向量b满足，求的最小值.
【例4】 对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量满足，a与b的夹角，且和都在集合中，则（ ）
A． B．1 C． D．
【例5】 在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，点O为△ABC的外心，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【例6】在平面四边形ABCD中，已知，求的值.
【例7】 若向量满足且，求的最小值.
【例8】已知平面向量满足，求的最小值.
【例9】在△ABC中，若，求△ABC面积的最大值.
【例10】如图,已知的斜边的长为,且点分别在轴、轴正半轴上滑动,点在线段的右上方.设,记,分别考虑的所有运算结果,则（）
有最小值,有最大值 B.有最大值,有最小值
C.有最大值,有最大值 D.有最小值,有最小值
强化训练
1.已知平面向量满足，则与a夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量满足，则的最大值为（ ）
A.4 B. C. D.8
3.设平面向量满足，则的最大值为________，最小值为________.
4.定义向量的外积：叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件.（1），且和构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致）；（2）的模（表示向量的夹角）.如图，在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A.与的方向相反
B.
C.与正方体表面积的数值相等
D.与正方体体积的数值相
5.已知△ABC，AB=2，BC=3，AC=4，点O为△ABC的内心，记，，则（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在平面四边形ABCD中，已知分别是边的中点，若，设，则的最大值是________.
7.已知平面向量满足，若对每一确定的b，的最大值和最小值分别为，则对任意的b，求的最小值.
8.已知平面向量满足，求的最大值.
9.在中,已知,求的最大值.
10.已知两个不相等的非零向量,两组向量和,均由2个和3个排列而成.记表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
(1)有5个不同的值;
(2)若,则与无关;
(3)若,则与无关;
(4)若,则;
(5)若,则与的夹角为.第9讲 平面向量的综合应用
知识与方法
本专题为平面向量的综合应用.平面向量融“数”“形”于一体，主要有两个作用：①载体作用，利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
平面向量具有几何与代数的双重身份，向量的坐标表示和运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合创造了条件.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式等相结合的一类综合问题.在解题时，通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，这是解决这类问题的一般方法.
（1）矩形的性质定理：
设O是矩形ABCD所在平面内一点，则.
（2）四边形对角线向量定理：
已知四边形ABCD，则.
典型例题
【例1】若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是________.
【分析】 本题考查平面向量与解三角形，考查两个向量的夹角问题，三角形面积与不等式的转化.
【解析】解法1 如图，向量与在单位圆O内，由于，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，故以向量为边的三角形的面积为，故的终点在如图所示的线段AB上.（且圆心O到AB的距离为）因此夹角的取值范围.
解法2 因为，
所以.
又因为，所以.
【点睛】 先利用以向量为邻边的平行四边形的面积，求出关于的【解析】式，再利用三角函数的性质，求出夹角的范围.注意两个共起点的向量夹角范围是.
【例2】已知向量满足，则的最小值是________，最大值是________.
【分析】 本题求函数（模的和问题）的最值可利用数形结合的方法，涉及余弦定理、线性规划等基础知识.
【解析】解法1 设向量的夹角为，由得
，
同理，，
则.
令，
则.
据此可得的最小值是4，最大值是.
解法2 因为，如图1所示建立坐标系，设，
则，
所以.（下同【解析】1）
解法3 设，则.
所以.
同理，可得最小值是4，最大值是.
解法4 因为，
设.
问题转化为当时，求的最值.
如图2，设，当直线过点或时，截距最小为4；
当直线与圆相切时，，截距最大为.
综上，所求的最小值是4，最大值是.
【点睛】 对于，掌握向量模的求解公式.
【例3】 已知向量，平面向量b满足，求的最小值.
【分析】 本题求数量积的最值，可转化为求二次函数的最值.
【解析】 因为，所以，于是.
所以.
综上，的最小值为20.
【点睛】 题中涉及向量的坐标表示、数量积的运算性质等知识，通过变形可以将所求式转化为关于的函数表达式.
【例4】 对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量满足，a与b的夹角，且和都在集合中，则（ ）
A． B．1 C． D．
【分析】 本题是新定义问题，借助向量的数量积定义了一种新的向量运算，灵活性强，能较好地考查学生的数学素养.
【解析】，两式相乘，可得.
因为，所以都是正整数，于是，即，所以.而，所以，于是.故选C.
【点睛】 牢记向量数量积的定义，结合向量夹角余弦值的有界性进行求解.
【例5】 在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，点O为△ABC的外心，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】 本题巧妙地将向量的数量积运算与三角形的外心融合，外心是三角形三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，本题可利用数量积的几何意义加以解决.
【解析】
因为，
，所以.
【点睛】 若点O为△ABC的外心，则
.
向量表示三角形“四心”的相关结论：
在△ABC中，设O是△ABC所在平面上一点.
（1）若，则O是△ABC的外心；
（2）若，则O是△ABC的重心；
（3）若，则O是△ABC的垂心；
（4）若，则O是△ABC的内心.
【例6】在平面四边形ABCD中，已知，求的值.
【分析】 可以取特殊四边形算出答案.当对角线互相垂直平分时，可建立坐标系求解，一般做法是把所求式中的向量往已知长度的上转化.
【解析】 因为，
，
所以
.
【点睛】 求四边形中的向量数量积的关键在于转化与化归.
【例7】 若向量满足且，求的最小值.
【分析】 由题意知与垂直，故c的终点轨迹是圆，圆心是终点连线的中点，半径为，利用数形结合的方法即可求解.
【解析】记，则，即.于是点C在以AB为直径的圆上，如图，设圆心为点D，所以.
故所求的最小值为2.
【点睛】 看到数量积为零，联想到向量垂直，尝试利用数形结合的方法解决，注意和是平行四边形的两条对角线的长.
【例8】已知平面向量满足，求的最小值.
【分析】 解法1将不等式平方后出现，借助基本不等式求最小值；解法2用极化恒等式求解.
【解析】解法1 将平方可得.
由于，所以，
故，于是.
解法2 设，则.
又，其中C为线段AB的中点.
所以.
【点睛】 由基本不等式求向量数量积的范围，类比实数中的不等式，向量中也有类似的结论：.
【例9】在△ABC中，若，求△ABC面积的最大值.
【分析】 由题意BC=6，利用极化恒等式可以求出点A到边BC中点的距离，结合公式可求出最大面积.
【解析】 取边BC的中点D，由极化恒等式得.
又，故DC=3，于是AD=4.
故△ABC的面积为，
当且仅当时，△ABC的面积有最大值12.
【点睛】 本题△ABC的一条边为定值，另外两条边所在向量的数量积用极化恒等式解决.
【例10】如图,已知的斜边的长为,且点分别在轴、轴正半轴上滑动,点在线段的右上方.设,记,分别考虑的所有运算结果,则
有最小值,有最大值 B.有最大值,有最小值
C.有最大值,有最大值 D.有最小值,有最小值
【分析】本题的实际背景是含特殊角和的直角三角板在坐标系中滑动的问题,题目新颖,创新性强.由于线段的长为定值,故采用数量积的极化恒等式对进行变形,从而只需考虑三角形滑动时,的中点到原点的距离是否存在最值.由联想到三点共线,故连接,与线段的交点记为,所以,最后考虑是否存在最值即可.
【解析】,取的中点的中点,
则.
又,所以有最大值.
连接线段,交于点,设,则.
又三点共线,所以.
又,所以.
又,
所以,于是有最小值.
故选B.
【点睛】解本题利用了数量积的极化恒等式,在三点共线中,相关向量的系数和为1.
强化训练
1.已知平面向量满足，则与a夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法1设,
将平方得,
所以,于是.
记与的夹角为,则
，所以.
解法设,则.
因为,所以点在“阿氏圆”上.
设其圆心为,则,半径.
当与圆相切时,取最大值.
2.已知向量满足，则的最大值为（ ）
A.4 B. C. D.8
【答案】B
【解析】解法1：注意向量间的联系，令，，则，，
所以．
解法2：(坐标法)
设，，则，所以，即．于是．
解法3：因为，所以．又，所以．
所以．
3.设平面向量满足，则的最大值为________，最小值为________.
【答案】，
【解析】由数量积的余弦定理得．
由数量积的极化恒等式得．
4.定义向量的外积：叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件.（1），且和构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致）；（2）的模（表示向量的夹角）.如图，在正方体中，有以下四个结论，
正确的有（ ）
A.与的方向相反
B.
C.与正方体表面积的数值相等
D.与正方体体积的数值相
【答案】C
【解析】由向量与的外积的定义逐项判断即可得到结果．
对于选项A，在正方体中，，．
根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故选项A错误．
对于选项B，根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，故选项B错误．对于选项C，根据向量外积的第二个性质可知，则与正方体表面积的数值相等，故选项正确．
对于选项D，与的方向相反，则，故选项D错误．
5.已知△ABC，AB=2，BC=3，AC=4，点O为△ABC的内心，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设的内切圆与三边，，的切点分别为，，，
则，，．
所以．
同理，，．
又线段，，的长度相等，所以．
6.如图，在平面四边形ABCD中，已知分别是边的中点，若，设，则的最大值是________.
【答案】
【解析】连接线段，，，，可知四边形为平行四边形，于是．
故，即．
所以
7.已知平面向量满足，若对每一确定的b，的最大值和最小值分别为，则对任意的b，求的最小值.
【解析】设，，，由得，即，所以点在线段的中垂线上．
又，即，所以点在以线段为直径的圆上．
设该圆的圆心为点、半径为，则的最大值，最小值．
于是，当时，取得最小值．
8.已知平面向量满足，求的最大值.
【解析】由向量模的绝对值三角不等式可得，，
所以，故的最大值为．
9.在中,已知,求的最大值.
【解析】由数量积的定义及余弦定理知，．同理得，．
已知条件化为，即．
由余弦定理及基本不等式得
所以，当且仅当时，等号成立，
因此的最大值是．
10.已知两个不相等的非零向量,两组向量和,均由2个和3个排列而成.记表示所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
(1)有5个不同的值;
(2)若,则与无关;
(3)若,则与无关;
(4)若,则;
(5)若,则与的夹角为.
【答案】(2)(4)
【解析】有三种情况，，，
因为，所以．
若，则，与无关，②正确；
若，则，与有关，③错误；
若，则，④正确；
若，，则，
所以，，④错误．
