江西省宜丰县中2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

宜丰县中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试卷
一、单选题(40分 )
1．复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果保留整数）（ ）
A． B．
C． D．
5．已知两点，，则线段AB的垂直平分线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
11．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为（ ）
A．x－3＝0 B．x－2＝0 C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝0
12．若曲线与直线有两个交点，则实数k的取值可以是（ ）
A．0.3 B．0.75 C．0.8 D．0.6
三、填空题（20分）
13．在中，三个内角对应的边分别为，若，，则______.
14．已知，直线，且 ，则的最小值为_____________
15．定义运算，若，，，则__________．
16．已知二面角α－l－β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为________，此时直线PQ与平面α所成的角为________．
四、解答题（70分）
17．已知是复数,与均为实数(为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.
(1)求的值;
(2)求实数的取值范围.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积.
19．已知直线：.
（1）若直线的倾斜角是倾斜角的两倍，且与的交点在直线上，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且与的距离为3，求直线的方程．
20．已知函数，.
（1）若，求函数的值域；
（2）已知为锐角且，求的值.
21．如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°．
(1)求此正三棱柱的侧棱长；
(2)求二面角A－BD－C的正切值；
22．已知圆过点，且与轴相切于坐标原点，过直线上的一动点引圆的两条切线，，切点分别为，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为线段的中点，点为坐标原点，求的最大值．
宜丰县中2022-2023学年高二下学期开学考试
数学试卷参考答案：
1．D
2．A
3．C.
4．D【详解】解：由题意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，
所以，在中，，故选：D.
5．B【详解】依题意，，则线段AB的垂直平分线的斜率为，又A，B两点的中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程为，即.故选：B
6．A【详解】直线分别与轴，轴交于，两点,,则
点P在圆上,圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为,则
7．C【详解】解：因为向量，，若
， 解得为选C
8．C【详解】设，，所以，又，所以．
因为且，所以，整理可得，
又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，
所以，因为，所以的最小值为．
故选：C．
9．ABD【详解】因为，所以，则，
因为，所以，，所以，故A正确；所以，所以，故D正确；联立，可得，，故B正确；所以，故C错误.故选：ABD.
10．AC【详解】解：对于A：若，，则或或或与相交不垂直，故A错误；对于B：若，，根据面面平行的性质可得，故B正确；
对于C：若，，，则或或与相交或与异面，故C错误；
对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：AC
11．AC【详解】由题意得圆心，半径．∵∴点M在圆C外部，所以过点M的圆的切线有两条.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为．即．
又圆到直线的距离，∴直线是圆C的切线;
当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为，即；则圆心C到切线的距离，解得∴切线方程为，即，
过点M的圆C的切线方程为或．选项AC正确.故选:AC．
12．BD【详解】解：设直线为，圆心为，曲线可化为，，
所以曲线是以为圆心，2为半径的半圆，直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，即，解得，直线恒过点，当直线过点时，直线的斜率为，所以曲线与直线有两个交点，实数k的取值范围为，故选：BD
13．##【详解】由正弦定理可得：，又，，；
由余弦定理得：，，.故答案为：.
14．8【详解】因为，所以，即.因为，所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：8
15．【详解】根据题干得到，
，因为，所以，所以，又，，代入上式得到结果为，则.故答案为：
16． 【详解】（1）如图，分别作，，连结，，，连结，则，因为，所以,当点与点重合时，取最小值，又此时成立，所以两点之间距离的最小值是；
（2）此时点与点重合，此时，所以与平面所成的角为.
故答案为：；
17．解:(1)设,又,且为实数,∴,解得.
∴,∵为实数,∴,解得.
∴
(2)∵复数,
∴,解得.即实数的取值范围是.
18．（1）解：由正弦定理得，，∴，∵，∴.
（2）解：因为，∴，，代入已知得，，即，又∵，∴，
∴.
19．解：（1）因为直线的斜率为，所以倾斜角为.又因为直线的倾斜角是倾斜角的两倍，故的倾斜角是.因为直线与直线的交点为，所以直线的方程是，即.
（2）因为直线与直线平行，故可设直线的方程为.
因为与的距离为3，则有，解得或，所以直线的方程或.
20．（1）因为
，由，得，所以，即，故函数的值域为．
（2）由，得, 又因为为锐角，所以，，所以，所以，所以=．
21．（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE，∵是正三角形，∴，又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面．连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°，在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为．
（2）过E作于F，连接AF，∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角．
在中，，又BE＝1，，∴．又，∴在中，．
22．（1）解：∵圆与轴相切，∴可设圆心的坐标为；
又∵圆过点，，∴，
解得，∴圆心为，半径为1，∴圆的标准方程为；
（2）解：如图，设，两点的坐标分别为，，再设点为，直线的方程为，又∵过点，且与直线垂直，∴为，又知过点，得到，整理可知点满足：，同理点满足：，∴直线的方程为，∴直线恒过定点，设定点为点，由题意可知当点与点不重合时，，点在以为直径的圆上（不包括点），当点与点重合时也在该圆上，∴点的轨迹为（去掉），设圆心为，，当时，；当时，∵，又∵即点与点所在直线的斜率，范围是．进而，∴，综上：，∴的最大值为．答案第1页，共2页