江西省宜丰县中2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（Word版含答案）

宜丰县中2022-2023学年高一下学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．1．已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
2．“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a＝20210.5，b＝0.52021，c＝log20210.5，则（ ）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b
4．函数的图象大致为（ ）
B. C. D.
5．已知某种树木的高度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年，t∈N+）满足如下的逻辑斯谛（Logistic）增长模型：，其中e为自然对数的底数，设该树栽下的时刻为0，则该种树木生长至3米高时，大约经过的时间为（ ）
A．2年 B．3年 C．4年 D．5年
6.若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（1，+∞） C． D．
7．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数恰好有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知a＞0，b＞0，若4a+b＝1，则（ ）
A．的最小值为9 B．的最小值为9
C．（4a+1）（b+1）的最大值为 D．（a+1）（b+1）的最大值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分不必要条件
B．“xy＞0”是“x+y＞0”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，x2+1＝0”的否定是“ x∈R，x2+1≠0”
D．已知a，b，c∈R．方程ax2+bx+c＝0有一个根为1的充要条件是a+b+c＝0
11.已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a∈R，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数a，使得函数f（x）为奇函数
B．存在实数a，使得函数f（x）为偶函数
C．当a＞0时，f（x）的单调增区间为
D．当a＜0时，f（x）的单调减区间为
12．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解
C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上为减函数，则m＝　 　．
14．已知：，，则的最小值是_______________.
15．设函数若在区间上的最大值为,最小值为，则的值为　　　　
16．已知函数的图象关于直线x＝0对称，当时，恒成立，则满足的x的取值范围是 　 　．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
18．已知p：函数f（x）＝（a﹣m）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根都大于1．
（1）当m＝5时，p是真命题，求a的取值范围；
（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围．
19．已知函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论；
（3）若对任意t∈R，不等式f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
20．定义在R上的函数f（x）是单调函数，满足f（3）＝6，且f（x+y）＝f（x）+f（y），（x，y∈R）．
（1）求f（0），f（1）；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．
①；②．
若 _______，f（kx2）+f（2x﹣1）＜0，求实数k的取值范围．
21．2021年8月21日，旅居法国的中国大熊猫“欢欢”在法国博瓦勒动物园顺利产下一对双胞胎，为使熊猫妈妈能够更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的居室ABCD的基础上扩建成一个更大的矩形居室AMPN，使活动空间更大，为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示，已知AB＝6m，AD＝4m，设DN＝xm，矩形AMPN的面积为ym2．
（1）写出y关于x的表达式，并求出x为多少时，y有最小值；
（2）要使矩形AMNP的面积大于128m2，则DN的长应该在什么范围内？
22．对于在区间上有意义的函数f(x)，若满足对任意的，有恒成立，则称f(x)在上是“友好”的，否则就称f（x）在上是“不友好”的.现有函数
(1)当a=1时，判断函数f(x)在上是否“友好”；
(2)若函数f(x)在区间(1≤m≤2)上是“友好”的，求实数a的取值范围
(3)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.
高一数学开学试卷参考答案
1.B 2.B 3.C 4.A解：函数＝，f（﹣x）＝，，所以函数是非奇非偶函数，排除B；f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，所以函数在（﹣∞，0）上不是单调增函数，排除C；函数，x＞0时，函数f（x）＞0，排除D．
5.C 6.D
7.A解：令，则，因为，，∴为奇函数，又因为，由函数单调性可知为的增函数，∵，则，∴，，
∴，解得.
8.A解：画出函数的大致图象，如下图所示：
方程有5个不同的实数解，设，则方程化为，易知此方程有两个不等的实根，，结合的图象可知，，，令，则由二次函数的根的分布情况得：，解得：.
9.BC
10.AD解：A，若ac2＞bc2，则c≠0，c2＞0，∴a＞b，若a＞b，因为c2≥0，所以ac2≥bc2，∴ac2＞bc2是a＞b的充分不必要条件，故A正确；B，当x＝﹣1，y＝﹣2时，满足xy＞0，但不满足x+y＞0，∴充分性不成立，当x＝﹣1，y＝2时，满足x+y＞0，但不满足xy＞0，∴必要性不成立，∴xy＞0是x+y＞0的既不充分也不必要条件，故B错误；C，命题 x∈R，x2+1＝0的否定是 x∈R，x2+1≠0，故C错误；D，①充分性：若a+b+c＝0，则c＝﹣a﹣b，当a＝0时，则b≠0，由ax2+bx+c＝0，得bx﹣b＝0，∴x＝1，当a≠0时，由ax2+bx+c＝0，得ax2+bx﹣a﹣b＝0，即a（x﹣1）（x+1）+b（x﹣1）＝（x﹣1）[a（x+1）+b]＝0，得x＝1或x＝﹣﹣1，∴x＝1是方程ax2+bx+c＝0的一个根，②必要性：若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则a+b+c＝0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根是1的充要条件是a+b+c＝0，∴故D正确，
11AC解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x﹣a|＝﹣x|x+a|，显然当a＝0时，则f（﹣x）＝﹣f（x），但不存在实数a使f（﹣x）＝f（x）成立，所以选项A正确，选项B错误；，当a＞0时，易知f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以选项C正确；同理可得，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误．
12.AD解：对A：令，数形结合可知，或或；令，，，又因为，故，数形结合可知都有一个根，故方程有且仅有三个解，A正确；对B：令，数形结合可知，；令，因为，数形结合可知，该方程有一个根，故方程有且仅有一个解，故B错误；对C：令，数形结合可知，或或；令，由题可知，，数形结合可知，各有一个解，，有三个解，故方程有且仅有五个解，故C错误；对D：令，数形结合可知，；令，又，数形结合可知，该方程有一个解，故方程有且仅有一个解，D正确.
13.﹣1 14. 15.1解：由题意知，（x∈[﹣2，2]），
设，则f（x）＝g（x）+1，因为，所以g（x）为奇函数，g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值的和为0，所以M+N＝2，所以（M+N﹣1）2022＝（2﹣1）2022＝1．
16.（，）解：∵函数f（x）的图象关于直线x＝0对称，∴当x2＞x1≥0时，[f（x2）﹣f（x1）] （x2﹣x1）＞0恒成立，∴当x≥0时，f（x）为增函数，∵f（x）为偶函数，∴不等式f（2x﹣1）＜f（）等价为不等式f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，得﹣＜2x﹣1＜，得＜2x＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），
17.解：（1）原式＝．
（2）原式＝．
18.解：（1）因为m＝5，所以f（x）＝（a﹣5）x因为p是真命题，所以0＜a﹣5＜1，所以5＜a＜6．故a的取值范围是（5，6）
（2）若p是真命题，则0＜a﹣m＜1，解得m＜a＜m+1．关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣1＝0的两根分别为a﹣1和a+1．若q是真命题，则a﹣1＞1，解得a＞2．因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，所以m≥2．
19.解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即，∴b＝1，经检验b＝1时，是R上奇函数；
（2），则f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则，
因为x1＜x2，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（3）因为f（x）是R上奇函数，所以f（kt2）+f（2kt﹣1）＜0，
等价于f（kt2）＜﹣f（2kt﹣1），即f（kt2）＜f（1﹣2kt），
因为f（x）为R上增函数，则kt2＜1﹣2kt对一切t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0恒成立，
①k＝0显然成立；
②，解得﹣1＜k＜0；综上所述，k的取值范墙是（﹣1，0]．
20.解：（1）取x＝0，得f（0+y）＝f（0）+f（y），即f（y）＝f（0）+f（y），∴f（0）＝0，
∵f（3）＝f（1+2）＝f（1）+f（2）＝f（1）+f（1）+f（1）＝3f（1），又f（3）＝6，得3f（1）＝6，可得f（1）＝2；
（2）取y＝﹣x，得f（0）＝f[x+（﹣x）]＝f（x）+f（﹣x）＝0，移项得f（﹣x）＝﹣f（x）∴函数f（x）是奇函数；
（3）选①：
∵f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上恒成立，
∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上恒成立，且f（0）＝0＜f（1）＝2；
∴f（x）在R上是增函数，∴kx2＜1﹣2x在上恒成立，∴在上恒成立，
令．由于，∴．
∴g（x）min＝g（1）＝﹣1，∴k＜﹣1．即k∈（﹣∞，﹣1）．
选②：f（x）是奇函数，且f（kx2）+f（2x﹣1）＜0在上有解，
∴f（kx2）＜f（1﹣2x）在上有解，且f（0））＝0＜f（1）＝2；
∴f（x）在R上是增函数，
∴kx2＜1﹣2x在上有解，∴在上有解，
令．由于，∴．
∴，∴k＜0．即k∈（﹣∞，0）．
21.解：（1）由题意可知，CD∥AM，则，∴，∴y＝＝＝，
当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立．
（2）要使矩形AMNP的面积大于128m2，则，化简整理可得，3x2﹣40x+48＞0，∴0＜x＜或x＞12，故DN的长应在（0，）∪（12，+∞）．
22.（1）当a=1时，在上单调递减，， ，于是得，即，有，所以当a=1时，函数f(x)在上是 “友好”的.
（2）依题意，在上单调递减，则，，则有
，
即，可得，令t=2m-1(1≤t≤3)，
则，则，函数在上单调递减，在上单调递增，当t=1或3时，取最大值1，此时，，
于是当t=1或3时，取最大值，依题意，，又对于任意的，，即，此时，综上，a的取值范围是.
（3）依题意，方程化为：，且，于是得：，即，
当a=3时，可得x=-1，此时有且，则a=3，
当a=2时，可得x=-1，此时有，矛盾，
当a≠2且a≠3时，可得x=-1或，若x=-1是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=a-1>0，且a-1≠1，则a>1且a≠2，若是原方程的解，必有(a-3)x+ 2a-4=2a-3>0，且2a-3≠1，则且a≠2，因此，要使方程有且仅有一个解，必有，综上，方程的解集中有且仅有一个元素，有或a=3，所以实数a的取值范围为.