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第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的变化而变化．
新课导入
(3)已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S（单位：km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化而变化．
讲授新知
贰
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
都具有 的形式，其中 是常数．
分式
分子
讲授新知
知识点1：反比例函数的概念
(k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，
一般地，形如
其中 x 是自变量，y 是函数.
思考：反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
讲授新知
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想：反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
反比例函数的几种表达方式：(注意 k ≠ 0)
y=kx-1
xy=k
y与x成反比例
讲授新知
【例1】下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
是，
(1)
(5)
(4)
(3)
(2)
范例应用
【例2】填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
范例应用
【例3】已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
解得 m =－2.
【点睛】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
2m2 + 3m－3=－1，
2m2 + m－1≠0.
范例应用
所以
解：因为 是反比例函数，
已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
【点拨】(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．
解：（1）∵变量y与x成反比例，
知识点2：用待定系数法确定反比例函数解析式
讲授新知
∴设y＝ (k≠0)，
∵当x＝2时，y＝6，∴k＝2×6＝12，
∴y与x之间的函数解析式是y＝ ；
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
解：把 x=4 代入 ，得
讲授新知
【归纳总结】用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数代回所设的函数关系式。
讲授新知
【例4】已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
所以有 ，解得 k =16，因此 .
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ，
范例应用
(2) 当 x = 7 时，
【例5】已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
∴k1=1，k2=－2.
－3=－k1+k2 ，
∴
(2) 当 x = 时，y 的值.
范例应用
解：（1）∵ y1 与(x－1)成正比例，y2 与(x＋1)成反比例
设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，
则 .
∴
（2）把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y =
知识点3：建立反比例函数模型及其相关问题
讲授新知
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
(1)底边为3cm的三角形的面积 y 随底边上的高xcm的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；
(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．
分析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．
解：(1)两个变量之间的函数解析式为：y＝ x，不是反比例函数；
(2)两个变量之间的函数解析式为：s＝vt，是反比例函数；
(3)两个变量之间的函数解析式为：y＝100－10x，不是反比例函数
当堂训练
叁
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中：① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm； x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
当堂训练
2.已知函数y=（ -1） ，当m= _______ 时，它时正比例函数；当m = _______ 时，它是反比例函数.
2
0
3. 如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
当堂训练
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以
课堂小结
肆
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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1 反比例函数
学习目标
1．理解反比例函数的概念；(难点)
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)
重点：能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．
难点：理解反比例函数的概念
学习过程
一、创设问题情境
1、课堂导入
下列问题中，下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式
（1）京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化。
（2）某住宅小区要种植一块面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的变化而变化．
（3）已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化而变化．
知识点1:反比例函数的概念
二、揭示问题规律
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
， ，
归纳
都具有分式的形式，其中分子是常数.
问题2 类比正比例函数的一般形式，你能根据特点给出反比例函数的一般形式吗？
定义 ：一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。
问题3 思考：反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
归纳 ：反比例函数的几种表达方式：(注意 k ≠ 0)
(1)y＝(k为常数，k≠0)；
(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；
(3)y＝(k为常数，k≠0)．
概念辨析：下列表达式中，y是x的反比例函数的有__________
知识点2：用待定系数法确定反比例函数解析式
已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝6.求：
(1)y与x之间的函数解析式；
(2)当x＝4时，y的值．
【归纳总结】：用待定系数法求解反比例函数解析式的一般步骤
1.设出含有待定系数的反比例函数关系式；
2.把一对已知的x,y的值代入关系式，得到一个关于待定系数的方程；
3.解这个方程，求出待定系数；
4.将所求得的待定系数代回所设的函数关系式。
知识点3：建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
(1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；
(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．
【方法归纳】解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．
三、学习检测
例1：列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
①；②；③；④;⑤y=3x-1
【方法归纳】判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx－1(k为常数，k≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．
例2：填空
若 是反比例函数，则 m 的取值范围是m≠1。
若是反比例函数，则m的取值范围是m≠0且m≠-2。
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围是m=-1。
例3：已知函数y＝(2＋m－1)是反比例函数，求m的值．
【方法归纳】已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
例4：已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
例5：已知y＝，与(x－1)成正比例，与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
(2)当x＝－时，y的值．
【方法归纳】能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．
四、尝试应用
1.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知函数y=（ -1） ，当m= 时，它是正比例函数；当m = 时，它是反比例函数。
3.如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
五、自主总结
1.基本知识
反比例函数的定义及其一般形式
2.基本方法.
学会用___________确定系数k，进而求出反比例函数解析式
基本思想
用到了________________的数学思想
六、达标测试
一、填空题
1.下列函数中① ，②3xy=1．③，④，反比例函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
3.已知y与x成正比例，z与y成反比例，那么z与x之间的关系是（ ）
A．成正比例 B．成反比例
C．有可能成正比例，也有可能成反比例 D．无法确定
4. 已知v是t的反比例函数，且当t=2时，v=5，那么，当v=10时，t的值为（ ）
A．25 B．4 C．1 D．
5. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A． B．v+t=480 C． D．
二、填空题
6.已知y=（a-1）是反比例函数，则a=______-1
．
7.在2015北京国际郁金香文化节中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为____________.
8. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上．若x1x2=-4，则y1y2的值为 _______.
-9
三、解答题
9. 已知函数y=（5m-3）x2-n+（n+m），
（1）当m，n为何值时是一次函数？
（2）当m，n为何值时，为正比例函数？
（3）当m，n为何值时，为反比例函数？
10. 生物学习小组欲建一个一边为xm，面积是30m2的三角形生物养殖区，若这条边上的高为ym，
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.
（2）y关于x的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数.
11.已知y=y1+y2，y1与（x－1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=－3，当x=1时，y=－1．
（1）求y的表达式；
（2）求当x= 时y的值．
参考答案
一、填空题
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A
二、填空题
6.-1
7.
8.-9
三、解答题
9.解：（1）当函数y=（5m-3）x2-n+（m+n）是一次函数时，
2-n=1，且5m-3≠0，
解得n=1且m≠；
（2）当函数y=（5m-3）x2-n+（m+n）是正比例函数时，
，
解得n=1，m=-1．
（3）当函数y=（5m-3）x2-n+（m+n）是反比例函数时，
，
解得n=3，m=-3.
10.解：（1）由S=xy=30，得，x的取值范围是x＞0；
（2）由可知，y是x的反比例函数，系数为60.
11.解：（1）∵y1与（x－1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，
∴y1=k1（x－1），y2=，
∵y=y1+y2，当x=0时，y=－3，当x=1时，y=－1．
∴，
∴k2=－2，k1=1，
∴y=x－1－；
（2）把x=－代入（1）中函数关系式得，y=－.
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