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第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
26.1.2.1 反比例函数的图象和性质
学习目标：
1.会用描点法画反比例函数的图象；结合图象分析并掌握其性质；
2.经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征；
3.由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣；
重点:正确地进行描点、画出图象，理解并掌握反比例的图象和性质;
难点:向学生渗透数形结合的思想方法，让学生初步认识具体的反比例函数图象的特征；
学习过程
一、温故知新
我们知道一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 、二次函数的图象是 ，反比例函数 (k≠0) 的图象是什么样呢？
我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？
3.根据k的取值，应该如何分类讨论呢？
二、新知导学
1. 活动一：在直角坐标系中画出下列函数的图像：
画出反比例函数 和的图象．
画图时注意：（1）列表时取值应注意什么？
（2）连线时应该注意什么？
（3）x的取值能为零吗？图像和坐标轴有交点吗？为什么？
x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 …
… -1.5 -2 6 2 1 …
… -1 -2 -4 -6 12 4 3 1 …
2.合作探究
观察下面图形想想下列问题：
思考：请观察反比例函数与的图象，它们有哪些特征？
每个函数的图象分别位于哪些象限？
在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
（3）对于反比例函数，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？
活动二：观察与思考：当k=-1, -3 , -6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？
当k＞0时，双曲线的两支分别位于___ ___象限，在每个象限内y值随x值的增大而______；当k＜0时，双曲线的两支分别位于__ ____象限，在每个象限内y值随x值的增大而______．
三．典例分析
例1：反比例函数 的图象大致是（ )
例2：已知反比例函数的图象过点(-2，-5)，函数图象上有两点A( )，B(5，) ,则与的大小关系为( )
A. > B. < C = D.无法确定
例3：点(3，)和(5，)在函数 上，则 （填“>”“<”或“=”）.
例4：点(，3)和(，5)在函数 上，则 （填“>”“<”或“=”）.
四、当堂检测：
1、姜老师给出一个函数表达式， 甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质，甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随r值的增大而减小、根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（ ）
A. y=4x B. y= C. D.
2.在反比例函数(k>0)的图象上有两点A( , )，B( , ) 且>>0，则- 0.
3.已知反比例函数 ，y随x的增大而增大，求a的值.
4．点A( , )，B( , )在反比例函数 的图象上．如果>，而且、同号，那么、,有怎样的大小关系？为什么？
五、课堂小结
通过本课时的学习，需要我们
1.会用描点法画出反比例函数的图象
2.知道反比例函数的图象是双曲线.
3.理解反比例函数的性质并能应用性质解决问题
六、达标测试
一、填空题
1.关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称
2.已知一次函数y=kx+k-1和反比例函数y=，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
3.若按xl/min的速度向容积为20的水池中注水，注满水池需ymin．则所需时间ymin与注水速度xl/min之间的函数关系用图象大致表示为（ ）
A． B． C． D．
4. 反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
5.已知反比例函数的图象分布在第二、四象限，则关于x的方程xa2-2x+b=0的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
二、填空题
6.如果反比例函数y= 的图象位于第一、三象限内，那么满足条件的正整数k的值是___________.
7. 已知一次函数y=-x+4与反比例函数y＝在同一直角坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围是_____.
8.我们知道，比较两个数的大小有很多方法，其中的图象法也非常巧妙，比如，通过图中的信息，我们可以得出x＞的解是_______________.
三、解答题
9. 如图，已知双曲线y=和直线y=mx+n交于点A和B，B点的坐标是（2，-3），AC垂直y轴于点C，AC=．
（1）求双曲线和和直线的解析式．
（2）求△AOB的面积.
参考答案
1.D 2.C 3.B 4.C 5.B 6.1，2 7.k＞4 8.x＞1或-1＜x＜0
9.解：（1）∵点B（2，-3）在双曲线上，
∴=-3，解得k=-6，
∴双曲线解析式为y=-，
∵AC=，∴点A的横坐标是-，
∴y=4，∴点A的坐标是（-，4），
∴，
解得，
∴直线的解析式为y=-2x+1；
（2）如图，设直线与x轴的交点为D，当y=0时，
-2x+1=0，解得x=，
所以点D的坐标为（，0），
∴OD=，S△AOB=S△AOD+S△BOD=××4+××3=1+=．
y
x
O
y
x
O
y
x
O
C.
x
y
o
y
B.
x
o
D.
x
y
o
A.
x
y
o
y
x
O
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第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
1.我们知道一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是 、二次函数 的图象是 ，反比例函数 的图象是什么样呢？
一条直线
y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0）
一条抛物线
描点法
K ＞ 0
K＜0
2.我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？
3.根据k的取值，应该如何分类讨论呢？
列表
描点
连线
新课导入
讲授新知
贰
例1：画出反比例函数 和 的图象．
x … -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 …
… -1.5 -2 6 2 1 …
… -1 -2 -4 -6 12 4 3 1 …
3
1.5
-6
-3
-1
-0.5
-12
6
-3
2
0.5
解：列表
讲授新知
知识点1 反比例函数 的图象和性质
描点
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 的图象．
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
x
y =
x
6
y
O
讲授新知
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
x
O
y =
x
12
y
讲授新知
描点
连线
思考：请观察反比例函数 与 的图象，它们有哪些特征？
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
第一、第三象限
在每一个象限内，y随x的增大而减小
x
y
y =
x
6
x
y =
x
12
y
讲授新知
（1）函数图象分别位于第一、第三象限；
（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小.
你能由函数的解析式说明这些结论吗？
（3）对于反比例函数 ，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？
讲授新知
图象
性质
由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与x轴、y轴都不相交
在每个象限内，y随x的增大而减小
反比例函数 的图象和性质
讲授新知
【归纳总结】
C
【例1】反比例函数 y= 的图象大致是（ )
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
范例应用
【例2】已知反比例函数 的图象过点(-2，-5)，函数图象上有两点A( )，B(5，y2) ,则y1与y2的大小关系为( )
A. y1 > y2
C. y1 = y2
B. y1 < y2
D. 无法确定
B
范例应用
解析：由题可知反比例函数解析式为 ，k>0,y随x的增大而减小，且A、B两点均在函数图象上，根据xA>xB，得y1 < y2，故选B．
观察与思考
y
x
O
y
x
O
y
x
O
知识点2 反比例函数 的图象和性质
讲授新知
当k=-1, -3 , -6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？
图象
性质
由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交
在每个象限内，y随x的增大而增大
反比例函数 的图象和性质
讲授新知
【归纳总结】
y
x
O
【例3】点(3，y1)和(5，y2)在函数 上，则y1 y2（填“>”“<”或“=”）.
<
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且y随着自变量x的增大而增大，故 y1 < y2．
范例应用
【例4】点(x1，3)和(x2，5)在函数 上，则x1 x2（填“>”“<”或“=”）.
<
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，
范例应用
且y随着自变量x的增大而增大，
观察图象可知：故 x1 < x2．
y
x
O
当堂训练
叁
当堂训练
1、姜老师给出一个函数表达式， 甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质，甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随r值的增大而减小、根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（ ）
A：y=4x B:y=
C:y=-
D
当堂训练
＜
2.在反比例函数 (k>0)的图象上有两点A( x1 , y1 )，
B( x2 , y2 ) 且x1>x2>0，则y1-y2 0.
解析：由题意得k>0，y随x的增大而减小，
∵x1>x2 >0 , ∴y1∴y1-y2 < 0.
当堂训练
3、已知反比例函数 ，y随x的增大而增大，求a的值.
解析：由题意得a2+a-13=-1，且a-1<0．
解得a=-4.
当堂训练
4．点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）在反比例函数 的图象上．如果x1>x2，而且x1，x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？
解：y1∵反比例函数 的图象位于第一、第三象限，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小.
课堂小结
肆
归纳：一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，
在每一个象限内，y随x的增大而减小；
（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、 四象限，
在每一个象限内，y随x的增大而增大.
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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