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27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（一)
教学目标
1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
教学重、难点
重点:能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.难点:三角形相似判定定理的证明过程.
学习过程
一、复习导入：
提问：证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
SSS，SAS，AAS，ASA，HL
讲授新知
知识点1： 三边成比例的两个三角形相似
合作探究
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
下面我们用前面所学得定理证明该结论.
【归纳总结】利用三边判定三角形相似的定理： 的两个三角形相似．
符号语言：
知识点2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △ ，使∠A=∠A′， ，量出 BC 及 B′C′的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △ 有何关系？
追问:改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
如图，在△ABC与△中，已知∠A= ∠A′，，求证：△ABC∽△
证明：
【归纳总结】：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理： 的两个三角形相似
【思考】对于△ABC和 △ ，如果
∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
【总结】
三、学习检测
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【点拨】 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例2 4×4的正方形网格的边长为1，三角形的顶点都在格点上，则与图中 ABC 相似的三角形所在网格图形是（ ）
A. B. C. D.
【点拨】∠B=90°，所以可以排除A,算出三角形边长. ， D图中的三角形与 ABC 相似.
例3. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
例4、如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且， 求证 ∠ACB=90°．
四、尝试应用
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使 △ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C= CD · BC
D. = BD · BC
2、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
5.如图所示,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
六、达标测试
一、填空题
1.下列条件中，能判定△ABC∽△DEF的有( )
①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠D=45°，DE=16，DF=40；
②AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40；
③∠A=47°，AB=15，AC=20，∠E=47°，DE=28，EF=21．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2. 已知如图，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，以下条件中，不能判定△ACP∽△ABC的是( )
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．AC2=AP·AB D．
第1题图 第2题图
3. 如图，有下列条件：①∠ADB=∠AEC ②∠B=∠C ③AD：AC=AE：AB ④AD：AB=AE：AC⑤OE：OD=OB：OC其中能使△BOE∽△COD的有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4.如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
第4题图 第5题图
5.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
二、填空题
6.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = ____．
第6题图 第7题图
7.如图，在△ABC中，D是BA的延长线上的一点，AB=6，AC=4，AD=2，若CA的延长线上存在点E，使△ADE与△ABC相似，则AE=________.
8.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有_______个.
三、解答题
9.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC= °，BC= ；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．
10.如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．
11.方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．
参考答案
1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.3 7. 或3 8.3
9.解：(1)∠ABC= 135 °， BC=；
(2)△ABC与△DEF相似．这是因为∠ABC=∠DEF=135°，
AB=2，BC=，EF=2，DE=，===，所以△ABC∽△DEF．
10.（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，∴∠DBA=∠CAE，又∵=3，
∴△ABD∽△CAE；（2）连接BC，解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，∴∠D=90°，由（1）得△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°，∵AE= BD，EC=AD= BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，
∴BC=2a．
11.解：(1) △ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得 =，=，BC=5 ；=，=，=．
因为===，所以△ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
15.△ABP∽△AED（答案不唯一）
B
A
C
B'
A'
C'
D
E
A′
B′
B″
C′
A
B
C
D
F
E
1.8
2.1
2.4
A
B
C
3
3.5
4
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
P
P
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第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（一）
27.2 相似三角形
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
A
B
C
D
E
证明三角形全等有哪些方法？
SSS，SAS，AAS，ASA，HL
你能从中获得证明三角形相似的启发吗？
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1： 三边成比例的两个三角形相似
合作探究
1、画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？
A
B
C
C′
B′
A′
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且对应边成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学得定理证明该结论.
讲授新知
C′
B′
A′
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.使AD=A′B′
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
B
C
A
D
E
∴△ADE≌△ ，△ ∽△ABC.
证明:
【归纳总结】利用三边判定三角形相似的定理：
讲授新知
∵
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
三边成比例的两个三角形相似．
范例应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在△ABC中，在△DEF中，
∴△ABC∽△DEF.
计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
点拨
·
·
范例应用
例2 的正方形网格的边长为，三角形的顶点都在格点上，则与图中相似的三角形所在网格图形是（ ）
.
，所以可以排除
， 图中的三角形与相似.
点拨
·
·
D
讲授新课
知识点2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
合作探究
两个三角形相似
改变 k 和∠A 的值的大小，是否有同样的结论？
2、利用刻度尺和量角器画 △ABC和 △ ，使
∠A=∠A′， ，量出 BC 及 B′C′的长，它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC 与 △ 有何关系？
讲授新课
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△ .
证明：在 △ 的边 上截取点D，使 =AB．
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.
则△A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
讲授新课
【归纳总结】利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
符号语言：
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
讲授新课
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
思考
不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
A
B
C
A′
B′
B″
C′
讲授新课
对于△ABC和 △ ，如果
∠B= ∠B′，这两个三角形一定会相似吗？
例3. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm， BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
E
D
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
范例应用
范例应用
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例4、如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ， 求证 ∠ACB=90°．
A
B
C
D
解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等
点拨
·
·
当堂训练
叁
当堂训练
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B
C
D
点拨
2、如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，AC、BD、EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
∵AB∥CD，
∴
∴
∴共有3对相似三角形．
点拨
AEO∽ CFO, ABO∽ CDO, BEO∽ DFO
当堂训练
当堂训练
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似．
3. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
当堂训练
4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
5.如图所示,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
解:(1)∵△PCD是等边三角形，
∴PC=CD=PD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,
∴∠PCA=∠PDB=120°,
∴当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB.
(2)∵△PDB∽△ACP,∴∠BPD=∠A.
∴∠APC+∠BPD=∠APC+∠A=∠PCD=60°
∴∠APB=∠APC+∠BPD+∠CPD=60°+60°=120°.
当堂训练
课堂小结
肆
课堂小结
三角形相似的判定方法
三边成比例的两个三角形相似
两边成比例且夹角相等三角形相似
课后作业
基础题：1.课后习题 练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
