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第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
27.2.1.3 相似三角形的判定（二）
教学目标
1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.
2. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.
3.经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力.
教学重、难点
重点:掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法
难点:探究两个判定定理的过程及其证明方法.
学习过程
一、复习导学:
我们学过哪些判定三角形相似的方法？
方法1：通过定义（不常用）
∴ΔABC∽ΔDEF
方法2：通过平行线
∴ΔABC∽ΔADE
方法3：三边对应成比例
∴ΔABC∽ΔDEF
方法4：两边对应成比例且夹角相等
∴ΔABC∽ΔDEF
二、揭示问题规律
知识点1:两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画Δ ，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值, 你有什么发现？
小结：
问题2 试证明△A B C ∽△ABC.
【归纳总结】由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
符号语言：
知识点2 判定两个直角三角形相似
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
【思考】：对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽Rt△A′B′C′.
要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？
证明：
三、学习检测
例1：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当
∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
例2：在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明：
（1）△ABC与△ACD相似
(2）AD=4，AC=6，求AB。
例3：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
例4、在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
例5：如图,已知：∠ACB=∠ADC=90 ,AD=2,CD= ,当AB的长为 时,△ACB 与△ADC相似．
尝试应用
1．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图,在□ABCD中,E是边BC上的一点,且BE:EC=3:2,连接AE、BD交于点F,则BE:AD = ,BF:FD= 。
3.如图,在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过点D作DE∥BC交AC于E,若AD:DB=3:2,则EC:BC= 。
4.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
自主总结
相似三角形的判定(二)
利用两组角判定两个三角形相似的定理：
2、判定两个直角三角形相似定理:
六、达标测试
一、选择题
1.给出4个命题：
①三边对应成比例的两个三角形相似；
②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；
④一个角对应相等的两个等腰三角形相似，其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
2. 如图1，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．PA PD=PB PC C． D．PA PB=PC PD
第2题图 第3题图
3. 如图2，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（ ）
A．B．C．D．
4. 如图3，AD是△ABC的高，AB=15，AC=12，AD=10，则△ABC的外接圆直径AE长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．
第4题图 第5题图
5.如图4，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
6．如图，已知，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC，这个条件可以是_____________.
7. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC=10，AE=4，则BC=_________.
8. 如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN=1，PN=4，则DM的长为______.
第6题图 第7题图 第8题图
三、解答题
9.如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB．
（1）求证：△CEB∽△CBD；
（2）若CE=3，CB=5，求DE的长．
10.如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；
（3）BD2=AD DF吗？请说明理由．
11.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
参考答案
1.A 2.B 3.B 4.B 5.B
6.∠D=∠B（答案不唯一） 7.15 8.
9.（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB，∴BC=BD．∴∠C=∠D．又∵EC=EB，∴∠C=∠CBE．∴∠D=∠CBE．又∵∠C=∠C，∴△CEB∽△CBD．
（2）解：∵△CEB∽△CBD，∴．
∴CD==．
∴DE=CD－CE=－3=．
10.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）△AEF与△ABE相似．由（1）得：∠BAD=∠CBE，又∵∠ABC=∠BAC，∴∠ABE=∠EAF，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA；
（3）BD2=AD DF．由（1）得：∠BAD=∠FBD，又∵∠BDF=∠ADB，∴△BDF∽△ADB，
∴，即BD2=AD DF．
11.（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；
（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE= ×6=3，∵AD=4，∴，∴．
C
A
B
A'
B'
C'
D
A
B
C
E
C
A
A'
B
B'
C'
C
A
B
B'
C'
A'
A
B
C
D
A
E
F
B
C
D
C
A
B
D
2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
D
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第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第3课时 相似三角形的判定（二）
27.2.1 相似三角形的判定
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
方法1：通过定义（不常用）
我们学过哪些判定三角形相似的方法？
方法2：通过平行线
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
∴ΔABC∽ΔDEF
∵DE//BC
∴ΔABC∽ΔADE
新课导入
我们学过哪些判定三角形相似的方法？
方法3：三边对应成比例
方法4：两边对应成比例且夹角相等
∴ΔABC∽ΔDEF
∴ΔABC∽ΔDEF
讲授新知
贰
讲授新知
认真观察下面的两副三角尺，其中有同样两个锐角的两个三角板大小可能不同，它们相似吗？试着说说理由．
讲授新知
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值, 你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
1、与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画Δ ，使∠A=∠A′=40°，∠B=∠B′=55°，探究下列问题：
这两个三角形是相似的
讲授新知
证明：在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A B ，过点D作DE//BC,交AC于点E,则有ADE∽△ABC,∠ADE=∠B.
∵∠B=∠B ，∴∠ADE=∠B .
又∵AD=A B ,∠A=∠A ，
∴△ADE≌△A B C ，
∴△A B C ∽△ABC.
问题2 试证明△A B C ∽△ABC.
A
C
B
A
C
B
D
E
讲授新知
【归纳总结】
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
C
A
B
A'
B'
C'
例1：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=50°，∠B=75°，∠A' = 50°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
C
A
B
B'
C'
A'
范例应用
范例应用
例2：在△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明：
（1）△ABC与△ACD相似
(2）AD=4，AC=6，求AB。
A
B
C
D
~
解：(1)在 和
(2)
范例应用
例3：如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
E
F
B
C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
（两角分别相等的两个三角形相似）
讲授新知
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90 ° .
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D. 求AD的长.
D
A
B
C
E
知识点2 判定两个直角三角形相似
讲授新知
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考
【归纳总结】
讲授新知
3、如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
∠C′=90°， .求证：Rt△ABC ∽Rt△A′B′C′.
C
A
A'
B
B'
C'
要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？
讲授新知
证明：设____________= k ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
勾股定理
C
A
A'
B
B'
C'
讲授新知
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
【归纳总结】
例4、在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；
(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；
(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
相似
相似
相似
范例应用
范例应用
例5、如图,已知：∠ACB=∠ADC=90 ,AD=2,CD= ,当AB的长为
时,△ACB 与△ADC相似．
C
A
B
D
2
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有AC:AD＝AB:AC，
即 :2=AB: ，解得AB=3；
解:∵∠ADC=90 ,AD=2,CD= ，
(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有AC:CD＝AB:AC， 即 : =AB: ,解得 AB= ．
∴当AB的长为3或 时,这两个直角三角形相似.
当堂训练
叁
1．若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【点拨】由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，如图，共3条直线．故选：C．
当堂训练
C
2.如图,在□ABCD中,E是边BC上的一点,且BE:EC=3:2,连接AE、BD交于点F,则BE:AD=_____,BF:FD=_____。
3.如图,在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过点D作DE∥BC交AC于E,若AD:DB=3:2,则EC:BC=______。
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
D
当堂训练
3:5
3:5
3:5
【点拨】第3题中由角平分线和平行可得DE=EC，EC:BC=DE:BC.
当堂训练
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE =∠BFD(对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
4.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F．
求证：
课堂小结
肆
课堂小结
相似三角形的判定(二)
两角分别相等的两个三角形相似.
1、利用两组角判定两个三角形相似的定理：
2、判定两个直角三角形相似
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
判断两个三角形相似的常见图形：
A
B
C
D
E
O
C
D
A
B
A
B
C
D
E
课堂小结
课后作业
基础题：1.课后习题 练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
