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第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质导学案
学习目标
理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比； 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
2.经历对三角形问题进行探究的过程，进一步增强学生领会转化的思想方法.
3.通过对性质的发现和论证过程，感受数学活动中充满着探索，提高学习热情，增强探究意识.
重点：理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比； 理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题.
难点：经历对三角形问题进行探究的过程，进一步增强学生领会转化的思想方法.
学习过程
一、创设问题情境
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么他们的这些几何量之间有什么关系呢？
二、自主学习 了解新知
知识点1 相似三角形对应线段的比
【探究1】1、在△ABC与△A′B′C′中，如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠ , ∠B=∠ , ∠C= , 且.
（二）如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为K,你能发现它们的对应高的比吗？
请给出简单的证明：
【探究2】利用相同的方法，我们还可以得到相似三角形对应中线的比也等于 .
【探究3】利用相同的方法，我们还可以得到相似三角形对应角平分线的比也等于 .
【探究4】由△ABC∽△A′B′C′可得，,你能否计算出
的值？
知识点2 相似三角形面积的比
可知相似三角形的周长比等于 比，那么它们的面积比等于 .
请给出简单证明：
归纳：由上述学习，我们可以得到
性质定理 ：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于 比.
（2）性质定理 ：周长的比等于相似三角形相似三角形面积的比等于相似比的 .
（3）相似多边形和相似三角形类似，也有相似多边形周长的比等于相似 ；相似多边形面积的比等于相似比的 .
三、学习检测：
例1：已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
例2：如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为12√5 ,求△DEF的边EF上的高和面积.
例3：如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100，且 ，求四边形 BCDE 的面积.
四、尝试应用
已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 100 k ……
周长比 2 100 k ……
面积比 4 10000 ……
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的 倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的 倍.
3. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面
积.
如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
五、发现总结
相似三角形(相似多边形)的性质有：
(1) 相似三角形(相似多边形)的对应角 ,对应边成比例.
(2)相似三角形(相似多边形)的周长比等于相似比.
(3)相似三角形(相似多边形) 的比等于相似比的平方；相似比等于 比开平方.
六、达标测试
一、选择题
1.如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
第1题图 第3题图
A．1 B．2 C．3 D．4
2.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
3.将一副三角板如图1叠放，则△AOB与△DOC的面积比是（ ）
A．B．C．D．
4.如图2，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（ ）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
第4题图 第5题图
5.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
二、填空题
6.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则=_________.
第6题图 第7题图
7.如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=_________.
8.△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有____________．（只填序号）
三、解答题
9.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和2，DE=2，求AC边上的高.
10.如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D．
(1)若AP：PB=1：2，S△ABC=18，求S△APN；
(2)若S△APN：S四边形PBCN=1：2，求的值．
11.下列图形中.图①是边长为1的阴影正三角形.连结它的各边中点.挖去中间的三角形得到图②.再分别连结剩下的每个阴影三角形各边中点.挖去中间的三角形得到图③．再用同样的方法得到图④．
(1)请你求出图④中阴影部分的面积,
(2)若再用同样的方法继续下去.试猜想图n中阴影部分的面积．
(3)试说出图⑤中三角形的个数
(1) (2) (3) (4)
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6. 7.8 8. ①②③
9.解：过点B作BF⊥AC,垂足为点F.
∵AD⊥BC, CE⊥AB,∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴,即,且∠ABC=∠DBE,
∴△EBD∽△CBA, ∴,
又∵DE=2，∴AC=6.∵S△ABC=AC·BF=18, ∴BF=6.
10.解： (1)因为PN∥BC，所以∠APN=∠B，∠ANP=∠C，△APN∽△ABC，所以．因为AP：PB=1：2，所以AP：AB=1：3．又因为S△ABC=18，所以==，
所以S△APN=2．(2)因为PN∥BC，所以∠APE=∠B，∠AEP=∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以，==．
因为若S△APN：S四边形PBCN=1：2，所以==，所以==．
11.解：（1）图①中正三角形的而积为,
图②中空白三角形与原三角形的相似比为1:2，因此其面积比为1: 4，所以图②中阴影部分的面积为.
同理图③中阴影部分而积为
图④中阴影部分而积为.
（2）图n中阴影部分的而积为，
(3)图⑤中三角形的个数为1+4+3×4+32×4+33×4=161.
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
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第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
27.2 相似三角形
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
高
中线
角平分线
周长
面积
如果两个三角形相似，那么，
对应的这些要素有什么关系呢？
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 相似三角形对应线段的比
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
A
【探究1】如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应高的比.
B
A'
D
讲授新知
B'
D'
C
解：如图，分别作出 △ABC △
的高 AD 和 A' D' ．
C
A
B
D
C
A
B
D
【探究2】如图,△ABC∽△A B C ,相似比为k,AD、A D 分别是边BC、B C 上的中线,求证：
讲授新知
=k
证明：∵△ABC∽△A B C .
∴△ABD∽△A B D .
∵AD、A D 分别是边BC、B C 上的中线.
∴BD= BC,B D = B C .
∴∠B=∠B .
【探究3】如图,△ABC∽△A B C ,相似比为k,AD、A D 分别是∠BAC、∠B A C 的角平分线,求证：
C
A
B
D
C
A
B
D
讲授新知
=k
证明：∵△ABC∽△A B C .
∴∠B=∠B ,∠BAC=∠B A C ,
∵AD、A D 分别是∠BAC、∠B A C 的角平分线.
∴∠BAD= ∠BAC,∠B A D = ∠B A C .
∴∠BAD=∠B A D
∴△ABD∽△A B D .
讲授新知
【归纳总结】
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
一般地，我们有：
范例应用
解：∵ △ABC ∽△DEF，BG和EH是角平分线
D
E
F
H
例1：已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
G
B
C
∴ EH 的长为 3.2 cm.
∴ 4.8/EH=6/4 ，解得 EH = 3.2.
(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
想一想：
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
讲授新知
【探究4】如图,△ABC∽△A B C ,相似比为k,
求证：C△ABC:C△A B C =k
C
A
B
D
C
A
B
D
证明：∵△ABC∽△A B C .
讲授新知
结论
相似三角形周长的比等于相似比.
∴BC=k·B C ,AB=k·A B ,AC=k·A C
讲授新知
知识点2 相似三角形面积的比
合作探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
讲授新知
由前面的结论，我们有
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
讲授新知
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【归纳总结】
面积为
∴△DEF的边EF上的高为 ×6=3，
讲授新知
解：在△ABC和△DEF中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
又∵∠D=∠A，
∴△DEF∽△ABC,相似比为1:2.
A
B
C
D
E
F
例2：如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6,面积为 ,求△DEF的边EF上的高和面积.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积为 ，
范例应用
例3：如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
当堂训练
叁
当堂训练
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
2
4
100
100
k
k2
当堂训练
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.
25
10
当堂训练
3. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
4. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于
点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
A
B
C
D
E
【解析】
从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，
要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，
观察得到△ADE与△DCE是同高，
得到AE与CE的比，进而求解.
当堂训练
F
解：过点D作AC的垂线,交点为F,则
又∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
即S△ADE:S△ABC＝4:9.
当堂训练
课堂小结
肆
课堂小结
相似三角形性质的运用
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
对应高、中线、角平分线、周长
课后作业
基础题：1.课后习题 2、3题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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