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第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的应用举例导学案
学习目标
1、会利用相似三角形的性质测量物体的高度.
2、经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
3. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
重点：经历对实际问题的探索,能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
难点：进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
学习过程
一、自主学习 了解新知
探究一：
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
1、如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO． （思考如何测出OA的长？）
(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗
(2)如何求OA的长
(3)写出你的求解过程.
想一想： 还可以有其他方法测量吗？
探究二：
2、如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河宽PQ.
【思考】 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？请尝试解决下面的问题。
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD＝80 m，DC＝30 m，EC＝24 m，求两岸间的大致距离 AB．
探究三：
4、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
二、学习检测：
例1：如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ）。
例2．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是 米．
例3. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米
C. 18米 D. 24米
三、尝试应用
1．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 ．
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB（精确到0.1米）.
解：
四、回顾与反思．
谈谈本节课你有哪些收获．
五、达标测试
一、选择题
1.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（ ）
A．4m B．6m C．8m D．12m
第1题图 第2题图
2.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（ ）
A．4.5米 B．6米 C．3米 D．4米
3.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是（ C ）
A．20000m B．400m C．200m D．199.2m
4. 如图5所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
A．5.5m B．6.2m C．11m D．2.2m
第4题图 第5题图
5.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（D ）
A．24m B．25m C．28m D．30m
二、解答题
6．如图，量具ABC是用来测量试管口直径的，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口直径DE是______cm．
7. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB=_____m．
第6题图 第7题图
8. 如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，且量得CD=12mm，则零件的厚度x=____mm．
第8题图 第9题图
9. 如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为____m2．
三、解答题
10.如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF影长GE为1.2米，此时，小红测得一颗被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6米，则树长AB是多少米.
11.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长.
12.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A、B，恰好被南岸的两棵树C、D遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度.
参考答案
1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6. 7.5.5 8.3 9.80
10.解：如图，CD=3.6m，∵△BDC∽△FGE，，即，∴BC=6，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，∴AB=2BC=12，即树长AB是12米.
11.（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴，即，解得：CF=169．即：CF的长度是169cm.
12.解：过点P作PF⊥AB，交CD于点E，交AB于点F，如图所示：设河宽为x米．
∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，
∴△PDC∽△PBA，∴，
∴，依题意CD=20米，AB=50米，∴，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米.
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第二十七章 相似
27.2.3 相似三角形应用举例
27.2 相似三角形
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
怎样测量这些非常高大 的物体的高度？
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
讲授新知
解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF.
因此金字塔的高为134m.
又 ∠AOB=∠DFE=90°，
1 、如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
∴△ABO∽△DEF.
讲授新知
【归纳总结】
测高方法一：
可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
测量不能到达顶部的物体的高度
例1．如图，要测量旗杆AB的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（ ）
C
范例应用
范例应用
例2．如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是______米．
8
·
·
点拨：
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
想一想：
讲授新知
讲授新知
测高方法二：
可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
【归纳总结】
测量不能到达顶部的物体的高度
例3. 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C处，已知AB=2米，且测得BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（ ）
A. 6米 B. 8米
C. 18米 D. 24米
B
范例应用
讲授新知
2、 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.
如果测得QS=45m,ST=90m,
QR=60m,求河的宽度PQ.
知识点2 利用相似三角形测量宽度
讲授新知
因此河宽大约为90m.
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P
∴△PQR∽△PST
还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？
则PQ=90m
讲授新知
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D． 此时如果测得 BD＝80 m，DC＝30 m，EC＝24 m，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
30 m
24 m
80 m
解：∵ ∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD.
解得 AB = 64.
因此，两岸间的大致距离为 64 m.
E
A
D
C
B
30m
24m
80m
讲授新知
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，
常构造相似三角形求解.
讲授新知
【归纳总结】
4、如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了
讲授新知
知识点3 利用相似解决有遮挡物问题
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
讲授新知
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼 睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条 直线上．
解得 EH=8.
讲授新知
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
当堂训练
叁
当堂训练
1．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为
0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为
1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m
2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且
落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为______．
A
1.5米
当堂训练
3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB（精确到0.1米）.
当堂训练
解：∵∠ADB=∠EDC
∠ABD=∠ECD= 90°
答：河的宽度AB约为96.7米.
∴△ABD∽△ECD
（两角分别相等的两个三角形相似），
解得
课堂小结
肆
课堂小结
利用相似解决有遮挡物问题
利用相似三角形测量宽度
相似三角形的应用举例
利用相似三角形测量高度
课后作业
基础题：1.课后习题第9、10题。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
