中考数学专题复习
专题一 基本图形（一）
1.1 三角形全等的构造
典例 · 引领
0
例 1.如图 1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90，将△ABC绕点 A顺时针旋转 90°得到△AED，连接 CD并延
B
长交 BE于点 F，求证：BF=EF.
F
【思路点拨】法一：如图 1-1，过点 B作 BG//DE，交 DF的延长线于点
D
G，可证得△BFG≌△EFD; E
法二：如图 1-2，先构造“三垂”型全等（△ACB≌△EGA），进而可得 C A
△BCF≌△EHF. 图 1
H
B
G B
F
F
D D
E E
C A C A G
图 1-1 图 1-2
方法漫谈
1.由“中点+平行”构造“X”型全等；
0
2.线段绕一端点旋转 90 ，通常需要构造“三垂”型全等.
例 2.如图 2，以任意△ABC的边 AB和 AC为直角边向外作等腰 Rt△ABD和等腰 Rt△ACE，F、G分别是
斜边 BD和 CE的中点，若 CD=2，则 FG的长为（ ）
E
2 5 3
A. B. 2 C. D. 3 D
3 2 A
G
【思路点拨】等腰 Rt△ABD和等腰 Rt△ACE的顶角顶点均为点 A，则易得 F
△ACD≌△AEB，从而 BE=CD，取 BC中点 H，连接 FH、HG、BE，可得
B C
FH、HG分别为△BCD，△BCE的中位线，由条件易得△FHG为等腰直角三 图 2 E
角形.
D
A
G
F
B H C
图 2-1
方法漫谈
1.有相同顶点的等腰直角三角形或正三角形会有全等三角形（即手拉手全等模型）；
2.有双中点直接不好用，往往需要再取中点构造双中位线.
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图，在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM于点 M，点 C是
A E
BM延长线上一点，连接 AC，点 D是线段 AM上一点，MD=MC，点
E是△ABC外一点，EC=AC，连接 ED并延长交 BC于点 F，且点 F
是线段 BC的中点. 求证：∠BDF=∠CEF.
D
【思路点拨】如图延长 EF到 G，使 FG=EF可得△BMD≌△AMC， B
F M C
进而证得△BFG≌△CFE
图 3
A E
D
B
F M C
G 图 3-1
方法漫谈
倍长中线（在中点处倍长线段可得全等三角形）是构造全等三角形常用的方法.
例 4.在□ABCD中，∠ABD=90°，∠C=45°，点 E是边 BC上任意一点，连接 AE，交对角线 BD于点
G，过点 D作直线 AE的垂线，交 BC于点 F，连接 GF，求证：AG=DF+GF
【思路点拨】法一用截长：如图 4-1，在 AG上截取 AM=DF， A D
易证△ABM≌△DBF、△MBG≌△FBG，可得 AG=DF+GF G
法二补短法：如图 4-2，延长 DF，AB相交于点 N，可证△ABG≌
C
B F E
△DBN，AG=DN=FN+DF，再证△BGF≌△BNF，GF=NF也可以证 图 4
得. A D
M
G
CB F E
图 4-1
A D1
G
C
B F E
N
图 4-2
方法漫谈
用截长、补短法构造全等，是解决线段的和差问题的常用方法.
-2-
中考数学专题复习
例 5.如图 5，已知四边形 ABCD是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AE = AD ．EC 与 BD 相交于点G ，与
AD 相交于点 F ， AF = AB ．
（1）求证： D CBD⊥ EC ；
G
（2）连接 AG，求证： EG DG = 2AG ．
F
【思路点拨】（1）通过证△BAD≌△FAE得∠BDA=∠E，有
BD⊥ EC （2）所求证的结论中包含两部分关系：①线段的和差
E
A B
关系（可参照上例）；②有 2AG 线段，可以考虑通过构造以 AG 图 5
为直角边的等腰直角三角形。如图 5-1，在线段EG 上取点 P ，使
得 EP = DG，证明 AEP ADG，再证得 PAG为等腰直角三角形即可.
D C
G
F
P
E
A B
图 5-1
方法漫谈
以量定形，线段的特殊数量关系往往会有特殊的位置关系或有特殊的图形.
-3-中考数学专题复习
1.2 三角形常用辅助线
典例 · 引领
例 1.如图 1，在△ABC中，CD平分∠ACB.∠ACB=60°，CD=5，CA=4√3，则 BC的长为 .
【思路点拨】如图 1-1，过点 A作 AE//BC交 CD的延长线于点 E，可得等腰
A
三角形 EAC，再由 AE//BC可得△AED∽△BCD，通过比例线段可解得 BC的
长.
D
B C
图 1
A
E
D
B C
图 1-1
方法漫谈
由“角平分线+平行”构造等腰三角形.
例 2.如图 2，∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为 AB中点，EF⊥CD于点 F.若
AD=4，则 EF的长为 . C
F
【思路点拨】如图 2-1，连接 DE，取 BD中点 M，连接 EM、CM，可得 D
1 1
点 C、M、E在同一直线上. 可得 CE= BD + EM ，且△CEF为等腰直
2 2
2 A E B
角三角形，即EF = CE .
2 图 2
C
F
D
M
A E B
图 2-1
方法漫谈
由 “中点+直角”构建直角三角形斜边上的中线（斜中）.
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3,在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，BM平分∠CBA且 CM⊥BM于点 M，点 N
是△ABC外一点，∠CAN=45°+∠CBM，CN⊥AN于点 N，则 MN的长是 .
C
【思路点拨】如图 3-1，延长 CM交 AB于点 D，延长 CN交 BA
的延长线于点 E，由题意可得△CBD、△CAE均为等腰三角形， N
M
1
且 MN为△CDE的中位线，即 MN= DE. B
2 A
图 3
C
N
M
BE A D
图 3-1
方法漫谈
由“角平分线+垂直”构造等腰三角形.
例 4.如图 4，在等腰 Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D是△ABC外
A
一点，CD=2BD=2，AD=√5，则 BC的长为 .
【思路点拨】如图 4-1,将△CBD绕点 C逆时针旋转 90°得到△CAE，连接
DE，过点 A作 AF⊥DE于点 F，则 DE=√2CD=2√2，设 EF=x，则在
D
Rt△AEF和 Rt△ADF中由勾股定理可解得 x的值，进而求得 BC的长.
C B
图 4
A
E
F
D
C B
图 4-1
方法漫谈
旋转补形，构造共顶点的等腰三角形.
-2-
中考数学专题复习
例 5.如图 5，在等腰Rt ABC中， BAC =90 ，AB = AC，M 为 AC 的中点．D 是射线CB上一个动点，
连接 AD ，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转90 得到线段 AE ，连接 ED ，N 为 ED 的中点，连接MN ．
（1）如图 5（1）， BCE = ， NM 与 AC 的位置关系是 ；
（2）如图 5（2），判断（1）中 NM 与 AC 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；
E
A
A M
N
M CD B
C N
B D E
图 5（1） 图 5（2）
【思路点拨】(1)如图 4-1，连接 AN ，CN ，可得 AN ，CN 均为两直角三角形斜边 DE的中线，则
△ 为等腰三角形，易得 BCE = 900ANC ， NM ⊥ AC.
(2) 如图 4-2，解法同(1)
E
A
N
M
C
B D
图 5-1
A
M
C
D B
N
E
图 5-2
方法漫谈
同斜边的两个直角三角形，两条“斜中”可得等腰三角形.
-3-中考数学专题复习
1.3 动点与特殊三角形
典例 · 引领
例 1.如图 1，△ABC 与△ADE 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交 AC 于点 F，且 AB＝5，
AD＝3√2．当△CEF 是直角三角形时，BD＝ ． A
E
【思路点拨】易得△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ACE=∠ F
ABD<90°（∵AB>AD,∴∠ABD<90°）分两种情况讨论
B
(1)如图 1-1，当∠CFE＝90°时. C
D
图 1
(2)如图 1-2，当∠CEF＝90°时（可得点 B、D、F 三点共线）.
A E
F
B C
D
图 1-1
A
E
F
G
B D C
图 1-2
方法漫谈
1.解决动点问题时，特殊角往往会有特殊位置、特殊的数量关系，所以有特殊角的往往优先考
虑用特殊角；2.解决直角三角形问题往往离不开勾股定理.
-1-
中考数学专题复习
例 2.如图 2，在 Rt△ABC 中∠ACB=90°，BA=5，AC=4，点 D 为 AB 中点， A
点 P 为边 AC 的一动点，连接 DP，并把 DP 绕点 P 按逆时针旋转 90°得到
P
PE，连接 EC，当△PEC 为等腰三角形时，AP 的长为 . D
【思路点拨】如图 2-1，线段 PE 由 DP 绕点 P 按逆时针旋转 90°所得， E
1
过作 DM⊥AC，EN⊥AC 易得△DMP≌△PNE,∴PN=DM= BC=1.5， B
2 C
1 图 2
NE=PM，AM=MC= AC=2，设 PM=a，则 NE=PM=a.由点 E 的位置随点
2
A
P 的运动而变化分以下三种情况考虑
P
(1)如图 2-1，当 PE=EC 时.
D
M
N
E
C
B
图 2-1
A
(2)如图 2-2, 当 PE=PC 时（在 Rt△DMP 求出的 a 值）.
D
M
P
E N
B C
图 2-2
(3)如图 2-3, 当 CE=PC 时（在 Rt△CNE 求出的 a 值）.
A
D
M
P
C
B
E N
图 2-3
方法漫谈
求解动点问题时，通过等量转化，把相关量放在一个直角三角形中通过勾股定理构造方程，是
解决动点问题的常用方法.
.
-2-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，在矩形 ABCD中， AB = 4 ， AD =10，E 是 AD 的一点，且 AE = 2 ，M 是 AB 上一点，射
线ME 交CD的延长线于点 F ， EG⊥ME交 BC 于点G ，连接MG ， FG ，FG 交 AD 于点N ．
（1）当点M 为 AB 中点时，则 DF = ， FG = ．（直接写出答案） F
MG
（2）在整个运动过程中， 的值是否会变化，若不变，求出它的值；若变
FG
A E D
化，请说明理由．
N
M
（3）若 EGN 为等腰三角形时，请求出所有满足条件的 AM 的长度．
B G C
图 3
【思路点拨】（1）如图 3-1，过 G 作 GH⊥AD 于 H，易得△AEM、 △EHG、 F
△EDF 均为为等腰 Rt△，通过线段求出 DC、GC 在 Rt△CFG 中求 FG 的长.
A E H D
N
M
B G C
图 3-1
（2）如图 3-2，过点 G 作 GH⊥AD 于点 H，易得△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，
∠MGF＝90°， MG = tan∠EFG. F
FG
A 2 E H D
N
M
4
B G C
图 3-2
（3）设 AM＝m，分别用含 m 的代数式表示线段 CF、CG、BG 等长度，分三种情况考虑：
①(用三线合一)如图 3-3，当 EG＝NG 时，过点 G 作 GH⊥AD 于点 H，
F
则 EH＝HN
A E H D
NM
B G C
图 3-3
-3-
中考数学专题复习
②(结合∠GEF=Rt∠，用“斜中”) 如图 3-4当 EN＝NG 时，
F
∵∠GEF=Rt∠，易得 NE=NG=NF,即 N 为斜边 FG 的中点
A E H D
N
M
B G C
图 3-4
③如图 3-5，当 EN＝EG 时(法一：直接用等量：边相等转化角相等用已知角的三角函数列等式；
法二：也可以通过角转化，不难得到 FG 为∠EGC角的平分线，从而 EG=CG＝8-2m，可在 Rt△EHG 中
列关于 m 的方程从而求解)
F
A E D
N
M
B G C
图 3-5
方法漫谈
解决动点得等腰三角形比较常见的方法为：
(1)直接用等量（线段或角）列方程解； (2)用“三线合一”；
(3)与直角相结合的往往可用“斜中”.
.
.
-4-中考数学专题复习
专题二 函数与几何小综合
2.1 反比例函数与几何小综合
典例 · 引领
2
例 1.如图 1，直线 y = x+3与 x 轴，y 轴交于点 A，B，直线 l 与 x 轴关于直线 AB 对称，点 C 是直线
3
k
l 上一点，且 BC⊥AB，垂足为 B，双曲线 y = (x<0)经过点 C，则 k= .
x
【思路点拨】 如图 1-1，延长 CB 交 x 轴于点 D，通过证△BOD∽△AOB 得
OB OA
= ，求出 OD 可得点 D 的坐标，进而求出 C 点坐标，由 k=xy 求得 k 图 1
OD OB
的值.
图 1-1
方法漫谈
在双曲线上只有一个已知点时，往往通过求出该点坐标由 k=xy求得 k的值.
例 2. 如图 2，正方形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，反比例 y
k D
函数 y = (k 0)在第一象限的图象经过顶点 A(m，m+3)和 CD 上的 A
x
点 E，且 OB-CE=1，过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 轴于点 G(0，
-3)，则 OF 的长为 ． E
O
B F C
x
【思路点拨】分别用 m 表示 A 和 E 的坐标，由横纵坐标乘积不变，可
先求出 k 的值，再求出 OF 的长．
G 图 2
方法漫谈
双曲线上有两个点(或多于两个点)，往往用参数表示这两个点的坐标，根据反比例上的点的特
征：横纵坐标乘积不变性，通过方程先求出参数进而求出 k的值.
-1-
中考数学专题复习
1 12
例 3.若直线 y = x+3 与双曲线 y = 交于 B、C 两点，点 A 在
3 x
双曲线上，且∠CAB=90°，求点 A 的坐标.
【思路点拨】如图 3-1，分别过点 A、B、C 作于垂直(或平行)于坐标
轴的直线，与 AC、AB 构造“三垂相似”(△ACF∽△BAE)设 A( 12a， )，
a
由 AF BE= 即可求出 a 的值 图 3
FC AE
图 3-1
方法漫谈
坐标系中的两直线垂直，往往通过构造“三垂相似”解决.
3
例 4.如图 4，点 A(1，3 3 )、B 均为双曲线 y = 在第一象限上的
x
点，且∠AOB=60°，求点 B 的坐标.
【思路点拨】直接求点 B 的坐标由困难，如图 4-1，可以类似【例 3】
通过构造“三垂相似”（△ADF∽△OAE），通过求点 D 的坐标进而求 图 4
出直线 OD 的解析式，点 B 即为直线和双曲线的交点。
图 4-1
方法漫谈
平面直角坐标系中直线的旋转问题，也是通过构造“三垂相似”解决，在解决此类问题是不要
过分注重具体的“点”，而是通过求“点”所在的直线解析式来解决问题.
-2-
中考数学专题复习
k
例 5.如图 5，反比例函数 y = 的图象经过点 ( 1, 2) ，点 A 是该图象第一象限分支上的动点，连结
x
AO 并延长交另一支于点 B，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，顶点 C
在第四象限，AC 与 x 轴交于点 P，连结 BP．
（1）k 的值为 ．（2）在点 A 运动过程中，当 BP 平分∠ABC 时，直接
写出点 C 的坐标是 ．
（3）在点 A 运动过程中，当 P 为 AC 中点时，求 tan∠ABP 的值． 图 5
k
【思路点拨】(1)由已知反比例函数 y = 的图象经过点 ( 1, 2) ，可求 k 的值；
x
(2)如图 5-1，由反比例函数的对称性可知 O 为 AB 的中点，△AOC 等腰直角三
角形，可构造 2Rt AOE Rt OCF ，设 2A(m, )，可得C( ， m)，又 PB 平
m m
分∠ABC， PC ⊥ BC ， PD ⊥ AB ，可得 PA= 2PD = 2PC ， AE / /CF ，得
AE PA
= = 2 ，可求出 m 的值 图 5-1
CF PC
(3)求角的三角函数值，往往放在 R t△中解决，如图 5-2作 R t△APD，
3 2
设 PA= PC = a，利用 DAP 是等腰直角三角形，可求得 BD = a，
2 图 5-2
PD
由 tan ABP = 即可求解．
BD
图 5-3
注：(1) 在(3)中也可以将坐标系中“斜线段”的比值可化为“直线段的比值”求解，如图 5-3不难得
到 AE:CF=AP:PC=1:1，同(2)的假设可以求出 m 的值 ；
(2)“斜”垂线段也可以通过等积法去求，如 DP 的长，可以通过△ABP 的面积去求，特别地，当该三角
形不含特殊角时，用等积法也会比较有效.
方法漫谈
1.函数综合题中，有关几何方面的条件比较多，往往先解决几何方面的问题（即先几何再代数）。
通过设点坐标，利用点的坐标与线段长度的关系(注意符号)，用好“数形结合”是解决函数与几
何综合题的关键.2.反比例函数除了充分利用好“乘积不变性”外，利用好其对称性也是解决问
题的关键 .
-3-
中考数学专题复习
1 k
例 6.如图 6(1)，已知直线 y = x + m 与反比例函数 y = 的图象在第一象限内交于 A 、B 两点（点 A
2 x
y
在点 B 的左侧），分别与 x 、 y 轴交于点C 、 D ， AE ⊥ x轴于 E ．
D
A
（1）若 OE·CE=12，求 k 的值．
B
（2）如图 6(2)，作 BF ⊥ y 轴于 F ，求证： EF / /CD．
O E C x
图 6(1)
（3）在(1)(2)的条件下，若 AB = 2 5， P 是 x 轴正半轴上的一点，
y
且 PAB 是以 P 为直角顶点的直角三角形，求 P 点的坐标． D
A
F B
【思路点拨】由题意，易得 m>0，k>0，OD=m，OC=2m， xO E C
OD m 1 AE
∴ tan DCO = = = = ，EC=2AE 图 6(2)
OC 2m 2 EC
(1)易得 k=OE AE；(2)如图 6-1，通过计算可以证明四边形 DFEA 为平行四边形；
y
(3)按图 6-2构造 AEP∽ PGB 即可
D
A
B
F H
x
O E C
y 图 6-1
D
A
H B
O E P G C x
图 6-2
注：i)对于第(2)题，也比较容易得 S△AFH=S△HEB ，从而 S△AFE=S△BFE 也可 y
D
1
证明 AEF / /CD，对于第(3)题在斜边已知的情况下，也可由 PM= AB= 5 ，
2 M
B
从而构造如图 6-3的直角三角形解决；ii)在解决函数与几何综合题时可以
O P N C x
根据自己的喜好，如果代数式变形、计算能力较强的情况下，不妨选择偏 图 6-3
代数的方法；如果数形结合能力、几何推理、几何构造能力较强，可以偏
向几何的方向解决问题。
方法漫谈
1.当有较多直线与坐标轴平行时，比较容易得到点与点之间坐标的相等关系，用好这些等量关
系也是解决这类问题的关键，同时合理假设点的坐标也是解决函数综合题不可缺少的技能。
2.赋予直线方程 y=kx+b中的系数 k(与直线与 x轴夹角的正切值有关)、b(即截距)的几何意义也
很重要.
-4-中考数学专题复习
2.2 反比例函数与面积
典例 · 引领
2 4
例 1.(1)如图 1,双曲线 y = 与 y = 在第一象限内如图所示，作一条平行于 y 的直线分别交双曲线于
x x
A，B 两点，连接 OA，OB，则△AOB 的面积为 .
4 8 8
(2)函数 y = 和 y = 在第一象限内的图象如图 2,，点 P 是 y = 的图象上一动点，PA⊥x 轴于点 A，
x x x
4
PB⊥y 轴交 y = 的图象于点 B.则图中阴影部分的面积为 .
x
a b
(3)如图 3，线段 AB∥ y 轴，双曲线 y = (x 0)与 y = (x 0)分别经过点 A，点 B，过点 A 作 y 轴
x x
的垂线段，垂足为 C，连结 OB，与 AC 相交于点 D，若 AD=2DC，则a : b的值为___________．
图 1 图 2 图 3
【思路点拨】(1)S△AOB=S△ABC-S△OBC；
(2)如图 2-1，设阴影部分的面积为 S，则 S=S 矩形 OAPC-S△OBC-S△OAE
=S 矩形 OAPC-2S△OAE；
(3) 如图 3-1，逆用 k 的几何意义：a:b=S△OAH:S△OBH
图 2-1
图 3-1
方法漫谈
活用反比例函数系数 k的几何意义即面积的不变性，往往是解决反比例函数面积问题的关键.
-1-
中考数学专题复习
3
例 2.如图 4，直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 y=-x+b 交 y = (x 0) 的图像于点 A、B（点 A 在 B
x
的左上方）,分别交 x、y 轴于点 C、D；AE⊥x 轴于点 E，交 OB 于点 F，若图中
1
四边形 BCEF 与△AOF 的面积差为 ，则△ABF 与△OEF 的面积差为 .
2
【思路点拨】面积差往往需要补形后再做差, 如图 4-1：S 四边形 BCEF-S△AOF
=(S 四边形 BCEF+ S△EOF) –(S△AOF+ S△EOF)= (S△OBG+S△BGC)-S△AOE=S△BGC；S△ABF-
S△OEF=(S△ABF+S 四边形 BFEG)–(S△OEF+S 四边形 BFEG)=S 梯形 AEGB-S△OBG 图 4
图 4-1
方法漫谈
面积差往往需要补形后再做差可以达到变不规则为规则图形的目的，是重要的解题策略.
m
例 3.如图 5，已知点 C为函数 y = （x＞0）上一点，过点 C 平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D，交函数
x
9
y = 于点 A，作 AB⊥CO 于 E，交 y 轴于 B，若∠BCA＝45°，△OBC 的
x
面积为 14，则 m＝ ．
S ADO DO S CDO S ADO S CDO
【思路点拨】利用面积关系： = = ，即 = 可
S AOB OB S COB S AOB S COB
解得 m 的值.
图 5
图 5-1
方法漫谈
有关面积的问题，可利用面积比与线段比之间的关系求解，有时能起到事半功倍的效果.
-2-
中考数学专题复习
例 4.如图 6，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标是(-5，0)，点 B、C
k
在 x 轴上方，反比例函数 y = (k>0，x>0)的图像分别与边 OC、
x
BC 交于点 D、E，射线 BD 交 y 轴于点 H，交反比例函数图像
于点 F，交 x 轴于点 G，BD:DF:FG=2:3:1，若记△ODH 的面
s
积为 S1，△CDE的面积为 S ，则 12 的值是 . 图 6
s2
【思路点拨】直接求比有困难，可以通过： S1 HD , S2 CE , S△BCD BD= = = 可以轻松求解
S△ODG DG S△CDB BC S△ODG DG
方法漫谈
当直接求两图形的面积比(不容易找到等高、等底或相似等)有困难时，可以通过与第三方图形
的面积比进行转化.
例 5.如图 7，在直角坐标系中，已知 A(0，4)，B(2，4)，C 为 x 轴正半轴上
k
一点，且 OB 平分∠ABC，过 B 的反比例函数 y = 交线段 BC 于点 D，E 为
x
OC 的中点，BE 与 OD 交于点 F.
(1)则 C 的坐标为 .
(2)设△BDF 的面积为 S1，△OEF 的面积为 S2，则 S1:S2= .
图 7
【思路点拨】(1)如图 7-1，“角平分线+平行”易得等腰△OBC，再由勾股定 图 7
理可
解得 MC 的值.也可以如图 7-2构造相似三角形，先求点 N 的坐标进而求 C 的坐标；
S DF S△BFO BF S S S(2)如图 7-3，直接求 S 1 1 1 △BFO1:S2有困难，可通过 = 、 = ，化为 = 进
S△ FO S2 FE S2 S△BFO SBFO 2
行求解.
J
y
y
B yA B P
A
1
B
A
2
N
S D1
F
3 S2 I
O M C x O Q C x O E F C x
图 7-1 图 7-2 图 7-3
-3-
中考数学专题复习
k
【综合题赏析】已知点 A 是双曲线 y = 1 ( k1 ＞0)上一点，点 A 的横坐标为 1，过点 A 作平行于 y 轴的
x
k
直线，与 x 轴交于点 B，与双曲线 y = 2 ( k2 ＜0)交
x y y
于点 C．点 D（m，0）是 x 轴上一点，且位于直线 AC
右侧，E 是 AD 的中点． A k1
y =
A k1 E x
（1）如图 1，当 m＝4 时，求△ACD 的面积（用含 k E y = 1 x
O B D x
的代数式表示）； O B D
x
k2 k2
k y = y = x
（2）如图 1，若点 E 恰好在双曲线 y = 1 ( k1 ＞0)上，
x F
x
C
求 m 的值； C
（3）如图 2，设线段 EB 的延长线与 y 轴的负半轴交于
点 F，当 m＝2时，若△BDF 的面积为 1，且 CF∥AD， 图 1
求 k1 的值，并求出线段 CF 的长
【解析】（1） 点 A 的横坐标为 1， A(1,k1) ，C(1,k2) AC = k ， 1 k2
1 3
S ACD = AC BD = (k1 k2 )
2 2
（2） 点 A(1,k )，点 D(m,0) ， E 是 AD 的中点． 1
1+ m k k 1+m k
E( ， 1 ) 点 E 恰好在双曲线 y = 1 上， ( ) 1 = k1， m = 3
2 2 x 2 2
3 k
（3） m = 2， 点 D(2,0)，点 E( ， 1 )
2 2
1
S BDF = BD OF =1 OF = 2，且点 F 在 y 轴负半轴上，
2
点 F (0, 2) 设 y = ax 2过点 B(1,0) 0 = a 2 a = 2， EF
k 3
y = 2x 2 点 E 在直线 1EF 上，EF = 2 2 k1 = 2 点 A(1, 2)，
2 2
2 = k + b k = 2
设 y = kx +b 解得： AD
0 = 2k + b b = 4
yAD = 2x + 4 AD / /CF，且CF 过点 F (0, 2)
y = 2x 2 当 x =1时， y = 4 CF
点C(1, 4) ， CF = 1
2 + ( 4+ 2)2 = 5
-4-中考数学专题复习
2.3 二次函数的对称性
典例 · 引领
例 1.(1)抛物线的部分图象如图 1所示，则当 y 0时， x 的取值范围是 ．
y
2
(2)已知抛物线 y = x +mx + n与 x 轴只有一个公共点，且过点 A(a,b) , 4
3
B(a 4,b)，则 b的值为 ．
2
x + x 1
【思路点拨】(1)通过抛物线的对称轴为：直线 x = 1 2 =1，
2 –3 –2 –1 O 1 2 3 x
–1
求出抛物线与 x轴的另一个交点横坐标 x 即可； 2
图 1
(2)由点 A(a,b), B(a 4,b)的纵坐标相等，所以点 A、B关于
抛物线的对称轴对称，可以得到抛物线的对称轴，从而可以表示出抛物线的顶点坐标.
方法漫谈
对于二次函数，要善于利用抛物线的对称性及与三种形式解析式相对应的对称轴的三种形式解
题.
例 2.如图 2，二次函数 y = x2 + 4x的图象与 x 轴交于点 A ．
（1）求该抛物线的对称轴及点 A 的坐标；
（2）动点 P 在 y 轴正半轴上，PB ⊥ y 轴，交抛物线于 B ，C(B 在点C
右侧），设 PB =m ．
①当点C 平分线段 BP 时，求m 的值；②记 ABO的周长与 ABC 的周
图 2
长之差为 L ，求 L 与m的函数表达式．
b 4 x1 + x【思路点拨】（1）抛物线的对称轴为直线 x＝ ＝ ＝2= 2 ，由 x1＝0，可得 x2的值．
2a 2 2
（2）①如图由抛物线的对称性可得 CN=NB，再由 BC=2NB 可解得的 m 值；②由对称性可得：OB＝AC
即可表示用 m表示 L
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，抛物线 y = ax2 +bx +3交 x 轴于点 A，B，与 y 轴交于点 C， y
点 A的坐标为（-1，0），对称轴交 x 轴于点 E（m ，0）（且m 0），过点 C D
C作 CD∥ x 轴交对称轴于点 D，连接 BD．
（1）当m =1时，求点 B的坐标和抛物线的函数表达式；
（2）若 CD+BD=5，求m 的值． A O E B x
【思路点拨】（1）点 A、B关于直线 x＝1对称，不难求出点 B的坐标和抛
图 3
物线的解析式；
（2）找到线段 CD、OE、EB的关系又有 CD+BD=5不难在 Rt△BDE中求出m 的值．
方法漫谈
要善于利用抛物线的对称性发现图像中的线段的等量关系，可以避免大量的计算.
-2-
中考数学专题复习
例 4.如图 4，直线 y = 3x + 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，点 B．动点 D以每秒 1个单位长度从点
A出发向点 O运动，同时动点 E以每秒 3 个单位长度从点 B出发
向点 O运动（当有一个点到达，则点 O停止运动）；过点 E作 EG
∥OA交抛物线 y = a(x 1)2 + k（a 0）于 E，G两点，交 AB于
点 F，连结 DE，BG．若抛物线的顶点 M恰好在 BG上，且 AD=AF，
则顶点M的坐标为（ ）
图 4
3 3 2 3 3 3
A．（1， ） B．（1， ） C．（1， ） D．（1， ）
3 2 3 4
【思路点拨】连接 AM交 EG于点 N,则直线 AM即为抛物线的对称轴，不难得到MN为△BEG的中位
线，∠OAB=60°且四边形 ADFE为菱形，设运动时间为 t由 OD+AD=1求出 t的值进而求出 k的值。
2
例 5.如图 5， y = x +mx+3(m 0) 与 y 轴交于点 C，与 x 轴的正半轴交于点 K，过点 C 作 CB∥ x
轴交抛物线于另一点 B，点 D 在 x 轴的负半轴上，连结 BD 交 y 轴于点 A，若
AB=2AD．
（1）用含m 的代数式表示 BC的长；
（2）当m = 2时，判断点 D是否落在抛物线上，并说明理由；
1
（3）过点 B作 BE∥ y 轴交 x 轴于点 F，延长 BF至 E，使得 EF= BC，连结 DE
2 图 5
交 y 轴于点 G，连结 AE交 x 轴于点 M，若△DOG的面积与△MFE的面积相等，求m 的
值．
-3-
中考数学专题复习
【思路点拨】（1）由 B、C关于抛物线的对称轴对称易求得 BC的值．
（2）由△AOD∽△ACB得 DO：BC＝AD：AB可求得 D点坐标；
OG 1
（3）先证得 DO=EF，又∵S△DOG=S△MFE，∴OG=MF ,由△DOG∽△DFE不难证得 =
EF 3
再由△AOM∽△EFM得 EF:AO=MF:MO=1:5不难求得m 的值
图 5
方法漫谈
二次函数与几何的综合题，往往需要排除抛物线的干扰，转化为几何问题求解可以达到很好的
效果.
-4-中考数学专题复习
2.4 含参数的二次函数
典例 · 引领
例 1.如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y = x+ n（n ＞2）交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，C为直线
y
2
AB上一点，过点 C作 CD垂直 x 轴于点 D，抛物线 y = ax +bx过 A，C两点， B
M
E
M为抛物线的顶点，过点M作 ME垂直 y 轴于点 E，若 D的坐标为（1，0）， C
则当△BEM与△COD相似时， n 的值为 ．
x
O D A
【思路点拨】先用含 n 的代数式表示顶点 M的坐标，进而表示出线段
图 1
EM BE EM BE
BE、EM、CD的长度，又如图 1-1，共两种情况： = 、 =
OD CD CD OD
列出方程解出 n 的值即可. y
M
E
B
C
x
O D A
图 1-1
方法漫谈
此类问题的特征是函数解析式不能直接求出(即含有字母系数)，所以往往先用参数去表示相关
的线段、函数解析式等，其基本方法是：根据条件寻找关系，列方程求出参数。当用参数去表
示二次函数解析式时，合理利用二次函数解析式的形式比较重要.
例 2.如图 2，抛物线 y = (x 3)(x + a)(a 0) 与 x轴交于 A 、 B 两点 (A在 B 的左侧），与 y 轴交于点C ，
点 D 是第一象限内抛物线上一点， AD 交 y 轴于 E ，连接 CD，AD．
1
（1）如图 2，若∠ACD=90°，且 tan CAD = ，则 a = ；
2
（2）如图 3，若∠CDA=2∠DAB，且 DE = 2AE ，则 a = .
图 2
-1-
中考数学专题复习
1 CD
【思路点拨】(1)坐标系中的垂直关系可以考虑构造 “三垂相似”（如图 2-1），其中 tan CAD = =
2 AC
就是两相似三角形的相似比，再用含 a的的代数式表示相关线段，列出比例式，解出 a的值即可；
DE 2 NE ND DE 1(2)把 DE=2AE即 = ，“斜比化直比”，如图 2-2即： = = = ，不难用含 a的代数式表示
AE 1 EO OA AE 2
点 D的坐标，代入解析式即可.
图 2-1 图 2-2
方法漫谈
用含参数的代数式表示点的坐标，代入解析式也可以求出参数的值.
y = ax2例 3.如图 3，在平面直角坐标系中，抛物线 2ax(a 0) 交 x 轴正半轴于点 C 点，与直线
y = kx k +2交于 D，直线 y = kx k +2与抛物线的对称轴交于点 y
A，与交 x 轴交于点 B，连接 OA. D
A
（1）抛物线的顶点为 P，连接 OP，若 OP⊥OA，求 a的值.
（2）若 OA⊥AB. ①求 k的值及点 B的坐标. xO C B
②若点 A恰为 BD的中点，求 a的值. 图 3
2
【思路点拨】（1）抛物线 y = ax 2ax = ax(x 2)过定点 0(0，0)、 y
D
C(2，0)，所以对称轴为直线 x=1，直线 y = kx k +2= k(x 1)+2过 A
NP ON 1 N
定点(1，2)即点 A.如图 3-1，当 OP⊥OA时，有 = = 即可得 P xO C B
ON NA 2 P
点坐标.
图 3-1
-2-
中考数学专题复习
(2)如图 3-2，①在 Rt△OAB中，当 OA⊥AB时同样可得 NB = 2AN = 4，易得点 B的坐标代入直线
y = kx k +2即可(或 k k = 1，也比较容易求得 k 的值)； OA AB
②当 A为 BD的中点时，易得△ADM≌△ABN、DM=NB=4， y
M
MA=AN=2，从而求得 D的坐标，代入 y = ax(x 2)即可. D
A
N x
O C B
图 3-2
方法漫谈
善于观察含参数的函数相应的图像往往会过定点(定点的坐标与参数取值无关)，求出定点往往
是解题关键.
2
例 4.已知二次函数 y＝ax ﹣2ax﹣3a（a为常数，且 a≠0）．
（1）当 0≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为 4.5，求该二次函数的表达式；
（2）若 a＞0，对于二次函数图象上的两点 P（x1，y1），Q（x2，y2），当 t﹣1≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足
y1≤y2，请直接写出 t的取值范围．
【思路点拨】（1）该函数的对称轴为直线 x=1，分 a＞0 和 a＜0 两种情况讨论，对于每种情况的最值可
以借助函数的草图，分别用含 a的式子表示出最大值和最小值，列出关于 a的方程，求出 a即可；（2）
借助函数的草图，结合二次函数的对称性解决问题.
-3-
中考数学专题复习
1
例 5.如图 4，抛物线 y = x2 +mx 2m 2(m 0)与 x 轴交于 A、
2 y
B两点（点 A在点 B左侧），与 y轴交于点 C，P为抛物线上 A、B之
M
间任一点（不包含 A、B），PM⊥x轴于点 M. A O B x
(1)A、B两点的坐标；（可以用含 m的代数式表示）
AM BM
(2)求 的值 P C
PM
图4
【思路点拨】(1)通过因式分解(十字相乘法)对一般式转化为两根式
确定抛物线与
x轴的交点坐标，同时可以发现此抛物线过定点.
(2) 设 P ( p,q)，用含参数的代数式(用含 p、q、m的代数式)表示相关线段，通过约分即可解答问题.
方法漫谈
通过因式分解、约分等代数式的变形，能从含参的解析式中得到定值或需要的线段.
【综合题赏析】如图 5, 在平面直角坐标系中,点 A，B分别是 y 轴正半轴, x轴正半轴上两动点,
3
OA = 2k ，OB = 2k + 3
2
，以 AO，BO为邻边构造矩形 AOBC，抛物线 y = x + 3x + k 交 y 轴于点 D，
4
P为顶点，PM⊥ x轴于点 M． y
P
（1）求OD 、 PM 的长(结果均用含 k 的代数式表示)． C
A
（2）当 PM = BM 时,求该抛物线的表达式．
（3）在点 A在整个运动过程中． D
①若存在 ADP 是等腰三角形,请求出所有满足条件的 k 的值．
O M B x
②当点 A关于直线 DP的对称点 A 恰好落在抛物线
3
y = x2 + 3x + k 的图象上时，请直接写出 k 的值． 图 5
4
-4-
中考数学专题复习
3
【解析】解：(1)把 x = 0，代入 y = x2 + 3x + k ， y = k ． OD = k ．
4
b 3 3
∴其对称轴为直线 x = = = 2 ，∴ Py = f (2) = 2
2 + 3 2 + k = k + 3， PM = k +3．
2a 3 4
2 ( )
4
(2) OM = 2， BM =OB OM = 2k +3 2= 2k +1．又 PM = k +3， PM = BM ，
3
k +3= 2k +1，解得 k = 2． 该抛物线的表达式为 y = x2 + 3x + 2．
4
(3)①i)当点 P 在矩形 AOBC 外部时，如图 5-1，
过 P 作 PK ⊥OA于点 K ，当 AD = AP时， AD = AO DO = 2k k = k ， AD = AP = k ，
KA= KO AO = PM AO = k +3 2k = 3 k
13
KP =OM = 2，在Rt KAP中，KA2 + KP2 = AP2 (3 k)2 + 22 = k2，解得 k = ．
6
ii)当点 P 在矩形 AOBC 内部时，如图 5-2
k 3k
当 PD = AP 时，过 P 作 PH ⊥OA于 H ， AD = k ， HD = ， HO = DO + HD =
2 2
3k
又 HO = PM = k +3， = k + 3 ，解得 k = 6．
2
当 DP = DA 时，过 D 作 PQ ⊥ PM 于 Q ， PQ = PM QM = PM OD = k + 3 k = 3 ， DQ =OM = 2 ，
DP = DA= k ，在Rt DQP中，DP = DQ2 +QP2 = 22 +32 = 13 ．
13
k = DP = 13．即： k = ， k = 6， k = 13．
6
3 2
② P(2,k + 3) ，D(0,k) 直线 PD解析式为 y = x + k ， A(0,2k) ， 直线 AA 的解析式为 y = x + 2k ，
2 3
6 22 12 18
直线 PD和直线 AA 的交点为 ( k ， k)， A ( k ， k) ，
13 13 13 13
3 2 3 12 12 18A 在抛物线 y = x + 3x + k 上， ( k)2 + 3 k + k = k ，
4 4 13 13 13
403
k = 或 k = 0（舍 )
108
图 5-1 图 5-2
-5-中考数学专题复习
2.5 直线与抛物线的综合
y
典例 · 引领
3 x
例 1.如图 1，抛物线 y = (x +1)(x 4) 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 A O B
4
PD D
C，P 是第四象限抛物线上的一点，连接 OP 交线段 BC 于点 D，则 的 C
OD
P
最大值为 . 图 1
PD PQ
【思路点拨】如图 1-1，把 的值转化为 的值，而 OC=3已知，问题转化
OD OC
为求 PQ 的最值问题.
图 1-1
方法漫谈
坐标系中，与坐标轴不垂直的线段比，往往通过平行或相似转化为与坐标轴垂直的线段比，简
称为“斜化直比”.
y
例 2.如图 2，抛物线 y = x2 + 2x + 3交 x轴于 A，B 两点，交 y 轴于点
C
C，直线 3 3y = x + 过点 A，交抛物线于另一点 D，在直线 AD 上方抛物
D
E H
4 4
线上有一点 E，过点 E 作 FG⊥AD 于 G，作 EH//x 轴交直线 AD 于点 G
A O B x
H，则△FGH 周长的最大值为 .
3 图 2
【思路点拨】如图 2-1,易得 tan∠EHG=tan∠DAB= ，设 EG=3k，则
4
y
△FGH 的周长为 12k 即△FGH 周长=4EG，再将求 EG 的最大值问题
通过三角函数转化为求 EN 的的最大值，即通过三角函数也可以达到 C D
E H
“斜化直”的目的.
G
N
A O B x
图 2-1
方法漫谈
通过三角形函数也可以达到“斜化直”的目的.
-1-
中考数学专题复习
2
例 3.如图 3(1)，抛物线 y=ax +ｂx+ｃ经过 A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D 为直线 BC 上方抛物
线上一动点，DE⊥BC 于 E.
y
(1)求抛物线的函数表达式； D y
D
(2)如图 3(1)，求线段 DE 长度的最大值； C
C
(3)如图 3(2)，设 AB 的中点为 F，连接 CD， E E
CF，是否存在点 D，使得△CDE 中有一个角
A O B x A O F B x
与∠CFO 相等？若存在，求点 D 的横坐标；
图 3(1)
若不存在，请说明理由. 图 3(2)
【思路点拨】(1)用两根式可抛物线的解析式较容易
（2）法一: 同例 2用“斜化直”：如图 3-1，过点 D 作 DM⊥x 轴交 BC 于 M 点，易得 sim∠DEN=sim
4 4 y
∠OCB= = ，即 DE= DM ，当 DM 取最大值时，DE 的值大值.
5 5 D
法二：求垂线段的长度可以考虑用面积法： C
1 1 5 2 E
∵S△BCD= OB DM= BC DE= DE，∴DE= S5 △BCD M2 2 2
当 S△BCD 最大时，DE 的值大值，从而转化为求△BCD 面积的最大值 A O N B x
图 3-1
（3）易得 tan∠CFO= =2，按如图 3-2添加辅助线，易得 y
G
△GBH∽BCO，分两种情况讨论： D
C
①若∠DCE＝∠CFO，则 tan∠DCE= =2，又△GBH∽BCO， E
O
GH HB GB A F B H x
∴ = = ，求得 GH、BH 的值从而可得点 G 坐标，进而
BO OC BC
图 3-2
求得直线 CG 的解析式，通过联立方程组的形式求出交点 D 的坐标．
②若∠CDE＝∠CFO，解法类似于①,
方法漫谈
1.坐标系中“斜”垂线段不仅可以用“斜化直”，还可以用等积法求垂线段的长度；
2.坐标系中构造角相等往往用锐角三角形函数的值相等，通过构造“三垂相似”实现.
-2-
中考数学专题复习
2
例 4.如图 4，抛物线 y = ax +bx +5与 x 轴交于 A(-1,0)，B(5,0)与 y 轴交于点 C，CD//x 轴，与抛
物线另一交点为 D，点 P 在抛物线上，PE//x 轴，分别交 y 轴、抛物线于点 E、F，点 P 在点 F 的右
侧，PG⊥x 轴于点 G，交直线 CD 于点 H，DM⊥PE 于点 M.
(1)求抛物线的解析式;
PH
(2)若 PF=4EF，求 的值;
PG
(3)当点 P 在直线 CD 上方时.
①若四边形 COGH 与四边形 PHDM 的周长和为 24，求点 P 的坐标.
②设直线 MD 与 x 轴交于点 Q，若直线 BC 平分四边形 EOQM 的面积，
图 4
则 GQ 的长是 .
2 y
【思路点拨】(1)易得其解析式为： y = x + 4x +5
(2) 由 PE//x 轴且抛物线的对称轴已知，可以考虑用抛物线的轴对称性解
C D
决本题，点 P 的位置要注意分为直线 CD 的上方与下方两种情况.
F P
(3) 第①问中四边形 COGH 与四边形 PHDM 的周长和即为线段 EM 与 OE E M
O Q x
的和的两倍，由抛物线的轴对称性不难求得 CD 的长度，又 EM=CD，即可
图 4-1
求得 OE 的长从而解决问题.
②如图 4-2，设直线 BC 交 QM 于点 N，当直线 BC 平分四边形 EOQM 的面积时，即有 OC+QN=CE+NM，
设 E（0，m），则 M（4，m），由 OC+QN=CE+NM 可求得 m 的值
y
E F M
C D
N
A
B
O Q x
图 4-2
方法漫谈
在函数综合题中，涉及有关四边形的周长与面积时，要善于把问题转化为线段和差或线段比问
题.
-3-
中考数学专题复习
例 5.如图 5，已知点 A(3,3)，点 B(0,2)，点 A 在二次函数 y = x2 + bx 9的图象上，作射线 AB，再
y
将射线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45°，交二次函数图象于点 C，则点
B A
C 的坐标为 ． 45°
O x2
【思路点拨】先求出抛物线的解析式为 y＝x +x﹣9，再按照如图 5-1的方
式构造△AEF∽△FDB（∵本题是旋转 45°，∴△ABP 为等腰直角三角
形，故△AMP≌△PNB）可求得点 P 的坐标，进而求得直线 AC 的解析
C
式，通过联立方程组求得点 C 的坐标.
图 5
本例也可如图 5-2构造“三垂全等”解决问题，解决此类问题的关键是
先求出 C 所在直线的解析式来求点的坐标，所以关注的重点应放在求直线
的解析式上.
图 5-1
图 5-2
方法漫谈
在坐标系中，直线的旋转问题，也可以通过构造“三垂相似”解决问题，关键是找到合适的点
构造.
-4-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图 6，已知抛物线 y = x2 + bx与 x 轴交于点 A ，抛物线的对称轴经过点C(2, 2)，顶点
为 M ，
（1）求 b 的值及直线 AC 的解析式； y
M
（2）P 是抛物线在 x轴上方的一个动点，过 P 的直线 y = x+m与直
P
线 AC 交于点 D ，与直线MC交于点 E ，连接MD ，MP ． E
①当m 为何值时， x MDE 的面积最大，最大为多少？②当m 为何值 O AD
时，MP ⊥ PD ？ C(2,-2)
③ DE + DP 的最大值是 （直接写出结果）
图 6
2
【解析】(1)由题意得：抛物线 y＝﹣x +bx 的对称轴为直线 x＝2，∴ =2，
2
2
∴b＝4，抛物线解析式为 y＝﹣x +4x．∴A（4，0）∵C（2，﹣2），
∴直线 AC 解析式为 y＝x﹣4．
1 1
(2)①由题意得 E（2，m﹣2），M（2，4），D（ m+2， m﹣2）
2 2
1 1 1 2 3 1 2 9
S△MDE= ×[4﹣(m﹣2)]×( m+2﹣2)= m + m= （m﹣3） + ， 2 2 4 2 4 4
9
∴当 m＝3时，面积可取最大，最大面积为 ；
4
②由题意得，MP⊥PD，∵PD⊥AD，MP⊥PD∴MP∥AD
= + 2
∴直线 MP 解析式为 y＝x+2 联立方程组，{ 2 ，解得 P（1，3），∵3＝﹣1+m， = + 4
∴m＝4；
③如图 6-1所示，过点 C 作 x 轴的平行线，交直线 PD 于点 H，作 PG⊥CH 于点 G，
∵∠HCD＝∠ECD＝45°，CD＝CD，∠CDH＝∠CDE＝90°，
∴△CDH≌△CDE（ASA），∴DE＝DH， y
M
则 DE+DP＝DH+DP＝PH，又∵Rt△PGH 中，PH= √2PG，
∴当 PG 取得最大值时， PDE+DP 取得最大值，
E
∵M（2，4），C（2，﹣2），
O A x
∴当点 P 与点 M 重合时，PG 取得最大值， D
H
最大值为 4﹣(﹣2)＝6，则 DE+DP 的最大值为 6√2， G C(2,-2)
图 6-1
-5-中考数学专题复习
2.6 函数图像与动点
典例 · 引领
例 1.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点 A、B的坐标分别是 A（0，5），
y
B（3，1），过点 B作 BC⊥AB交直线 y＝-m（m＞ ）于点 C，连结
A
AC，以点 A为圆心，AC为半径画弧交 x轴负半轴于点 D，连结 AD、
B
CD． O xD
（1）求证：△ABC≌△AOD； y=-m
C
（2）设△ACD的面积为 S，求 S关于 m的函数关系式；
图 1
（3）若四边形 ABCD恰有一组对边平行，求 m的值．
y
【思路点拨】(1)已知点坐标，通过计算可得 AB =OA=5，从而
A F
Rt ABC Rt AOD 1
2
H B
O xD
(2) 如图 1-1，易得 1= 2= 3， 等腰 AOB∽等腰 ACD，
S AOB AB 2 AC 3 = ( ) ， S =( )2 S ，∴只需计算 AC的长度即 ACD AOB C E y=-m
S AC AB ACD
可，而 AC2 2 2
BH 3
= AB + BC .由Rt ABC Rt AOD，又 sin 3 = sin 2= = 图 1-1
HA 5
BE m +1 5
= = ， BC = (m +1)
BC BC 3
(3)分两种情况：①当 AB / /CD 时，则 ACD = CAB ，由 AOB∽ ACD ， ACD = AOB ，
BH AB
CAB = AOB，而 tan AOB = = 3 = tan ACB = ，可解得m的值；
OH BC
BH 3 AO AO
②当 AD / /BC ，则 1= ACB = ADO，而 1= 2 ，∴ tan 2 = = = tan ADO = = ，
AH 4 OD BC
可解得m的值；
方法漫谈
在坐标系，用点的坐标来计算(或用字母表示)线段长度，往往需要通过构造相似三角形、Rt△
中的勾股定理、三角函数等手段建立等式进行解决问题..
-1-
中考数学专题复习
1
例 2.如图 2，二次函数 y = (x+1)(x 4) 的图象与 y轴交于 C点，交 x轴于点点 A、B（4，0）．P是
2
该函数在第一象限内图象上的动点其横坐标为 m，过点 P作 PN⊥x轴于
点 N，交 BC于点 M，连接 PC，当△CPN为等腰三角形时求 m的值。
【思路点拨】由已知易得： OC 1 5tan∠CBO = = ， sin∠CBO = ,
OB 2 5
A(-1，0)、B(4，0)、C(0，2)，OC=2，OB=4，BC=2 5 ，从而可以
图 2
5 1 3
用 m表示：CN= m，PN=PM-NM=- m
2 + m+ 2 (2 m) .分三种
2 2 2
情况讨论：
5 1 5
(1) 当 CN=NP时，有 m=- m2 + m.
2 2 2
图 2-1
1
(2)当 CP=CN时，如图 2-1，过 C作 CD⊥PM于点 D，则 DN=PD= PN.
2
1
(3) 当 PC=PN时，如图 2-2，过 P作 PQ⊥BC于点 Q，则 CQ=QN= CN
2
1 1 5 5 5 5= (BC-BN)= m = m，PN= 5QN = 5 m= m , 图 2-2
2 2 2 4 4 4
1 1 3
又 NM+PN=PM，可得方程(2- )+ 5m =- m2m + m+ 2解之即可.
2 4 2 2
方法漫谈
坐标系中，由动点得等腰三角形的问题除了可以直接由线段（或角）相等外，也需要灵活应用
等腰三角形的性质与判定，特别是“三线合一”.
-2-
中考数学专题复习
6
【综合题赏析】如图 3所示，已知 y = (x 0)图象上一点 P，PA⊥x轴于点 A(a，0)，点 B坐标为
x
(0，b)(b＞0)，动点 M是 y轴正半轴上 B点上方的点，动点 N在射线 AP上，过点 B作 AB的垂线，
交射线 AP于点 D，交直线 MN于点 Q连接 AQ，取 AQ的中点为 C．
(1)当点 Q在线段 BD上时，若四边形 BQNC是菱形，面积为2 3 ，求此时 P点的坐标；
(2)当点 Q在射线 BD上时，且 a=3，b=1，若以点 B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个
平行四边形的周长．
【解析】(1)如图 3， 四边形 BQNC 是菱形， BQ = BC = NQ ，
1
BQC = NQC ， AB ⊥ BQ，C 是 AQ 的中点， BC =CQ = AQ ，
2
BQC = 60 ， BAQ = 30 ，易得 ABQ ANQ(SAS) ，
BAQ = NAQ = 30 ， BAO = 30 ，
1
S = 2 3 = CQ BN ，令CQ = 2t = BQ ，
菱形BQNC
2
3
则 BN = 2 (2t ) = 2 3t ， t =1 BQ = 2 ，
2 图 3
在Rt AQB中， BAQ = 30 ， AB = 3BQ = 2 3 ，
3 6
BAO =30 OA = AB = 3，又 P 点在反比例函数 y = 的图象上， P 点坐标为 (3,2) ；
2 x
OB AB
(2) OB =1，OA= 3， AB = 10 ，易得 AOB∽ DBA， = ， BD = 3 10 ，
OA BD
①如图 3，当点Q 在线段 BD上， AB ⊥ BD ，C 为 AQ 的中点，
1
BC = AQ， 四边形 BQNC 是平行四边形，
2
CN AC 1
QN = BC ，CN = BQ ，CN / /BD， = = ，
QD AQ 2
1
BQ =CN = BD = 10 ， AQ = AB2 + BQ2 = 2 5 ，
3
C = 2 10 + 2 5 ； 四边形BQNC
②如图 3-2，当点Q 在射线 BD的延长线上， AB ⊥ BD ，
1
C 为 AQ 的中点， BC =CQ = AQ ， 平行四边形 BNQC 是菱形， 图 3-2
2
BD BN 1
BN = CQ ， BN / /CQ ， BND∽ QAD = = ， BQ = 3BD = 9 10 ，
QD AQ 2
AQ = BQ2 + AB2 = (9 10)2 + ( 10)2 = 2 205 ， C四边形 = 2AQ = 4 205 ． BNQC
-3-中考数学专题复习
专题三 基本图形（二）
3.1 相似及应用
典例 · 引领 A
例 1.如图 1，在△ABC中，∠ AB 3ABC=2∠ACB.若 AC=12， = ，
BC 5
则 AB·BC的值为 .
CB
图 1
【思路点拨】如图 1-1，由∠ABC=2∠ACB，以∠ABC为顶角外角
构造等腰三角形 ABD，可得△DAB～△DCA，设 AB=BD=3a，BC=5a，
DC=8a，由相似三角形的对应边成比例可解得 a的值.
A
D C
B
图 1-1
方法漫谈
常以两倍角为顶角的外角构造等腰三角形得“子母型”相似.
例 2.(1) 如图 2，在△ABC 中，AB=2√2，∠B=45°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，E 是 AC 上的一点，且
AE=AD.若 CE=√5，则线段 CD的长为 . A
E
【思路点拨】(1) 如图 2-1，由已知可得∠B=∠ADE=45°，所以考 C
B D
虑在 CD上取一点 F，使∠EFD==45°，构造“一线三等角”相似 图 2
即△ABD~△DFE，设 CF=x，由相似得比例关系，列关于 x的方程再解之即可.
A
E
C
B D F
图 2-1
-1-
中考数学专题复习
2
(2)如图 3，在Rt ABC中， ACB =90 ，sin BAC = ，点D 在 AB 的延长线上，BD = BC， AE 平分
3
H
BAC交CD于点 E ．若 AE =5 2 ，则点 A 到直线CD的距离 C
E
AH 为 ， BD 的长为 ．
A B D
【思路点拨】(2)如图 3-1，在直线 DH的一侧已经有 图 3
∠H=∠ACB=Rt∠，可以考虑构造“三垂相似”，作BM ⊥CD于 M ，可得
AHC∽ CMB，由 BD = BC， AE 平分 BAC可算得 HAE = AEH =45°，
BC 2
HA = HE ， AE =5 2 ， AH =HE =5， sin BAC = = ，设BC = BD = 2k ， AB = 3k ，又
AB 3
AHC∽ CMB可用 k表示相应的线段，列比例式解出 k的值即可.
H
C
E
M
A B D
图 3-1
方法漫谈
构造“一线三等角”相似是常见的相似三角形的构造方法.特别地，当这些角为直角时，就是所
谓的“三垂相似”或“K”字相似模型.
A
例 3. 如图 4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4 2，一边长为 2的正
E
方形 CDEF绕点 C旋转，连接 BF.
D
(1)当 EF的延长线恰好过点 B时，设 BF与 AC交于点 G，则 BG:GC= ．
F
(2)当 DE的延长线恰好过点 A时，BF的长为 ． B C
图 4
【思路点拨】(1) 如图 4-1，过 B作 BH⊥AC于点 H，显然△BHG~△CFG，则 BG:GC=BH:FC
(2)如图 4-2，连接 EC，则△BCA与△FCE为有公共顶点的等腰直角三角形，容易得到相似三角形
BF AC
（△BCF~△ACE）由 = 可得 BF的值.
AE BC
-2-
中考数学专题复习
A A
E E
H
F
D
G FD 1
2
B C B C
图 4-1 图 4-2
方法漫谈
1.做垂线构造“蝴蝶型”相似；2.有公共顶点的等腰三角形容易得相似.
例 4.如图 5，在△ABC 中,∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，H 是 BC 上的一
B
点，HM⊥AB于点 M，AH交 CD于点 N.若 CN=2ND，CH·HB=4，则 HM的
M
长为 .
H
D
【思路点拨】如图 5-1延长 MH，AC相交于点 E，∵CD//ME， N
∴ CN AN ND
A
= = ，再由△CEH~△
CN HM
MBH， ∴ = 即可求得
C
EH AH HM EH EH
HM 的长 图 5
B
M
H
D
N
E C A
图 5-1
方法漫谈
用平行线构造“双 A型”或“双 X型”相似，通过公共比转化.
注：“双 A型”也是证明线段中点常用的手段，如下图，AB//CD，若 OQ平分 CD，则 OP也会平分 CD.
A
B D P
0 B
P Q
A
C O
D
Q C
-3-
中考数学专题复习
4
例 4.已知：如图 6，在Rt ABC中， ACB =90 ， tan ABC = ，AB =5，D 是线段 AB 上的一点（与
3
点 A 、B 不重合），直线 DP ⊥ AB ，与线段 AC 相交于点 A
Q ，与射线 BC 相交于点 P ，E 是 AQ 的中点，线段 ED
D E
的延长线与线段CB的延长线相交于点 F ．
Q
（1）求证： FBD∽ FDP ； F P
B C
（2）求 BF : BP 的值；
图 6
【思路点拨】 (1)在 Rt△ADQ中，DE为斜中，可得∠A=∠ADE，进而证明 FBD∽ FDP ；
FB S BD 2
(2)由 = FDB = ( ) 即可
FP S FPD DP
方法漫谈
除了平行、相似可求得线段之比外，别忽略了线段之比与三角形面积比之间的关系.
【综合题赏析】如图，在正方形 ABCD中，点 E 是 AB 边上一点，以 DE 为边作正方形 DEFG， DF 与
BC 交于点M ，延长 EM 交GF 于点H ，EF 与CB交于点 N ，连接CG ．
G
（1）求证：CD⊥CG；
1 MN D C H
（2）若 tan MEN = ，求 的值；
3 EM
M
（3）已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E 在运动过程中， F
N
1
EM 的长能否为 ？请说明理由．
2 A E B
-4-
中考数学专题复习
【解析】(1)易证 ADE CDG(SAS) ， DCG = A=90 ， CD⊥CG；
(2)解：由(1)得CD⊥CG，∴M、C、G在同一直线上，
四边形 DEFG是正方形，点 M在其对称轴 DF上，∴EM=GM，
由 DEM∽ FHM ， NMF∽ GMD， G
MN MN MF FH FH 1
= = = = = tan∠MEN = ;
EM MG MD DE EF 3 D C H
1
(3) EM 的长不可能为 ，理由如下：
2 M
F
1
假设 EM 的长为 ，设 AE=CG=x，
2 N
1
EB=AB-AE=1-x，CM=MG-CG=ME-CG= -x， A E B
2
1 1 1 1
MB=BC-MC=1-( -x)= x- ∴MB+BE=(x- )+(1-x)= =EM，
2 2 2 2
在△BEM中与三边关系矛盾.
1
∴假设不成立。即： EM 的长不可能为 ．
2
方法漫谈
注：1.利用图形的对称性，能方便得到相应的等量关系；
2.“数形结合”也是不可忽略的解决说理题的好方法.
.
-5-
中考数学专题复习
-6-中考数学专题复习
3.2 三角形、四边形计算的基本方法
典例 · 引领
3
例 1.如图 1，点 E是正方形 ABCD的边 CB的延长线上的一点，且 tan∠ADE= ，
4
A
则 tan∠ DAED的值为 .
【思路点拨】如图 1-1，过点 A作 AH⊥ED于点 H，
3 DC
由 tan∠ADE=tan∠DEC= = ，设 CD=AD=3k，用含 k的代数
4 EC
式表示 AH和 EH的长度即可，其中垂线段 AH 的长可由等积 E B C
图 1
法求得.
A D
H
E B C
图 1-2
方法漫谈
1.作垂线，化斜三角形为直角三角形，是解决锐角三角函数问题的基本方法；
2.等积法是求垂线段较常用的方法 .
例 2.如图 2，平行四边形 ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，∠BAD与∠ABC的平分线 AE、
A F
BF交于点 P，连接 PD，则 tan∠ADP的值为（ ） D
3 3 3
A． B． 2 C． D． 2 P
5 4 2
B E C
【思路点拨】如图 2-1，由条件可得△ABE为正三角形，
图 2
1
AP= AE=2,∠PAD＝60°，AD=6，所以△APD可解.
2 A H F D
作 PH⊥AD于 H，在 Rt△DPH中求出 tan∠ADP的值
P
B E C
图 2-1
方法漫谈
集中条件，从寻找“可解三角形”中入手 .
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，在△ABC中，∠ACB=120°，AC=5，BC=3，D为边 AB上一点，以 CD、CB为边作平行
四边形 CDEB，当 AD= 时，平行四边形 CCDEB是菱形.
【思路点拨】显然在△ABC可解，当平行四边形 CDEB是菱 A D B
形时，CE⊥AB，DO=OB,设 DO=OB=x， Rt△COB与 Rt△COA
E
有公共直角边 AO，可以用双勾股列出方程： 图 3
CB2 OB2 =OC2 = AC2 AO2 解得 x的值即可. F
C
A D
O B
E
图 3-1
方法漫谈
当出现有公共边的两个直角三角形时，可以考虑用 “双勾股”列方程以求解线段长度 .
例 4.如图 4，已知正方形 GFED的对角线 DF在正方形 ABCD的边 DA
H G
上，连结 AG，CE，并延长 CE交 AG于点 H，若 AD=4，DG= 2 ，则
A D
CE和 CH的长分别是 ． F
E
【思路点拨】如图 4-1，过点 E 作 EP ⊥CD于点 P ，连接 AC ，
易得 ADG CDE ，在△CDE中，DE=GD= 2 ，CD=AD=4，
B C
图 4
∠CDE=45°，故△CDE可解，不难求得 CE的值；由∠DAG=∠DCH，
可得∠AHC=∠ADC=Rt∠，又 DAC = ADG = 45 ，
H G
DG / /AC ， S = S ，由等积可得 CH的长. AGC ADC A D
F
E P
B
C
图 4-1
方法漫谈
利用等积法求解垂线段长度，也是不错的选择.
-2-
中考数学专题复习
例 5.如图 5，正方形 ABCD中，DE＝2AE＝4，F是 BE的中点， A E D
H
点 H在 CD上，∠EFH＝45°，则 FH的长度为 ．
45°
F
【思路点拨】法一:正方形内含 45°角，联想到“半角模型”，所
以通过旋转构造全等(如图 5-1) 把△BAE绕点 B顺时针旋转 90°得△ B C
图 5
BCM，Rt ABE Rt BCM， EBG MBG EG =MG，设CG = x ，
MG = EG = 2+ x，DG = 6 x，在 2Rt EDG中，EG = DE2 + DG2 ，解出 x的值，由 BCG∽ FGH ，
FG HG
= ，可得线段GH 的长度，在Rt GFH中，由勾股定理求的 FH 的值．
BC CG
1
法二:按如图 5-2 添加辅助线，在△MBF 中易得 tan∠ABF= ,∠EFH＝45°，BF= 10 ，△MBF
3
符合“ASA”条件，所以△MBF可解，可得∠MNH的三角形函数值，在 Rt△MNH中可求得 FH的长.
法三:由正方形对角线可分得 45°角，所以可以考虑添加如图辅助线构造相似三角形，图中 5-3个阴
影三角形两两相似，且△AEP边与角均比较容易求得，所以较容易求得 FQ、QH的长
法四:利用 45°角构造等腰直角三角形，如图 5-4，设 DH = x，通过列、解方程也可以 x的值，从而求
得 FM，进而得到 FH的值。
A E D A E D
M
H N A E N DH
H
F G P
45°
45° M F F
C
B
M B C
B C
图 5-1 图 5-2 图 5-3 图 5-4
方法漫谈
根据所给条件，构造基本图形寻找解题方法.
-3-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图 6，矩形 ABCD中，点 E 为 BC 上一点， F 为 DE 的中点，且 BFC =90 ．
（1）当 E 为 A DBC 中点时，求证： BCF DEC ；
CD
（2）当 BE = 2EC时，求 的值；
BC F
（3）设CE =1， BE = n ，作点C 关于 DE 的对称点C ，连结 FC ，
2 10
AF ，若点C 到 AF 的距离是 ，求 n的值． B E C
5 图 6
1
【解析】(1)证明： DCE = 90 ， F 是斜边 DE 的中点， CF = DE = EF ，
2
FEC = FCE， BFC = 90 = DCE， E 为 BC 中点， EF = EC ，
CF =CE， BCF DEC(ASA) ；
（2）解：设CE = a，由 BE = 2CE，得：BE = 2a，BC = 3a， CF 是Rt DCE斜边上的中线，
1
CF = DE ， FEC = FCE， BFC = DCE = 90 ， BCF∽ DEC ，
2
1
ED
CF BC 3a
= ，即：
2 = ，即： ED2 = 6a2
EC ED a ED
CD 5a 5
由勾股定理得：DC = DE2 EC2 = 6a2 a2 = 5a， = = ；
BC 3a 3
（3）解：过C 作C H ⊥ AF 于点 H ，连接CC 交 EF 于M ，如图 6-2所示：
CF 是Rt DCE斜边上的中线， FC = FE = FD ， FEC = FCE，
A D
四边形 ABCD是矩形， AD / /BC ， AD = BC， ADF = CEF ，
H
ADF = BCF ， ADF BCF(SAS) ，
F
AFD = BFC =90 ， CH ⊥ AF ，C C ⊥ EF ，
C' M
HFE = C HF = C MF = 90 ， 四边形C MFH 是矩形，
B E C
2 10
FM =C H = ，设 EM = x， 图 6-2
5
2 10
则 2 2 2 2FC = FE = x + ，在 Rt EMC 和 Rt FMC 中，由勾股定理得： CE EM =CF FM ，
5
2 2 2 10 2 10 10 10 1 x = (x + )2 ( )2 ，解得： x = ，或 x = （舍去），
5 5 10 2
10 10 2 10 5 10 10
EM = ， FC = FE = + = = ；
10 10 5 10 2
CF BC
由（2）得： = ，把CE =1， BE = n代入上式计算得：
EC ED
2n + 2 2n + 2 10 2 10 10
CF = ， = + = ，解得： n = 4．
2 2 10 5 2
-4-中考数学专题复习
3.3 圆中的垂直关系
典例 · 引领
例 1.如图 1．Rt△ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB＝4，AC＝3，D 是 A CAB 的
CD E
中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 等于（ ）
DE D O
A．4 B．3.5 C．3 D．2.8
B
【思路点拨】如图 1-1, D 是 AB 的中点，连接 DO ，交 AB 于点 F，由垂
图 1
径定理可得DO⊥ AB， AF = BF ， FO是 ABC 的中位线， AC / /DO，
A C
CD
再由 DEF∽ CEA可解得 ． DE E
D F O
B
图 1-1
注：有关圆的计算与证明核心方法是用好“三个直角+一个相等”，三个直角：
垂径得直角、直径得直角、切线得直角；一个相等：半径都相等(结论很显然、但容易被忽略)
方法漫谈
有弧(弦)中点，通过垂径定理构造直角.
E
例 2.如图 2，在△ACE 中，∠ACE=90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AE 于点 D，
D
过点 D 作⊙O 的切线交 CE 于点 F. (1)求证：F 为 CE 的中点； F
AC
(2)点 B 在⊙O 上，且 AB=DB，若 = 2 5，求 tan∠ADB的值. A CO
DE
B
【思路点拨】 (1) 如图 2-1，连接 OD、CD，容易证得 DF 为 Rt△CDE 斜
图 2
边中线.
E
(2) ∵AB=BD，延长 BO 交 AD 于点 G，由垂径定理可得 BG⊥AD，AG=DG.
D
图中有较多的直角三角形，易证 AC 2 = AD AE 、CD2 = AD DE 结合条件 G F
AC
= 2 5，可得
BG 的值. A Ctan∠ADB = O
DE DG
B
图 2-1
方法漫谈
借直径构造直角得相似三角形.
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的 A
G
点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别交于点
O
G，H，且 EH 的延长线和 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长 E
为 ． H
D
【思路点拨】如图 3-1，连接OE 、OF ，设⊙O 的半径为 r，易得 B F C
1 图 3
OECF 是正方形，且边长为OE =OF = r， 易得 r = a ，
2 A
1 G
BF = BC CF = a，GH = 2OE = a ，由对称性可得
2
AB HG DB OE O
AG = HB = ，又 DB//OE，∴ = =1 ， E
2 BH OH
∴ DB = HB ，而CD = BC + BD即可求解. H
D B F C
图 3-1
注：本例中圆、正方形、等腰直角三角形含有一条相同的对称轴，通过对称性求 BH的长比其它方法要简
便得多。
方法漫谈
有互相垂直的切线就会有正方形.
例 4.如图 4，在正方形 ABCD 中，AB＝4，E 是 AB 上一点，连接 DE，过点 A G D
A 作 AF⊥DE，垂足为 F．⊙O 经过点 C、D、F，与 AD 相交于点 G，若⊙O E F
O
与 AB 相切,则 AE 的长为 .
B C
【思路点拨】如图 4-1，注意到∠AFD=Rt∠，且一边 FD 为弦，也可得到
图 4
90°的圆周角，设 O 与 BC 交于点 H，连接 DH、FH，连接OM 并反向延
A D
长交
F
CD于 N ，由∠HCD= Rt∠，∴DH 为 O 的直径，∴∠HFD= Rt∠， E
M
∴A、F、H 在同一直线上，在正方形 ABCD 中 AH⊥DE，易得△ △ O NAED
BHA，∴BH=AE，设 ON=a，在 Rt△CDH 中，用 a 表示相应线段长度，再
B H C
由勾股定理DH 2 = HC2 +CD2 可解得 a 的值．
图 4-1
-2-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图 5，已知 AO为Rt ABC的角平分线， ACB =90 ，以O为圆心，OC 为半径的圆分
别交 AO， BC 于点D ， E ，连接 ED 并延长交 AC 于点 F ．
B
AC 4 BE E
（1）求证： AB 是 O 的切线；（2）当 = 时，求 的值；
BC 3 CE
CF
（3）在（2）的条件下，若 O 的半径为 4，求 的值． O
AD D
A
C F
【解析】(1)证明：如图 5-1，作OG ⊥ AB于点G ．
图 5
ACB = OGA=90 ， GAO = CAO， AO = AO，
OGA OCA(AAS) ， OC =OG，
即OG为 O 的半径， AB 是 O 的切线；
AC 4
（2） = 时， 设 AC = 4x， BC = 3x，则 AB = 5x ，BG = x ，
BC 3
OG BG OG x
易证 BGO ~ BCA， = ，即 = ，
AC BC 4x 3x B
4 8 8 1 E
OG = x ， CE = x， BE = 3x x = x， G
3 3 3 3
1
x O
BE 3 1 D
= = ；
CE 8 8
x
3 A
C F
8
（3）连接CD．由（2）CE = x = 2 4 ， x = 3，
3 图 5-1
AC =12， BC = 9，
AO = OC
2 + AC2 = 42 +122 = 4 10 ， AD = AO OD = 4 10 4，
DA AF 4 10 4 AF
易证 DFA ~ CDA， = ，即 = ，
AC AD 12 4 10 4
44 8 10 44 8 10 8 10 8 CF 2
解得 AF = ，CF =12 = ， = ，
3 3 3 AD 3
CF 2
故求得 的值为 ．
AD 3
-3-中考数学专题复习
3.4 圆中的角与圆的计算
典例 · 引领
例 1.如图 1，P为⊙O直径 AB延长线上的一点，PC切⊙O于点 C，过 B作 CP的垂线 BH交⊙O 于点
D，连接 AC，CD. C
3
(1)求证：∠PBH=2∠ HHDC. (2)若 sin∠P= ，BH=3，求 BD的长.
4 A P
O B
【思路点拨】(1)证圆中 2倍角，较容易想到圆心角与圆周角的关系.
(2)如图 1-1，作 OM ⊥DH 于 H ，设 O 的半径为 r ，易得四边形 D
图 1
3
OMHC 为矩形，在 Rt△BPH中 sin P = ， BH = 3， BP = 4 ，
4
C
BH PB
OC / /DH ， PHB∽ PCO， = ，可解得半径 r的长， H
OC PO
A P
进而求得 HM、BM的长，而 BD = 2MB ． O B
M
D
图 1-1
注：圆中较易得直角，在(2)中，也可连接 AD在 Rt△ADB中解决问题.
方法漫谈
圆中的直角较易得，且圆中角的转化较容易；用好边角关系(三角函数)是解题关键.
例 2.如图 2，点 P是圆 O直径 CA延长线上的一点，PB切圆 O于点 D
B，点 D是圆上的一点，连接 AB，AD，BD，CD，∠P=30°．
3 P
(1)求证：PB=BC； (2)若 AD=6，tan∠DCA= ，求 BD的长． CA O
4
【思路点拨】(1)可通过证明∠P=∠BCP得PB = BC； B
(2)通过将∠DCA进行转移，如图 2-1，不难发现△ABD可解，
图 2
进而求解本题. D
P C
A H O
B
图 2-1
方法漫谈
通过圆中角的灵活转化，在圆中要善于发现“可解三角形”.
-1-
中考数学专题复习
︵ ︵
例 3.如图 3，在⊙O中，点 C在优弧AB上，将BC沿 BC折叠后刚好经过 C
AB的中点 D.若⊙O的半径为 5，AB＝4，则 BC的长是( )
5 3 65
A．2 3 B．3 2 C. D. O
2 2
A D B
【思路点拨】如图 3-1，连接OD、AC 、DC、OB 、OC ，作CE ⊥ AB
于 E ，OF ⊥CE于 F ， D 为 AB 的中点， OD⊥ AB， 图 3
1
AD = BD = AB = 2，在Rt OBD中，OD = ( 5)2 22 =1，
2
C
将弧 BC沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点D ． 弧 AC 和弧CD所在的
圆为等圆，可得△ACD为等腰三角形、四边形ODFE 为正方形，在Rt OCF
O
中求出CF ，进而在Rt BCE求出 BC的长． F
A E D B
图 3-1
C
O
B
A D
图 3-2
方法漫谈
圆(弧)折叠，有“等圆+等角”，可由“等角得等弧、等弦”如图 3-2由∠CBA可得弧 AC与弧
CD为等弧、弦 AC与弦 CD相等.
.
-2-
中考数学专题复习
例 4.如图 4，在边长为 2的正方形 ABCD中，E，F，O分别是 AB，CD，AD的中点，以 O为圆心，以
OE为半径画弧 EF．P是 上的一个动点，连接 OP，并延长 OP OA D
交线段 BC于点 K，过点 P作⊙O的切线，分别交射线 AB于点
BG E F
M，交直线 BC于点 G．若 = 3，则 BK＝ ．
BM M
P
B K C G
【思路点拨】切线 MG 与直线 BC 的交点 G 有两种情况，分别在
点 C的右侧和点 B的左侧：
图 4
H
(1)若OP 的延长线与射线 AB 的延长线相交，设交点为 H ．由条件
BM 1
可得 tan BHK = tan BGM = = ，在△BHK中不难求出 BK的值
BC 3
(2)若OP 的延长线与射线DC的延长线相交，设交点为 H ．如图 4-1，同理可求得 BK 的值．
A O D
E F
M P
G B K C
H
图 4-1
-3-中考数学专题复习
3.5 圆中的动点问题
典例 · 引领
例 1.如图 1，正方形 ABCD的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结 PM ，以点 P 为圆
心， PM 长为半径作⊙P． A D
(1)当 BP = 时， MBP ~ DCP；
M
(2)当⊙P与正方形 ABCD的边相切时， BP 的长为 ； r
(3)设⊙P的半径为 x，当正方形 ABCD中恰好有两个顶点在圆内时， x的取 B P C
值范围为 ．
图 1
MB BP
【思路点拨】(1) 如图 1-1 设BP = a，由 MBP ~ DCP，得 = ，
DC CP
列关于 a的方程即可.
（2）如图 1-2，当⊙P与边CD相切时，则 C为切点，有 PC = PM = r ，在Rt PBM 中，
PM 2 = BM 2 + PB2 ，列关于 r的方程即可
如图 1-3，当⊙P与边 AD 相切时，设切点为 K ，连接 PK ，则 PK ⊥ AD ，
此时PM = PK =CD = 2BM=r ，在Rt PBM中，可求得 PB的值．
（3）当⊙P过点 C与过 D为两个界点，其中过点 D时如图 1-4，在 Rt△MBP与 Rt△PCD中 PM=PD=x，
可列方程解得.
A D A D A K D A D
r
M M M Mr r
r r
B P C B P C
B P C B P
C
图 1-1 图 1-2 图 1-3 图 1-4
图 1-1
注：圆中显然会有两半径组成的等腰三角形，可以方便得到线段、角相等，用好它往往能快速解决问题。
方法漫谈
动圆与直线相切，常用 d=r，然后寻找合适的方法(如相似、勾股等)构造方程解决.
-1-
中考数学专题复习
4
例 2.如图 2，已知在平行四边形 ABCD中，AB=5，BC=8，cosB= ，点 P是边 BC上的动点，以 CP为
5
半径的圆 C与边 AD交于点 E、F（点 F在点 E的右侧），. G
A E F D
射线 CE与射线 BA交于点 G．
（1）当圆 C经过点 A时，求 CP的长； B
P C
（2）连接 AP，当 AP∥CG时，求弦 EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆 C的半径长． 图 2
【思路点拨】(1)如图 2-1，当点 A 在 C上时，点 E 和点 A 重合，
A(E)
D(F)
根据条件△ABC可解，AC即为 O 的半径为 r ；
B P H C
(2)如图 2-2，若 AP / /CE ， APCE为平行四边形， CE =CP， 图 2-1
四边形 APCE是菱形，连接 AC 、 EP ，则 AC ⊥ EP， G
5
由（1）知， AB = AC，则 ACB = B， AM =CM = ， A E F D
2
CM 25 M
CP =CE = = ，再由垂径定理可求得 EF的长. B
cos ACB 8 P C
图 2-2
G
(3)法一：由条件可得 B 45 ， BCG 90 BGC 45 ，
A E N F D
而当 AEG = GAE时， A 、 E 、G 重合，则 AGE不存在．
即 AEG GAE 只能 AGE = AEG，即仅 AE=AG一种情况. B Q P C
AD / /BC ，可得 AE =3， EN = AN AE =1，即可求得 CE长度.
法二：当△CDE是等腰三角形时，△AGE即为等腰三角形， 图 2-3
如图 2-3，易得 EN=DE-DN=DC-DN=5-4=1，CN=3，可求得 CE长度
方法漫谈
在圆中比较容易得到角、线段相等，所以会比三角形与四边形中的动点问题更加灵活。如本例
中，当△AGE是等腰三角形与△BCG或△CDE是等腰三角形均是等价关系，解决其中一个即可.
-2-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，在△ABC中，AB=AC.以 AC为直径的半圆 O交 BC于点 D，点 P为线段 BD上一动点，
连接 AP，点 B关于 AP的对称点为 Q，连接 QC交半圆于点 E，连接 AE.
(1)求证：∠BAC=2∠PAE; A
AB 5
(2)当 = 时，求 sin∠PAE的值;
BC 8
P
(3)在(2)的条件下，连接 ED并延长交 AP于点 F，当△PCQ是 B CD
E
EF
直角三角形时，求 的值. Q
QC 图 3
【思路点拨】(1)如图 3-1，连接 AQ、AD，由条件易知 AP平分∠BAQ，
AE平分∠QAC即可得证.
A
O
B C
1 P D
(2)由 PAE= BAC = BAD ，设 AB=5k，则 BC=8k， E
2
Q
AD
可得 AD=3k，BD=DC=4k，而 sin∠PAE=sin∠BAD= ;
AB 图 3-1
(3)由∠FEA=∠BCA，不难证得∠EFA=Rt∠，所以 EF = AE sin EAP
A
①如图 3-2，当∠PQC=Rt∠时，∠BAD=90°-∠ABD=90°-∠AQP=∠
O
AQC=∠ACQ，即可用 k表示 EF、QC的长; F
B C
P D
E
Q 图 3-2
A
②如图 3-3，当∠QPC=Rt∠时，则∠PBQ=∠BQP=45°，
F
可得∠APD=∠PAD=45°,∴PD=DA=3k，PC=7k，PQ=PB=k， O
进而可用 k表示 QC与 EF的长.
B CP D
E
Q
图 3-3
方法漫谈
善于用圆中垂直关系与圆中比较灵活的角转化是解决与圆有关的综合题比较重要的途径.
-3-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图 4，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，BE⊥AC于点 E，点 O 是线段 AC上的一点，
以 AO为半径作圆 O交线段 AC于点 G，设 AO=m． D C
(1)直接写出 AE的长：AE= ；
(2)取 BC 中点 P，连接 PE，当圆 O 与△BPE 一边所在的直线相切时， G
P
E
求出 m的长；
O
(3)设圆 O交 BE于点 F，连接 AF并延长交 BC于点 H．
①连接 A BGH，当 BF=BH时，求△BFH的面积；
图 4
②连接 DG，当 tan∠HFB=3 时，直接写出 DG的长，DG= ．
2 2
【解析】(1) AB = 6， BC =8， AC = AB + BC =10
1 1 D C
S ABC = AB BC = AC BE ，
2 2
6 8
AE = AB2 BE = = 4.8， BE
2 = 3.6 CE = AC CE = 6.4
10
P
故答案为：3.6； E(G)
O
（2）①如图 4-1，若 O 与 BE 相切即点 E、G重合，
A B
2AO = AE =3.6 AO =m=1.8
图 4-1
②如图 4-2若 O 与 BP 相切于点 H ，连接OH ，
D C
OH ⊥ BC ，且 AB ⊥ BC OH / /AB COH∽ CAB
OH OG OA 10 OA 15 G
= 即 = OA = m =
AB AC 6 10 4
P
O
E
③如图 4-3，若 O 与 EP 相切于点 H ，连接OH H
OH ⊥ PE 点 P 是Rt CEB斜边 BC的中点
A B
PE = PC = PB PCE = PEC
图 4-2
PCE = PEC = OEH ，且 OHE = ABC =90
EO HO
HEO∽ BCA = D C
AC AB
3.6 OA AO 27
= OA = m =
10 6 20
（3）①如图 4-4，过点 H 作 HM ⊥ AC 于点 M ，作 HN ⊥ BE于点 E ， PE
H
BF = BH BHF = BFH = AFE ， EAF + AFE =90 ， G
O
BHF + BAH =90 EAF = HAB ，且HM ⊥ AC ， HB ⊥ AB
A B
1 1 1
MH = HB ， S ABC = AC MH + AB BH = 6 8
图 4-3
2 2 2
10MH +6MH = 48 MH = BH =3= BF
-4-
中考数学专题复习
NH ⊥ BE， BE ⊥ AC NH / /AC ，
NH BH NH 3 12 D C
BNH∽ BEC = = NH = ，
EC BC 6.4 8 5
1 1 12 18
S BFH = BF NH = 3 = . M
2 2 5 5 G
（4）如图 4-5，连接 OF，QG，则 QG⊥AD E
H
O
tan HFB =3 ，且 AFE = BFH ， F
N
AE AE 3.6 6
tan HFB = tan BFH = = 3 EF = = = A B
EF 3 3 5
图 4-4
在Rt EFO 中，OF 2 =OE2 + EF 2 ，
18 36
OF 2 = ( OF)2 + OF = 2 ，
5 25
3 12
AG = 2OF = 4 ，∴QF = AG sin∠QAG = 4 = ，
5 5 D C
4 16
QA = AG cos∠QAG = 4 = ，
5 5
16 24
∴ DQ = AD QA = 8 = ， Q
5 5 G
E
O H
12 24 12
∴ 2DG = QG2 +DQ2 = ( ) + ( )2 = 5
5 5 5 F
A B
12 5
故答案为：
5
图 4-5
方法漫谈
1.解与动点有关的综合题第一步要先学会画图；2.动圆与直线相切往往切点不会是已知点，所以
用“d=r”列方程解决问题是比较常见的解题策略；3.圆中的角转化比较灵活，所以尽量将“圆
外角”往圆内进行转移是不错的选择；求线段也一样，尽量与圆中的元素搭上关系(如本例求线
段 DG长时充分利用∠AQG这个直径所对的圆周角为直角).
-5-
中考数学专题复习
-6-中考数学专题复习
专题四 基本图形（三）
4.1 面积问题
典例 · 引领
D C
例 1.如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 在 BC 上，四边形 EFGB 也是正
方形，以 B 为圆心，BA 长为半径画 ，连结 AF，CF，则图中阴影部分面积 E F
为 ． A B G
图 1
【思路点拨】如图 1-1，连接 AC、BF 显然 AC//BF，则由 S ， △ABF = S△BCF
可得 S = S 把阴影部分中的△CFH 替换即可得所求的阴影部分面积. △ABH △HCF
D C
E F
H
A B G
图 1-1
方法漫谈
通过割补把不规则图形转化为规则图形是求不规则图形面积的常用方法，而通过平行线进行等积
转化，是常用的手段.
AB 3
例 2.(1)如图 2，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， = ，BE 是∠ABC F
AC 4
的平分线，点 D 在边 BC 上，DE∥AB 交 BE 于点 E，EF⊥AB 于点 F， A若 E
△BDE 的面积为 3，则△BFE 的面积为 ．
(2)如图是一个由 5张纸片拼成的平行四边形 ABCD，相邻纸片之间互不重 B CD
叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S ，另两张直角三 图 2 1
D C
角形纸片的面积都为 S ，中间一张矩形纸片 EFGH 的面积为 S ， G2 3
H
FH 与GE 相交于点O．当 AEO， BFO， CGO ， DHO的面 O F
积相等时，下列结论一定成立的是 E( ) A B
图 3
A. S = S B.1 2 S1 = S C. AB = AD D.EH =GH 3
【思路点拨】(1)如图 2-1，过 E 作EH ⊥ BC 于 H ， F
A
∵BE 是∠ABC 的平分线，∴△BFE 与△BGE 关于 BE 成轴对称， E
S =S ，又∵DE∥AB，∴△BDE 为等腰三角形，即 BD=DE， △BEF △BEG
B C
S D G
∵ △DGE
DG DG
= = =cos∠EDG，而 S BEF = S BEG = S BDE + S DEG
S△BDE BD DE 图 2-1
-1-
中考数学专题复习
1
(2) 四边形 EFGH 是矩形，∴ S EOH = S矩形 = S GOH EFGH
4
设 HE=a，DH=b，HG=c，则 GC=a+b，
S GC a + b S
由题意可得： GCO = = ； DHO
DH b
= = ，可得关于 a、b、c 的关系式进而判断哪个选项正确.
S GHO GH c S EHO EH a
方法漫谈
面积关系中，通过等高(或底)转化为底(或高)的比是求面积常见的方法.
例 3. 如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2t，0)，B(0，－2t)，C(2t，4t)三点，其中 t＞0，函
3
数 y = 的图象分别与线段 BC，AC 交于点 P，Q，若 S△PAB－S△PQB＝t，
x
则 t 的值为 ．
【思路点拨】如图 4-1，易用含 t 的代数式表示点 P 的坐标，而
S△PAB－S△PQB = (S BAF + S PFB ) (S PQF + S PFB ) = S BAF S PQF
图 4
= (S BAF + S QAF ) (S PQF + S QAF ) = S APQ S ABQF
即 S△PAB－S△PQB= S S 进而列关于 t 的方程解得即可 APQ ABQF
图 4-1
方法漫谈
面积差往往需要补形后再做差可以达到变不规则为规则图形的目的，是重要的解题策略.
-2-
中考数学专题复习
例 4.如图 5，点C 和动点 E 在射线 AT 上，以 AC 为边作Rt ABC，使 B
BCA= 90 ，且BC =8， AB =10，边 BC 上有一动点 P ，使
P
BP =CE ，边 AB 上有一动点Q ，使 AQ = 2CE ，连结 PQ ， EQ ，以
Q
PQ ， EQ 为邻边作 EQPF ，设CE = m(m 5)，在点 E 的整个运动过 F
H
程中，若 EQPF 的面积恰好被线段 BC 或射线 AT 分成1:3的两部分，
T C E A
求出所有符合条件的m 是值；
图 5
【思路点拨】因为平行四边形的一条对角线将平行四边形的面积平分，所以考虑将本题转化为三角形面
积的面积之比的问题，由于点 F 随点 E 的
B
运动而改变其位置，所以需要分以下三种情况考虑：
P
(1)如图 5-1，连接 PE ，作FG ⊥ PC 于G ，QM ⊥ AC 于 M ， PC 交 EF
Q
1
于 H ．当 H 是 EF 中点时， S = S ， S PEF = S PEQ ， EQPF 的
F G
PFH PEF
2
H
面积恰好被线段BC 分成1:3的两部分，易证 FGH ECH ， T C E M A
PFG QEM ， FG =CE = EM .
图 5-1
(2)如图 5-2，作QG ⊥ BC 于G ， FM ⊥ AC 于 M ，连接 FQ ， PF 交 AC 于 B
Q
G
H ．当 PH = FH 时， EQPF 的面积恰好被射线 AT 分成1:3的两部分．
P
M
T C H E A
图 5-2
F
(3)如图 5-3，当 EH = QH 时，满足条件. B
P
Q
M
F H
T E C A
图 5-3
方法漫谈
与四边形有关的面积关系往往转化为三角形的面积关系.
-3-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图 6，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 直径，BD 与 AC 相交于 E
点 H，AC 的延长线与过点 B 的直线相交于点 E，且∠A=∠EBC=30°．
C
(1)求证：BE 是⊙O 的切线；
(2)已知 CG//BE，且 CG 与 BD、BA 分别相交于点 F、G，若 AG=GC， H F
D
O B
G
BC=4 3 ，求 DH 的值。 A
(3)在(2)的条件下，则 S AGC : S BCG : S ECB = ____________． 图 6
【解析】 (1)证明：如图 6-1，连接CD，
BD 为 O 直径， BCD = 90 ， BDC + CBD =90 ， CDB = A， A= EBC
EBC + CBD =90 ，
E
BE ⊥ BD， BE 是 O 的切线；
(2) BD
C
为 O 直径， BCD = 90 ， N
3 3 M
sin A = ， BDC = A， sin D = ， H F
3 3 D O B
G
A
BD =12 ，CD = 4 6 ，
AG =CG ， A= ACG， CF = 4 2 ， DF =8，
图 6-1
CG / /EB， E = ACG， HF = 4 ， DH = DF FH = 4 ；
(3)法一:过点G 作GM ⊥ AC 于点M ，过点C 作CN ⊥ BE于点 N ，
CG / /BE， BE ⊥ BD ， CG⊥ BD， BC = BH =CH = 4，
3
HCG = BCG = 30 ， GM = BG = BC tan30 = 4 3 = 4 ，
3
BC 4 3
AC = = = 8 3 ， BE = AB = BC tan60 =12 ，
cos ACB cos60
1 1
S ACG = AC GM =16 3 ， S BCG = BC BG = 8 3 ，
2 2
1
CN = BC sin CBN = 4 3 sin30 = 2 3 ， S BCE = BE CN =12 3 ，
2
S AGC : S BCG : S ECB = 4: 2:3．
故答案为：4: 2:3．
法二:求三角形面积比尽量避免直接算出各个三角形面积，再做比：
S
∵CG∥EB，∴ S 与S 等高， BCG
CG AC
= =
BCG ECB .
S ECB EB AE
-4-
中考数学专题复习
S
而 ACG
AG AC
= = ，所以只需求出 AC:CE 即可解决问题
S CGB GB CE
连接 AD，由(2)得 FB=FH=DH=4，∠CBD=60°∴△CHB 为正三角形，
∴∠DHA=∠CBD=60°，∠DAH=∠CBD=60°，∴△DAH 为正三角形，
∴AH=DH=4，易得 CH=CE=2HF=8，AC:CE=2:1，∴AC:AE=2:3， E
设 S ABE = 9s ， C
N
∵CG//BE AGC∽ ABE，
M
AGC AC 2 H F
= ( )2 = ( )2 ， D O B
ABE AE 3 G
4 A
AGC= ABE=4S ， S BCG +S ECB = S四边形 = 9S 4S = 5S ， CGBE
9
S BCG CG AC 2 图 6-1 又∵ = = = ，∴ S BCG = 2S ， S ECB = 3S
S EB AE 3 ECB
S AGC : S BCG : S ECB = 4: 2:3．
-5-中考数学专题复习
4.2 图形的变换
典例 · 引领
E
【例 1】如图 1，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 翻折到点 E 处，
A D
F
DE 1 AB
若 = ，则 的值为 .
AC 3 BC
【思路点拨】如图 1-1，由折叠可得 2 = 1= 3，∴△FAC 为等腰三角形，
B C
∴ AF =CF ，又 DF = AD AF =CE CF = EF ，∴△FDE 为等腰三角形， 图 1
DF 1
可得 = ，设 EDF = x，则 AF = FC =3x ，在Rt CDF中，可得各线段之间
AF 3
A D
的关系 3 F
2
1
B C
图 1-1
方法漫谈
1.矩形折叠容易得到等腰三角形(由“角平分线+平行”得等腰三角形)；
2.有关折叠问题的计算，常常把相关条件放在一直角三角形中用勾股定理构造方程解得.
4 A B
例 2.如图 2，在菱形 ABCD中，sin B = ，点 E ，F 分别在边 AD 、 E
5
F
BC 上，将四边形 AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段MN 经过顶 M
AE
点C ，当MN ⊥ BC 时， 的值是 ． D
AD C
图 2 N
【思路点拨】如图 2-1，∵四边形 EMNF 由四边形 EABF 折叠所
4 4 A B
得，所以有 AM//FN，可得 sin EMG = sin N = sin B = ,
5 5 E
G
设 FCF = 4x则 FN =5x ，CN = 3x， BC =9x = AB =CD = AD ， M
在 Rt△CDG 和 Rt△EGM 中分别用 x 表示出 GC 与 EM 即可解决问题.
D C
N
图 2-1
方法漫谈
图形经变换后还会保持原来的位置关系，如本例中 AE//BF，经折叠后 AM与 FN也保持平行关
系.
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，⊙O 的半径为 2，圆心 A E D
在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA 恰好与⊙0 相切于
F
点 A′(△EFA′与⊙O 除切点外无重叠部分)，延长 A′F 交 CD 边于点 G， A' H
O
G
则 A′G 的长是 .
【思路点拨】如图，⊙O 与正方形 ABCD 有相同的对称中心 O，由对称性 B C
图 3
可得：HG=FA′=FA=GC 又 GC=MB，设 AF = x ，MB = GC=HG=FA′=FA= x，
A E D
∴则 FM=AB-MB-FA=8-2x，FG= FA′+ A′H+HG=4+2x，在 Rt△FMG 由勾股
定理可解得 x 的值. F
A'
HO
M G
B C
图 3-1
方法漫谈
对于多个对称的图像组合的图形，往往可以从对称的角度出发寻找等量关系.
例 4.如图 4，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，P 是 BA 延长线上的 P
AF
一点，连接 PC 交 AD 于点 F，AP=FD.(1)求 的值；
AP F D
A
(2)连接 EC，在线段 EC 上取一点 M，使 EM=EB，连接 MF，求证：MF=PF.
【思路点拨】(1)由 AFP∽ DFC ，设 AP = FD = a ， AF = 2 a ，可由 E
AP AF M
= 解得 a 的值，进而分别求出 AF、AP 的长即可.
CD FD B C
（2）不难求得 PE = EC= 5 ，进而发现 CP 是∠ECD 的角平分线，可以把△CFM 图 4
P
沿 CP 翻折，则点 M 落在边 CD 上的 M′处，不难证明 PAF M DF ，从而有
MF= M′F=PF.
F D
A
E M'
M
B C
图 4-1
方法漫谈
善于发现图形中的对称元素(角平分线、中垂线等)，用对称性构造全等解决问题.
-2-
中考数学专题复习
20
【综合题赏析】已知：如图 5，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是 E．点 F 是点 E 关
3
A
于 AB 的对称点，连接 AF、BF． D
(1)求 AE 和 BE 的长；
F
(2)若将△ABF 沿着射线 BD 方向平移，设平移的距离为 m（平移距离 E
指点 B 沿 BD 方向所经过的线段长度）．当点 F 分别平移到线段 AB、 B C
图 5
AD 上时，直接写出相应的 m 的值． A
A' D
(3)如图 6，将△ABF 绕点 B 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），
记旋转中的△ABF 为△A′BF′，在旋转过程中，设 A′F′所在的直线与 F'
F E
直线 AD 交于点 P，与直线 BD 交于点 Q．是否存在这样的 P、Q
B C
两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时 DQ 的长；若不 图 6
存在，请说明理由．
20
【解析】(1)在 Rt△ABD 中， AB = 5 ， AD = ，
3 A'
A'
BD = AB2 2 2
20 2 25
由勾股定理得： + AD = 5 + ( ) = ． A
3 3 F' 5 D6
F'
3 4 B'
20 F
5
1 1 AB AD 2
B'
3 1
S ABD = BD AE = AB AD ， AE = = = 4．
2 2 BD 25 B C
3
图 5-1
在Rt ABE 中， AB = 5， AE = 4，由勾股定理得： BE =3．
(2)设平移中的三角形为△ A B F ，如图 5-1所示：
由对称点性质可知， 1= 2．由平移性质可知， AB / /A B ， 4 = 1，BF = B F = 3．
①当点F 落在 AB 上时， AB / / A B ， 3 = 4 ， 3 = 2，
Q
BB = B F = 3，即m = 3 ； A P
A' 2 D
②当点F 落在 AD上时， AB / /A B ， 6 = 2， 1= 2， 1
F'
5 = 1， F
3
5 = 6，又易知 A B ⊥ AD， △ B F D为等腰三角形， B C
B D = B F =3， BB = BD B D
25 16 16 图 6-1
= 3 = ，即m = ．
3 3 3
（3）存在．理由如下：假设存在，在旋转过程中，等腰 DPQ依次有以下 4种情形：
①如图 6-1所示，点Q 落在BD延长线上，且PD = DQ，
-3-
中考数学专题复习
易知 2 = 2 Q， 1= 3+ Q， 1= 2，
P A D
3= Q ， A Q = A B = 5 ， F Q = F A + A Q = 4 + 5 = 9． 2
F'
在 Rt △ BF Q 中，由勾股定理得：BQ = F Q2 + F B2
Q
= 92 +32 = 3 10 ． 3 1
B A' C
25
DQ = BQ BD = 3 10 图 6-2
3
②如图 6-2所示，点Q落在BD上，且PQ = DQ， 2= P， 1= 2， 1= P，
BA / /PD， PD / /BC ， 此时点 A 落在 BC边上． 3 = 2， 3= 1， BQ= A Q，
F Q = F A A Q = 4 BQ．在Rt BQF 中，由勾股定理得：BF 2 + F Q2 = BQ2 ，即：
2 2 2 25 25 25 1253 + (4 BQ) = BQ ，解得：BQ = ， DQ = BD BQ；= =
8 3 8 24
③如图 6-3所示，点 Q 落在 BD 上，且PD = DQ，易知 3= 4．
A P D
3 2
1
2+ 3+ 4 =180 ， 3= 4， 4 = 90 2． 1= 2，
2 Q
F'
1 1 B C
4 = 90 1． A QB = 4 = 90 1，
2 2
1
1
A BQ =180 A QB 1= 90 1 A'， A QB = A BQ ，
2
图 6-3
A Q = A B =5， F Q = A Q A F = 5 4=1．在 Rt △ BF Q中，
BQ = F Q2 + F B2由 勾 股 定 理 得 ： = 3
2 +12 = 10 ， A P
l D
3
Q
25
DQ = BD BQ = 10 ； 4
3
B
C
④如图 6-4所示，点 Q 落在 BD 上，且PQ = PD，易知 2 = 3． F'
1= 2， 3= 4， 2 = 3， 1= 4， 1
图 6-4
A'
25 10
BQ = BA =5， DQ = BD BQ = 5 = ．
3 3
综上所述，存在 4组符合条件的点 P、点 Q，使 DPQ为等腰三角形；
25 125 25 10
DQ 的长度分别为3 10 、 、 10 或 ．
3 24 3 3
-4-中考数学专题复习
4.3 函数与几何最值问题
典例 · 引领
Q
A D
例 1.如图 1，矩形 ABCD 中，BC=16，CD=10，P，Q 分别是 AB，AD 上
两个动点，且 AP=DQ，以 AP，AQ 为邻边作矩形 APEQ，连结 BE，CE， P E
设矩形 APEQ 与△BCE 的面积之和为 S，则 S 的最大值为 ．
B 16 C
【思路点拨】如图 1-1，延长 QE 交 BC 于点 H，设 AP=DQ=x(0< x<10)，
图 1
先分别用含 x 的代数式表示矩形 APEQ 与△BCE 的面积，不难发现 S 是关
Q
于 x 的二次函数，用二次函数的性质即可求得 S 的最大值. A x D
x
P E
10-x
B 16 H C
图 1-1
方法漫谈
设变量，构造函数，通过函数的性质是解决最值问题常用的方法.
1
例 2.如图，正方形 ABCD中， AB =12 ， AE = AB ，点 P 在BC 上运动 A D
4
（不与 B 、C
E
重合），过点 P 作 PQ ⊥ EP ，交CD于点Q ，则CQ 的最大
值为 ． Q
BE BP B P C
【思路点拨】由已知不难得到 BPE∽ CQP ， = ．设CQ = y ，
PC CQ
图 2
BP = x ，建立 y 与 x 的函数关系解决问题．
方法漫谈
通过相似，由比例得函数关系也是解决最值问题常用的方法，在用二次函数求最值时，要熟练
掌握三种不同形式函数表达式的求最值方法.
-1-
中考数学专题复习
例 3.如图 3，已知 AB 为 O 的直径， AB =8，点C 和点 D 是 O 上关于直线 AB 对称的两个点，连
接OC 、 AC ，且 BOC 90 ，直线BC 和直线 AD 相交于点 E ，
C
过点C 作 O 的切线CG 与线段 AB 的延长线相交于点 F ，与直
A F
线 AD 相交于点G ． O B
（1）求证： GAF = GCE ； D
E
（2）若点 H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB =CH ， G
图 3
① CBH∽ OBC ；②求OH +HC 的最大值．
【思路点拨】(1)有直径、切线，垂直较易得，所以可以从同角（或等角）余角考虑.
（2）① CBH 与 OBC 均是等腰三角形，只需证明它们的底角（或顶角）分别相等即可.
BC HB
②由 CBH∽ OBC 可知： = ， BC2 = HB OC = 4HB ， C
OC BC
BC 2 BC2
HB = ， OH = OB HB = 4 设 BC = x ，建立函数关 A F
4 4 O H B
系解决问题（注意自变量 x 的取值范围）. D
E
G
图 3-1
-2-
中考数学专题复习
2
【综合题赏析】劳技课上，小明准备手工制作“小鱼”，他选取了若干块底边 AB=10cm，面积为 60cm
的平行四边形纸张 ABCD，在对角线 AC 上取一点 P，过点 P 作 EF∥AD,作 GH∥AB，连接 EG，截去空
白部分则成为△PGE（鱼尾）和□PHCF（鱼身）组成的“鱼型图”，依次在两部分粘贴甲、乙两种特殊
材料，便制成了“小鱼”，已知甲、乙两种材料的单价之比为 4：3．
（1）如图 4，当 AE=5cm 时，求“鱼型图”（阴影部分）的面积；
10
（2）如图 5，当 AE= 时，制作成的“小鱼”比（1）中的“小鱼”所用的特殊材料总费用多 55 元，
3
2
求甲、乙两种材料的单价分别是多少元/cm ；
（3）为了美观，要求□PHCF 的面积不小于△PGE 面积的 2倍，按（2）中的价格计算，则
AE=_________cm 时，所需特殊材料的总费用最少为_________元．
D F D FC C
乙 乙
G
P H
G
H
甲 P甲
A
E B A E B
图 5 图 6
1 1
【解析】(1) AE =5时，点 E 为 AB 的中点，∴ S = S = S ， S = S AGPE ， AGPE FPHC 4 ABCD GPE 2
S阴影部分 =15+ 7.5 = 22.5(cm
2 )
(2) AG / /PE ， S ，又 PE / /BC ， APE∽ PCH ， PH = EB = 2AE ， =4 ， GPE = S APE S PCH S APE
又 平行四边形 PEBH 和 APE 的高相同，EB = 2AE ， S = 4S
PEBH APE
，S ABC = S APE + SPEBH + S PHC ，
10 80
30 = 9S ， S APE = ， S = ，设鱼尾的价格为 4x 元，则鱼身的价格为 3x APE FPHC 元，依题可得：3 3
10 80
7.5 4x +15 3x + 55 = 4x + 3x，解得 x = 3，
3 3
∴甲种材料的价格为 12元 /cm2 ，乙种材料的价格为 9 元 /cm2 ．
2 2 a n 2
（3）设 AE = n
a(10 n) 2a(10 n)
，S = S ， ， ， = ( ) ，化简得 a = 0.3n2 ， GPE APE = a S PHC = S2 PFCH =n n2 30 10
2a(10 n)2 2
设总费用为 y ，则 y =12 a + 9 = 9n 108n + 5402 ，对称轴为直线 n = 6， n
2a(10 n)2
又 要求 PHCF 的面积不小于 PGE 面积的 2倍，则 SPFCH = 2a ，∴0 n 52 ，抛物线开口n
向上，且取值在对称轴左侧∴当n = 5， y最小值 = 225 .
方法漫谈
建立函数模型是解决应用性最值问题常用的方法，此类问题自变量的取值范围往往容易被忽略.
-3-中考数学专题复习
4.4 运动与最值
典例 · 引领
D
例 1.如图 1，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=7，以 CD为边在矩形的外部作 A
△CDE，且 S△CDE =16，连接 BE，(1)点 E 到CD的距离是 ；
E
(2)则 BE + DE 的最小值为 ．
B C
图 1
【思路点拨】(1)通过△CDE的面积为 16不难求得点 E 到CD 的距离.
（2）如图 1-1，不难发现点 E在一直线上（即点 E的运动轨迹
A D D'
为平行于 CD且到 CD的距离为一已知量的直线）所以本题就是
“将军饮马”问题．
E(动点)
l (河)
B C
图 1-1
注：1.“将军饮马”问题重要的是找到“河”，通常动点所在的线，就是所要找的“河”；2.求线段和
最小值时把两点对称到“河”异侧，求线段差最大值时把两点对称到“河”同侧，如下题。
如图 2，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=7，点 P为∠BCD的平分线上一动点(包含点 C)连接 PB、PD则
PB-PD的最大值为 .(答案为 1) A D
B'
P
B C
图 2
方法漫谈
利用轴对称(中垂线或角平分线)把折线拉直，即“将军饮马”问题.
-1-
中考数学专题复习
B
例 2.如图 3，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C且与边 AB相
切的动圆与 CA，CB分别相交于点 P，Q，则线段 PQ的最小值 .
Q
【思路点拨】求 PQ的最小值，即直径的最小值，
O
C A
P
如图 3-1，过 C作 CN⊥AB于点 N，设QP 的中点为O，
B 图 3
O 与 AB 的切点为M ，连接OM 、CO、CM ，问题转为求 OC+OM的
最小值，由“斜+直≥直”，不难发现CO+OM CN . N
M
Q
r
rO
C A
P
图 3-1
方法漫谈
用“斜+直≥直”，结合“垂线段最短”解决线段最小值.
例 3.(1) 如图 4，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点 D是以点 A为圆心 4为半径的圆上
一点，连接 BD，点 M为 BD中点，线段 CM长度的最大值 E
D
A A D
为 ．
(2)如图 5，已知正方形 ABCD的边长为 3，以点 A为圆心， M
1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将 DE绕点 D按逆时 F
C B B C
针旋转 90°，得到 DF，连接 AF，则 AF的最小值是 ． 图 4 图 5
【思路点拨】(1)如图 4-1，作 AB 的中点 E ，连接 EM 、CE ．当点 D在圆上运
D
A
动时，保持不变的量有 AD、EM、CE，由“两点之间线段最短”可得 CM的最大
值.(2)如图 5-1，连接 FC ， AF ，易证 ADE CDF ，当点 E在圆上运动时， ME
保持不变的量有 AF、FC、AC，同样由“两点之间线段最短”可得 AF的最小值.
C B
图 4-1
E
A D
F
B C
图 5-1
方法漫谈
通过构造，将线段转移，抓住“动而不变”来解决最值问题. “动而不变”的量常常与圆的半
径、中位线、直角三角形斜边中线有关.
-2-
中考数学专题复习
A
例 4.(1)如图 6，在Rt ABC中， ABC =90 ， BAC =30 ，
BC = 2，点 D 是 AC 边的中点， E 是直线 BC 上一动点，将线段DE 绕
D F
点 D 逆时针旋转90 得到线段 DF ，连接 AF 、 EF ，在点 E 的运动过程
中线段 AF 的最小值为 ．当点 E从点 B运动到点 C时，点 F
B E C
运动的路径长为 . 图 6
(2)如图 7，在矩形纸片 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3，点 E 是 AB A F D
的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将 AEF 沿 EF 所在直线翻 A'
折，得到△ A EF ，则 A C 的长的最小值是 ； A C 的长 E
的最大值为 . B C
图 7
【思路点拨】(1)如图 6-1， DF 由 DE 绕点 D 逆时针旋转90 所
得，所以可以考虑构造“三垂全等”，从而确定 A
A
l
N1 P1 F1
点 F的运动轨迹为垂直于 BC的直线 l 上，再由 N P F
D D
“垂线段最短” 可求得 AF 的最小值.相应
P
N F2
地，如图 6-2，当点 E从点 B运动到点 C时，
B Q E C B(E) Q C M
点 F的运动的路线为线段 FF ，而 图 6-1 1 图 6-2
FM=PQ=DQ-DP=DQ-BQ，F1M=P1Q=DQ+DP1=DQ+CQ，
A F D
A'
FF1=F1M-FM从而求出 FF1的值
Q
1 E
(2)根据折叠可知： A E = AE = AB =1 ．如图 7-1，即点 A 在 P
2
B C
以点 E 为圆心， AE 长度为半径圆上。
图 7-1
所以当点 A 运动到 P点时 A C 最小，运动到 Q时 A C 最大.
注：圆轨迹常见类型：到定点有定长、同斜边的直角顶点、对定线段有等视角等等.
方法漫谈
“运动必有轨迹”先确定点运动的路线，由轨迹定最值.
-3-
中考数学专题复习
y
例 5.如图 8，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=10，点 D为线段
AC上一动点，将线段 BD绕点 D逆时针旋转 90°,点 B的对应点为
B
E，连接 AE，则 AE的最小值为: . E
【思路点拨】如图 8-1以点 C为坐标原点，直线 AC为 x轴建立平面 A D C x
直角坐标系，则 C(0，0)，B(0，6)，设 D(-a，0)，过 E作 EH⊥AC 图 8
于点 H，则有 EDH DBC，可得 E(-6-a，a)，由 E(-6-a，a)在直线
y=-x-6上运动，由“垂线段最短”可得：当 AE垂直于 EM时，AE
y
最小，即为图中 AG的长.
B
E G
A H M D O(C) x
图 8-1
方法漫谈
用几何的方法有困难，不妨试试建系法：用参数表示动点坐标，确定动点所在的函数图像来解决
问题
【综合题赏析】如图 9，在 Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以 C为圆心，4为半径作⊙C．
B
(1)点 F是⊙C上一动点，点 D在 AC上且 CD＝2，
试证明: FCD∽ ACF ； EF
(2)点 E是 AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出 C D A
1
EF+ FA的最小值．
2
图 9
【解答】(1) CF = 4 ，CD = 2，CA=8， CF 2 = CD CA ，
CF CA
= ， FCD = ACF ， FCD∽ ACF ．
CD CF
(2) 如图 9-1，作 DG ⊥ AB于G ，交 C于 F
B
． FCD∽ ACF ，
DF CF 1 1 1 G
= = ， DF = AC ， EF + AF = EF + DF ， E
AF CA 2 2 2
F
1 A
欲求 EF + AF 的最小值，就是要求 EF + DF 的最小值， C D
2
当 E 与G ， F 与 F 重合时， EF + DF 的值最小，最小值为：
1
DG = AD = 3． 图 9-1
2
-4-中考数学专题复习
4.5 构造（网格）作图
典例 · 引领
一.常规尺规作图(角平分线、中垂线等基本作图，轨迹交点)
例 1. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
(1)两个城镇 A，B 与一条公路 CD，一条河流 CE 的位置如图，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到
A，B 的距离必须相等，到 CD 和 CE 的距离也必须相等，且在∠DCE 的内部，请画出该山庄的位置 P.
(2) 已知：如图，四边形 ABCD. 求作点 P，使∠PCB＝∠B，且点 P 到 AD 和 CD 的距离相等．
D
C D
A
A
B BE C
【思路点拨】(1)到点 A，B 距离相等的点在线段 AB 的中垂线上；在∠DCE 的内部，到 CD 和 CE 的
距离相等的点在∠DCE 的角平分线上；它们的交点就是所求的点 P.
(2)到 AD 和 CD 距离相等的点在∠ADC 的角平分线上，作一角等于已知角可以考虑用圆周角或等腰三
角形的两底角相等，结合条件本题可以考虑后者.
方法漫谈
尺规作图中首先理解点到点的距离相等、点到线的距离相等之间的区别，并掌握作角平分线、中
垂线、角相等…基本作法.
二.通过构造基本图形作图(包含格点作图)基本方法
例 2.如图，由 24 个边长为 1 的小正方形组成的6 4的网格中， ABC 的顶点都在格点（小正方形的顶
点）上．请在所给的网格中分别画一条线段DE ，并同时满足如下条件：
1 1
①点 D ，E 分别在 BC ，AC 边上．②点 D ，E 都是格点．③图 1中满足 DE = AB，图 2中满足 DE = AC ．
2 2
A A
B C B C
1
【思路点拨】（1）即求作△ABC 的中位线 DE；（2）即需要满足 EA=EC=ED = AC ,即 DE 为以 AC
2
为斜边的直角三角形斜边上的中线（或点 E 在以 AC 为直径的圆上）.
-1-
中考数学专题复习
A
A
E
E
B C BD D C
方法漫谈
通过构造基本图形解决格点作图.
例 3.如图，边长为 1的小正方形组成了网格，点 A、B 均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列
条件的点 P，并在图中标出点 P．
1 1
（1）图①中，点 P 在线段 AB 上且 AP = AB ． （2）图②中，点 P 在线段 AB 上且 AP = AB ．
2 3
A A
B B
方法漫谈
通过网格中的平行线构造“A”、“X”型相似，通过比例得线段的分点.
例 4.如图，△ABC 的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不
能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
(1)在图 1中画出 AB边上的中线 CD；(2)在图 2中画出□ABEF，使得 S□ABEF =S△ABC
A A
B B
C C
【思路点拨】（1）构造“8”字全等找中点图 1（2）割补法，本题可以联想到“三角形中位线”的基
本图形。找中点的方法可以是构造“8”字全等（如图 2中的点 F），或利用平行四边形的对角线互相平
分（如图 2、图 3点 P 为平行四边形 BECF 对角线 BC 与 EF 的交点）；也可以把 AB 平移至 EF 的位
置，可以得到四边形 BEFA 为平行四边形，从而四边形 BECF 也为平行四边形（图 4）.
-2-
中考数学专题复习
A A A
A
D
B F F
B F B B
P
E
C C E C E C
图 1 图 2 图 3 图 4
例 5.如图，由边长为 1个单位的小正方形组成了 10×10的网格，每个小
A
正方形的顶点称为格点，如图点 A点 B均为格点。
(1)使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是矩形，且邻边之比为 1：2
(2)在图中确定网格 C、D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四
1 B
边形，且其中一个内角的正切值为 ，请作出这个平行四边形。
2
【思路点拨】（1）当 AB为矩形一边时（如图 1），用“三垂”构造相似得 Rt∠ABC，相似比为 2:1
时，AB:BC=2:1；当 AB为对角线时（如图 2）则点 C、D 在以 AB 为直径的圆上，也可以用“三垂”构
造相似比为 2:1的两直角三角形相似;
BP 1
（2）如图 3,tan∠ABP= = ,再把 AB、AD 进行平移可得要求的平行四边形.
AB 2
D
A M A D A2
D`
1
C D1
O
D1 2m P
C m
a
B N C2 B 2a B
C` C
图 1 图 2 图 3
方法漫谈
逆用 “三垂”构造相似得直角，用相似比得正切值.
-3-
中考数学专题复习
例 6.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三
角形．如图，已知整点 A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图 1中画一个△PAB，使点 P的横、纵坐标之和等于点 A的横坐标；
（2）在图 2中画一个△PAB，使点 P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的 4倍．
y y
5 5
4 4
B B
3 A 3 A
2 2
1 1
O 1 2 3 4 5 x O 1 2 3 4 5 x
【思路点拨】(1)设 P(x，y)，由题意 y y
5 5
x+y=2，∴点 P 在直线 y=-x+2 上，再在直线
4 4
B B
上寻找符合条件的点即可．(2)设 P(x，y)， 3 A 3 A
2 2
由题意 x +4 =4(4+y)，求其自然数解即可． 2 2
1
P 11 P`
P2
O 1 2 3 4 5 x
y = x + 2 O (P) 1 2 3 4 5 x
例 7.如图所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变
成如图所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中折线 CDE）还保留着，张大爷想过 E
E
点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的
A M
一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几
D
何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的
B C N
占地面积）(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；(2)说明方
图 1
案设计理由．
【思路点拨】如图 1-1，当 S1 = S2 时符合条件, E
即只需 DH 与 CE 平行即可. A M
S1 D
G
S2
B C H N
图 6-2
方法漫谈
通过作平行线达到等积补形的目的.
-4-中考数学专题复习
4.6 与相似有关的综合题
典例 · 引领
【例 1】如图 1， ABC 中， ABC =90 ，以 AB 为直径作半圆O，交斜边 AC 于点 D ，过点 D 作半圆
l F
O的切线DE ，交 BC 于点 E ． C
D
（1）求证：点 E 是 BC 的中点；
E
（2）过点C 作 AB 的平行线 l ， l 与 BD 的延长线交于点 F ，若
FD
= x ， tan BAC = y ，求 y关于 x的函数解析式．
DB A O B
图 1
【思路点拨】（1）由条件可得 BDC = 90 、 ED = EB ，
易得 DE为 Rt△BCD的“斜中”即点 E 是 BC 中点．
BC DF CD
（2）法一设参数: y = tan BAC = ，由条件易得 BC 2 = CA DC ，AB2 =CA AD ， 又由 x = =
AB DB AD
设CD = a ，则 AD = ax ，用 a、x表示相关线段即可解决问题
BD CD
法二: tan BAC = = y ，tan BAC = tan DBC = = y 两式相乘，约去相同的线段可得 x与 y的关
AD BD
系式.
方法漫谈
1.会设参数表示相应的线段以帮助解决问题；
2. 借助中间线段(或中间比)是解决有关比例式的常用方法，如：直接求比例式 有困难，可通
过中间线段 m，由 · = 可得.
-1-
中考数学专题复习
例 2.如图 2，以 AB为直径作⊙O，点 C是直径 AB上方半圆上的一点，连结 AC，BC，过点 C作∠ACB
的平分线交⊙O于点 D，过点 D作 AB的平行线交 C C
CB的延长线于点 E．
A B A B
(1)如图 2，连结 AD，若⊙O的半径为 5， O O
求 CA CE的最大值．
D E D E
(2)如图 3，连结 AE，设 tan∠ABC＝x，
图 2 图 3
tan∠AEC＝y，
CB 4
①求 y关于 x的函数解析式；②若 = ，求 y的值．
BE 5
【思路点拨】（1）由题意可得 ADC∽ DEC ，则有CA CE =CD2 可得 CA CE的最大值．
（2）①如图 3-1，连接 AD ，过点 D 作 DF ⊥CE ，则△CDF是等腰直角三角形，
AC AC CE AC CD AC CE CD CD
y = tan AEC = = 2 2，由(1)得 = ，∴ y = = ( ) =( ) ，
CE CE CE 2CD CE CE CE CF + EF
再设 EF=a，用 a、x表示相关线段即可解决问题.
C
A B
O
F
D E
图 3-1
AC AC x AC AC CE CB 4
②由x＝tan ABC = ，y＝tan AEC = = = 由条件 = ，可得 x、y的关
BC CE y BC CE BC BE 5
系结合(1)中关系可联立方程组解得 x、y的值．
AC AC CE CD 2 CE AC AC
说明：1.本例在处理比例式时与【例 1】类似如： = = ( ) ； =
CE CE CE CE BC BC CE
2.常规的求函数值 y的方法是先求得自变量 x的值，再代入解析式求，但不易单独求得 x的值时不妨把
解析式看成二元方程，从而需再求得两者的关系式，联立成方程组解决。
-2-
中考数学专题复习
例 3.如图 4，在平面直角坐标系中，直线 y = 2x+ 4 与坐标轴交于 A，B两点，动点 C在 x 轴正半轴上，
⊙D为 AOC 的外接圆，射线 OD与直线 AB交
y y
于点 E.
(1)如图 1，若 OE=DE， A
A
S△ D则 AOE = _______； D
S E△ACE E
O x
(2)如图 5，当 ABC = 2 ACB 时， B C O B C x
求 OC的长；
(3)点 C由原点向 x 轴正半轴运动过程中，设 OC 图 5
图 4
的长为 a ，
①用含a 的代数式表示点 E的横坐标 xE ； ②若 x = BC ，求 a 的值. E
【思路点拨】（1）如图 4，易得 S AOE = S ADE = S CDE ，易得S AOE与S ACE的比值
（2）直线 y = 2x + 4与坐标轴交于 A，B两点，∴OA= 4，OB = 2，即 tan ABO = 2
如图 4-1，过 O作OF ⊥ AC于点 F ，由 ABC = 2 ACB= ADO ， y
∴ ODC = ABO ，即 tan ODC = tan ABO = 2 .设 DF =m ，则OF = 2m，
A
OD = OF 2 +DF 2由 勾 股 定 理 得 ， = 5m ， CF = ( 5 1)m ， 再 由
D
AO OF E F
tan OCD = = 可求得 OC的长.
OC FC
（3）①设直线OD交 D另一点为G ，连结 AG，作 EH ⊥ AO于点 H ， O B C x
则 EH / /AG，
y 图 5-1
EH OH EH AH EH EH OH AH x x
= ， = ， + = + =1，即 E + E =1，解得，
AG OA OB OA AG OB OA OA a 2 A G
2a
x = ； E
a + 2 D
H E
②分点 C在点 B的左侧与右侧两种情况，分别列出关于 a的方程即可.
O B C x
图 5-2
方法漫谈
1. 用双“A”（或“8字”相似）模型是解决较复杂成比例线段常用的手段；
2. 应用双“A”模型时，借助公共边的比往往会出现两比例之和为“1”.
-3-
中考数学专题复习
【综合题赏析】如图，在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AB =CD ， AD = 5， BC =15，
5
cos ABC = ． E 为射线CD上任意一点，过点 A 作 AF / /BE ，
13 F
与射线CD相交于点 F ．连接 BF ，与直线 AD 相交于点G ．
A D
AG
设CE = x ， = y ． G
DG
E
（1）求 AB 的长；
（2）当点G 在线段 AD 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x
的取值范围；
B C
S四边形ABEF 2
（3）如果 = ，求线段CE 的长．
S四边形 3ABCD
【解析】（1）如图 1，分别过点 A 、 D 作 AM ⊥ BC 、 DN ⊥ BC ，垂足为点M 、 N ．
A
1 1 D
则四边形 AMND为矩形 BM = (BC AD) = (15 5) = 5 ，
2 2
在Rt ABM中， AMB = 90 ，
BM
AB = =13．
cos ABM
B M N C
AG AG + DG 5 图1
（2） = y ， = y +1．即 DG = ，
DG DG y +1
AFD = BEC ， ADF = C ．
F
ADF∽ BCE FD AD 5 1． = = = ，
EC BC 15 3 A D
G
1 1 1
FD = EC= x ， FC =CD + DF = x +13．
3 3 3 E
1 5
x
AD / /BC FD DG 3
y +1
， = ．即 = ．
FC BC 1 15x +13 B C
3
图2
39 2x
y = ．
3x
39 2x 39
所求函数的解析式为 y = ，由 y 0, x 0 ，∴ x 的取值范围为0 x ．
3x 2
（3）在Rt ABM
2 2
中，利用勾股定理，得 AM = AB BM =12．
1 1
S梯形 = (AD + BC ) AM = (5+15 12 =120 ． ABCD )
2 2
S四边形ABEF 2= ，
S四边形 3ABCD
-4-
中考数学专题复习
S四边形 = 80ABEF ．
设 S = S ．由 ADF∽ BCE
FD 1
ADF ， = ，得 S AEC = 9S．
EC 3
F
过点 E 作 EH ⊥ BC 于点 H ．
A D
由题意，本题有两种情况：
E
①如果点G 在边 AD 上，则 S四边形 S四边形 = 8S = 40ABCD ABEF ．
S = 5．
B N H C
图3
S AEC = 9S = 45 ．
1 1
S BEC = BC EH = 15 EH = 45 ．
2 2
EH = 6 DN =12 CE EH 6 1
1 13
．又 = = = ． CE = CD= ， E
CD DN 12 2 2 2
②如果点G 在边 DA 的延长线上，则 S四边形 + S四边形 + S ADF = 9SABCD ABEF ．
F
8S = 200 ．解得 S = 25．
S BEC = 9S = 225．
G A D
1 1
S ．解得 EH =30 ． BEC = BC EH = 15 EH = 225
2 2
CE EH 30 5
= = = ．
CD DN 12 2
65 13 65 B H N C
CE = ， CE = 或 ． 图4
2 2 2
方法漫谈
1. 以“中间线段”为桥梁，是解决比例式的常用方法（如第 2小题的线段 DF）；
2. 解决有关四边形的面积问题时，常转化为三角形的面积.
-5-
中考数学专题复习
-6-中考数学专题复习
专题五 应用性问题
5.1 整数解问题
典例 · 引领
例 1.某商店销售 A、B、C三种型号的饮料。随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年 5月 1
日起将 A饮料每瓶的价格上调 20%，将 B饮料每瓶的价格下调 10%，C饮料价格不变，是每瓶 7元。已
知调价前 A、B、C三种饮料各买一瓶共花费 18元，调价后买 A饮料 2瓶、B饮料 5瓶共花费 39元。
(1)问 A、B两种饮料调价前的单价；
(2)今年 6月份，某单位花费 3353元在该商店购买 A、B、C三种饮料共 n瓶，其中购得 B饮料的瓶数
是 A饮料的 2倍，求 n的最大值。
【思路点拨】(1)根据题意列出方程（组）即可解决.
(2)设购进 A 饮料m 瓶，则购进 B 饮料 2m 瓶，购进C 饮料 (n 3m) 瓶，依题意可得关于 n、m的不定方
程，在求解不定方程正整数解时，不可忽略条件C 饮料瓶数n 3m 0 .
方法漫谈
通过不等式确定取值范围，结合整数的整除性解决整数解问题.
-1-
中考数学专题复习
例 2.某工厂准备用图甲所示的 A型正方形板材和 B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种
无盖箱子．
(1)若该工厂准备用不超过 10000元的资金去购
买 A，B两种型号板材，并全．部．制作竖式箱子，
已知 A型板材每张 30元，B型板材每张 90元，
求最多可以制作竖式箱子多少只？
A B
(2)若该工厂仓库里现有 A型板材 65张、B型板 竖式 横式
材 110张，用这批板材制作两．种．类型的箱子，
甲 乙
问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
(3)若该工厂新购得 65张规格为 3×3 m的 C型正方形板材，将其全部切割成 A型或 B型板材（不计损
耗），用切割成的板材制作两．种．类型的箱子，要求竖式箱子不少于 20只，且材料恰好用完，则能制作两
种箱子共 只．
【思路点拨】(1)设最多可制作竖式箱子 x 只，则 A 型板材 x 张， B 型板材 4x 张，依题意可得关于 x 的
不等式；
(2)设制作竖式箱子 a只，横式箱子b 只，依题意列方程组解之即可；
a + 2b = 65 9 3m
(3)设裁剪出 B 型板材m 张，则可裁 A 型板材 (65 9 3m)张，由题意可得：
4a + 3b = m
消去 m可得关于 a、 b 的不定方程，再由 a 20，可得 b的取值范围，结合整数解情况进行求解.
方法漫谈
通过消元法将三元一次方程组转化为解二元一次方程的整数解，在解决这类不定方程时往往需
要用一个未知数的代数式去表示另一个未知数(需要观察常数项是否能被系数整除)，取值时需
要关注被消元的未知是否为整数.
-2-
中考数学专题复习
例 3.某中学在今年 4月 23 日的“世界读书日”开展“人人喜爱阅读，争当阅读能手”活动，同学们积
极响应，涌现出大批的阅读能手，为了激励同学们的阅读热情，养成每天阅读的好习惯，学校对阅读能
手进行奖励表彰，计划用 2500元来购买甲、乙、丙三种书共 100本作为奖品，已知甲乙丙三种书的价
格比为 2：2：3，甲种书每本 20元．
（1）若学校购买甲种书数量是乙种书的 1.5倍，恰好用完计划资金，求甲种书买了多少本；
（2）若又增加了 300元的购书款，求丙种书最多可以买多少本；
（3）七（1）班阅读氛围浓厚，同伴之间交换书箱共享阅读，已知甲种书共 270页，小明同学阅读甲种
书每天 21页，阅读 5天后，发现同伴比他看得快，为了和同伴及时交换书，接下来小明每天多读了a
页（ 20 a 40），结果再用了b 天读完，求小明读完整本书共用了多少天？
【思路点拨】(1)设乙买了 x 本，丙买了 y 本，则甲买了1.5x 本，依题意得方程组解出即可；
（2）设丙种书可以买m 本，列不等式解（为什么不是列方程？）
165
（4）由题意可得 21 5 + (21+ a)b 270 ， b ，再由 a 的取值取值范围可确定 b 的取值情况，
21+ a
取其整数解即可．
方法漫谈
当出现二元不等式时解决途径为：(1)寻找着这两个未知数之间的等量关系(即还需要列一个等
式)通过消元转化为一元不等式(2)类似看成函数，通过函数的单调性确定取值范围.
-3-
中考数学专题复习
例 4某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品，第五、六车间每天
3 8
生产的产品数量分別是第一车间每天生产的产品数量的 和 ．甲、乙两组检验员(两组总人数在 50-
4 3
100 人之间)进驻该厂进行产品检验，在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各
车间继续生产．甲组用了 6 天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用 2天将第四、五
车间的所有成品同时检验完后，再用了 4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间
生产的成品）．如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数分别是 人．
【思路点拨】设第一、二、三、四车间毎天生产相同数量的产品为 x 个，每个车间原有成品m 个，甲组
检验员 a 人，乙组检验员b 人，每个检验员的检验速度为 c 个 / 天，则第五、六车间每天生产的产品数量
6(x + x + x) + 3m = 6ac
6x + m = 2ac①
3 8 3
分別是 x 和 x ，由题意得， 2 x + x + 2m = 2bc ，即 7x + 4m = 4bc② 求得 a 与 b 的比值，再由
4 3 4
16x + m = 4bc③
8
(2 + 4) x + m = 4bc
3
50≤a+b≤100 可得 a与 b的值
方法漫谈
1.关系式比较复杂时学会“设而不求”和“整体消元”
2.未知数较多，往往需要用同一个量(未知数)去表示其它量，特别是在求比值时.
-4-中考数学专题复习
5.2 函数型应用题
典例 · 引领
例 1.如图 1某饮水机内有两个水箱，甲箱底面积是乙箱的 2倍， 两水箱各配有一条智能水管，当甲箱
至最低水位时 1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱，注水 4分钟后甲乙两箱的水位相同，此时 2号
管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同,水箱注满后其对应的水管停止工作，期间
饮水机不对外出水）.记 1号管启动后的时间为 t（分钟），甲乙水箱水位为 h（cm）关于 t的函数关系
如图 2所示.
(1)求 1号管启动 4分钟后，乙水箱的水位.
(2)当甲水箱在水位上升过程中时，求 h关于 t的函数解析式，并写出 t的取值范围.
(3)为节约能源，设定只在两水箱的水位差不超过 20cm 时对甲水箱加热，加热时每分钟耗电 0.03度，
另外每根水管工作 1分钟耗电 0.01度.请计算从甲箱开始注水到两水箱都注满共耗电多少度.
h(cm)
70 甲
最低水位 乙a
10
乙 甲 O
t 4 t b c图1 t(分钟)1 2
图2
【思路点拨】(1)两水箱底面积之比与水位变化的速度之间成反比.
(2)由函数图像过(0，10)、(4，a)可得
(3) 耗电量由两根水管和对甲水箱加热两部分组成，其中水位差不超过 20cm有两个时间段，再根据题
意理清每根水管工作时长即可.
方法漫谈
应用题信息的给予方式多样，图表也是其中一种，所以读懂图象信息比较重要，在同一坐标系中
有两条函数图像时，具有相同的横(纵)坐标的实际意义往往是解题的突破口.
-1-
中考数学专题复习
例 2.童老师计划购买 A 、 B 两种笔记本共 30本作为班会奖品，这两种笔记本的单价分别是 12元和 8
3 1
元，并且购买的 A 种笔记本的数量要少于 B 种笔记本数量的 ，但又不少于 B 种笔记本数量的 ．如果
4 4
设买 A 种笔记本 x 本，买这两种笔记本共花费 y 元．
(1)求计划购买这两种笔记本所需的费用 y （元 ) 关于 x （本 ) 的函数关系式；
(2)童老师有多少种不同的购买方案？
(3)商店为了促销，决定对 A 种笔记本每本让利 a(4 a 7) 元销售， B 种笔记本每本让利b 元销售，童
老师发现购买所需的总费用与购买的方案无关．当总费用最少时，求此时 a 、b 的值．
【思路点拨】（1）由由题意直接列出 y （元 ) 关于 x（本 ) 的函数关系式；
（2）依题意可列不等式组，求其整数解即可；
（3）依题意列出 y 关于 x的关系式，由于与购买的方案无关，即与 x的取值无关，所以 x的系数为 0，
可得 a、b的关系，再由 4 a 7可得 b的取值范围，当总费用最少，即当 y 取得最小值时可得 a 、 b 的
值.
方法漫谈
应用题中自变量的取值范围往往通过解不等式(组)得到，同时需要兼顾实际意义(如整数、非负
数等)，与某参数无关，可以通过其系数为零获得等式.
-2-
中考数学专题复习
例 3.如图是一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到 100℃时自动停止加热，
随后转入冷却阶段，当水温降至 60℃时，热水壶又自动开始加热，….，如此反复，重复上述程序，若
在冷却过程中按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到
100℃后又重复常规模式．现对从加热到 100℃开始，冷却到
60℃再加热到 100℃这一过程中水温 y （℃）与所需时间 x
（分）进行测量记录，发现在冷却过程中满足
1
y = x2 2x+100 ，加热过程中水温 y （℃）与时间 x
40
（分）也满足一定的函数关系，记录的部分数据如下表：
根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)求水温从 100℃冷却到 60℃所需要的时间；
(2)请你从学过的函数中确定，哪种函数能表示加热过程中水温 y （℃）与时间 x （分）之间的变化规
律，并写出函数表达式；
(3)在一次用水过程中，小明因急需 100℃的热水而在冷却过程中使用了“再沸腾”键，结果使水温到
达 100℃的时间比常规模式缩短了 22分钟，求小明按下“再沸腾”键时的水温．
【思路点拨】(1)把 y = 60 代入解析式即可；
(2)由表格中的数据可知， y 与 x 成一次函数关系，取两对合适的值代入即可；
(3)先确定在常规模式下从100 C开始冷却到再加热到100 C的过程时间，从而得知使用了“再沸腾”键
的时间，根据题意列方程求出小明因急需100 C的热水而在冷却到多少分钟时按下“再沸腾”键，再把所
1
求的值代入 y = x
2 2x +100 求得水温．
40
方法漫谈
1.学会从表格表格中从读取函数类型(①一次函数：y随 x变化是“均匀”的；②反比例函数：
乘积不变；③二次函数：函数值会出现对称现象)2.在充分理解题意的前提下结合函数性质是解
决函数类应用题重要的方法.
-3-
中考数学专题复习
例 4.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自
2013年起逐月增加，据统计，该商城 1月份销售自行车 64辆，3月份销售了 100 辆．
（1）若该商城前 4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城 4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入 3万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车
的进价为 500元 / 辆，售价为 700元 / 辆， B 型车进价为 1000元 / 辆，售价为 1300元 / 辆．根据销
售经验， A 型车不少于 B 型车的 2倍，但不超过 B 型车的 2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利
润最大，该商城应如何进货？
【思路点拨】（1）依题意列方程求解即可；
30000 500x
（2）设购进 A 型车 x 辆，则购进 B 型车 辆，依题意可列关于 x不等式，可解得 x 的取值范
1000
围，结合题意利润与 x 成一次函数关系，在求其利润最大值时要同时考虑两种车型的辆数均为整式才符
合实际.
方法漫谈
实际问题中自变量的取值是否符合题意，有时候需要充分挖掘题意.
-4-中考数学专题复习
5.3 图形方案类应用题
典例 · 引领
例 1．小张准备给长方形客厅铺设瓷砖，已知客厅长 AB =8m，宽BC = 6m，现将其划分成一个长方形
EFGH 区域 I 和环形区域Ⅱ，区域Ⅰ用甲、乙瓷砖铺设，其中 D C
N
甲瓷砖铺设成的是两个全等的菱形图案，区域Ⅱ用丙瓷砖铺 H G
M
设，如图所示，已知 N 是GH 中点，点M 在边 HE 上，
HN =3HM ，设 丙HM = x(m)． 乙 O
甲
（1） 用含 x 的代数式表示以下数量．铺设甲瓷砖的面积 E F
丙
为 m2 ．铺设丙瓷砖的面积为 m2 ． A B
（2）若甲、乙、丙瓷砖单价分别为 300元 /m2 ，200元 /m2 ，100元 /m2 ，且 EF FG + 2 ，铺设好整个
客厅，三种瓷砖总价至少需要多少钱？
【思路点拨】(1)设 HM = x(m)，则 HN = 3x(m) ，根据题意得 EF =GH = 6x(m) ， FG = 4x(m) ，
分别用含 x的代数式表示 S 甲、S 乙，而 S 丙=S 总-S 甲-S 乙
（2）由 EF FG + 2可得 x 的取值范围，列三种瓷砖总价 W 关于 x 的函数关系式，结合函数性质与自变
量的取值范围可 W 的最值．
方法漫谈
通过图像位置确定各图形之间的面积关系，再确定应用型问题的类型(如函数、方程、不等式等
等)
.
-1-
中考数学专题复习
例 2．如图 1，有一块长方形空地 ABCD，计划将其分割为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个长方形区域，并在这三个区
2
域分别种植甲、乙、丙三种花卉.已知丙种花卉单价为 150元 米 ，乙种花卉单价是甲种花卉单价的 2
倍，三种花卉的单价总和为 450元.
（1）求甲、乙两种花卉的单价．
（2）AB=3米，AE=2米，I，Ⅱ两个区域的面积相等，且种植丙种花卉的费用与种植甲、乙两种花卉费
用的总和相等．
①求 BC的长；
②如图 2，实际种植时，将区域Ⅲ中分制成了左右两部分，使得 EG=3MH，在左、右两个区域上分别种
2
植丙、丁两种花卉，I、Ⅱ两个区域的种植方案与计划一致，若丁种花卉单价为 200元 米 ，且要求种
1
植丁种花卉与丙种花卉的面积之差不少于三个区城总面积的 ，求四种花卉总价的最小值．
4
A E D A E G D
Ⅲ Ⅲ
Ⅰ
M N Ⅰ M N
H
Ⅱ Ⅱ
B F C B
图1 F
C
图2
【思路点拨】（1）三种花卉的单价总和为 450元，不难求得每种花卉的单价．
(2)①根据题可算得区域Ⅲ的面积，通过面积计算 BC 的长；
②设丁花卉的种植面积为 m 平方米，则丙花卉的种植面积为(12-m)平方米，总费用为 P 元，
可得 P 关于 m 的函数关系式，由条件“种植丁种花卉与丙种花卉的面积之差不少于三个区城总面积的
1
”及丙花卉的种植面积为 12-m>0，可得自变量 m 的取值范围，根据函数性质求其最值.
4
方法漫谈
善于挖掘实际问题中的等量关系与不等关系对于解决应用题也比较重要.
-2-
中考数学专题复习
例 3．如图，某校准备给长 12 米，宽 8米的矩形 ABCD室内场地进行地面装饰，现将其划分为区城 I（菱
形 PQFG) ，区域Ⅱ (4 个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区Ⅲ，点O为矩形和菱形的对称中心，
1 1
OP / /AB ，OQ = 2OP ， AE = PM ，为了美观，要求区域Ⅱ的而积不超过矩形 ABCD 面积的 ，若设
2 8
OP = x米．
8
（1）当 x = 时，求区域Ⅱ的面积．
3
（2）计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，
①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好．当 x 为多少时，室内光线亮
度最好，并求此时白色区域的面积．
②三种瓷砖的单价列表如下，m ，n 均为正整数，若当 x = 2米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少
费用为 7200元，此时m = ， n = ． A M D
Ⅱ Ⅱ
E P
8米 Q O Ⅰ G
Ⅲ
F
Ⅱ Ⅱ
C
B 12米
1
【思路点拨】(1)由题意可分别求的 AM、AE，区域Ⅱ的面积=4 AE AM
2
(2)①由 SⅢ=S SⅠ S全 Ⅱ，可得 SⅢ与 x 的函数关系式，根据函数性质可求得最大值；
②当 x = 2时，三块区域Ⅰ的面积均可求得，根据题意可列关于 m、n 的不定方程，把问题转化为求不定
方程的正整数解.
方法漫谈
实际问题往往会与整数解相结合，善于用不定方程解决整数解问题是解题关键.
-3-
中考数学专题复习
例 4．某厂家要制作一些玻璃窗，如图一扇窗户由 M，N，L 型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方
形大玻璃，并按如图所示的方案进行无废料切割（同种型号的玻璃片是全等的）．
N A C B
L M L D
一扇窗户 方案甲 方案乙 方案丙
（1）若大玻璃的长 AB 为 2 米，求 N 型长玻璃边 AC 与 AD 的长；
（2）现厂家已有 4 块 M 型玻璃片，再购入 7 块大玻璃按以上三种方法进行切割，若材料无剩余，且恰
好可以搭成若干扇窗户，请求出满足以上切割方案；
（3）现厂家已有 50块 M 型玻璃片，再购入 a 块大玻璃按以上方案进行切割，若材料无剩余，且恰好
可以搭成若干扇窗户，已知 20
【思路点拨】(1)通过“窗户”可得 M、N、L 三个矩形边长的关系(如有重叠的边则边长相等)，在通过
3种方案图可求得 AC 与 AD 的长；
(2)法一：可借助表格分别列出 M、N、L 型玻璃片的数量，根据 M、N、L 型玻璃片之间的关系列方程
解决问题；法二：分别算出每张 M、N、L 型玻璃片的面积、一扇窗户的面积，玻璃材料总面积，根据
面积相等可列方程；
（3）可根据上题的方法列方程，不过本小题多出了 1个未知量，所以列出的是不定方程，所以本小题
可视为解不定方程整数解的问题.
-4-中考数学专题复习
5.4 PISA 类问题
典例 · 引领
例 1．图 1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯．防滑螺母 C 为抛物线支架的最高点，灯罩 D 距离地
面 1.86米，灯柱 AB 及支架的相关数据如图 2
所示．若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到
灯柱的距离 AE 为 米．
【思路点拨】如图 2-1所示，以点 A 为坐标原
点，建立平面直角坐标系，由题意可得到抛物
y C(1.5，2.5)
线的顶点坐标，所以考虑用顶点式求函数解析式，A(O)E 的长，即为
求点 D 的横坐标. D
B(0，1.5)
O E x
图 2-1
方法漫谈
1.有关函数型的实际应用的题型，首先通过观察选择合适的点作为坐标原点再建立平面直角坐标
系，在选择时同时需要考虑有利于用哪种形式求解析式；
2.再把题目的要求转化为求点的坐标、线段长度.
.
例 2.如图 3，是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高
度 BG = 2米，货厢底面距地面的高度BH = 0.6 米，坡面与地面的夹角 BAH = ，木箱的长 (FC)为 2
N G E
米，高 (EF )和宽都是 1.6米．通过计算判
3 D
断：当 sin = ，木箱底部顶点C 与坡面底 F
5 M B
部点 A 重合时，木箱上部顶点 E 会不会触 H A
图 3
碰到汽车货厢顶部．
【思路点拨】如图 3-1，木箱上部顶点 E 会不会触碰到汽车货厢顶部，
N G E
即比较点 E 到直线 MB 的距离与 GB 的大小，故：过 F 作FJ ⊥ BG 于
D
点 J ，过 E作 EK ⊥ FJ 于点 K ，即通过计算 BJ + EK大小进行判断，图 F J K
M B
中 Rt△EKF、Rt△FJB、Rt△AHB 两两相似，而 Rt△AHB 可解.
H A
图 3-1
-1-
中考数学专题复习
N G E
P
Q
说明：此类问题解法比较灵活，解题要点是“找到或构造”相似三角
D
F
形、可解三角形等途径解决，如按图 3-2，所添加的辅助线解决亦可， M B
甚至可以通过判断∠GEF是否大于直角来得出相应的结论。
H A
图 3-2
方法漫谈
1.把实际问题转化具体数学问题，明确所要求的线段、角等几何元素；
2.找到或构造基本的几何图形是解决此类问题重要的途径.
例 3.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无
AB 6 2
缝隙）．图乙中 = ，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为 54cm ，其内部菱形由两组距离
BC 7
相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 cm．
D C
E
F
A B
甲 乙
【思路点拨】如图 4，首先取 CD 的中点 G，连接 HG，因为 AB 6= ，设 AB＝6acm， G
BC 7 D C
则 BC＝7acm，中间菱形的对角线 HI 的长度为 xcm；然后根据 GH∥BC，可得
E H M
K
GH DG
= ，从而可以用含 a 的代数式表示 x；再根据上下两个阴影三角形的面积之
CN DC I NF
2
和为 54cm ，可解得 a、x 的值；最后根据 AM∥FC，求出 HK 的长度，即可求出该
A B
菱形的周长． 图 4
方法漫谈
1.有关图案设计类问题往往可以从对称(轴对称、中心对称)角度寻找数量关系；
2.成对称的图形往往比较容易得到特殊的四边形(如平行四边形、菱形、矩形等)，从特殊四边形
的性质及由平行得到的成比例线段寻找解决问题的途径.
-2-
中考数学专题复习
例 4.如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸 l 上依次取点 E，F，N，
使 AE⊥l，BF⊥l，点 N，A，B 在同一直线上．在 F 点观测 A 点后， D
沿 FN 方向走到 M 点，观测 C 点发现∠1＝∠2．测得 EF＝15米，
C
FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边 AB 为 米，
A
BC 为 米．
B
1 2 河
【思路点拨】法一用相似：如图 5-1，根据已知条件得到△ANE E F M N l
图 5
和△BNF 是等腰直角三角形，求得 AE、BF 的值，进而得到 AB 的长；
过 C 作 CH⊥l 于 H，过 B 作 PQ∥l 交 AE 于 P，交 CH 于 Q，根据矩形的性质得到 PE＝BF＝QH，
PB＝EF，BQ＝FH，构造“三垂相似”可得结论．
法二用可解三角形：如图 5-2，从解△GNM 为突破口寻找解决问题的办法.
D
C
A
P B Q
1 2
河
E F M N H l
图 5-1
D
C
A G
P B 3
G
1 2 2 45°
E F M N l M N
图 5-2
方法漫谈
1. 在几何计算中相等角的利用往往是①寻找相似三角形用比例式线段解决问题；②用三角函
数，寻找可解三角形；
2.几何计算往往离不开基本的计算工具：相似比例、勾股、可解三角形等，在解题时善于选择合
适的工具.
-3-
中考数学专题复习
例 5.如图 6是一溜娃神器推车，溜娃时该推车底部支架张开后，其框架投影图如图 6(1)所示，两支撑
轮是分别以点 A，B为圆心，1.5分米长为半径的圆且与水平地面相切，其支架长OA=OB ，竖直支撑
柱OH = 0.5 3分米，水平座椅FH = 2.5分米，并与靠背GF 成120 夹角，推手柄OM = 8分米.当张开
角 AOB = 60 时， A，O，M 三点共线，且GM / / AB ，则GF 的长度为 分米；如图
6(2)，当张开角 AOB = 90 时，折叠支撑柱以上座椅部分绕着点O逆时针旋转使G 点与圆心 A重合，
此时手柄OM 绕着点O 顺时针旋转90°至OM 处，则M 到地面的距离是 分米.
G M
G M
F H
O H
F O
M'
A B
B
A(G)
图2 图3
图 6 图 6(1) 图 6(2)
【思路点拨】本题以点 O 为界，将图形分为上、下两部分，显然上面部分的条件较多，相对容易解决。
(1)由已知可得△AOB 为正三角形，当 A，O，M 三点共线，GM∥AB 时有∠M＝60°，故可在 Rt△OCM
中求出 OC 的长，而 DF=CH=OC-OH，进而求出 DF 的长，在 Rt△DGF 中求出 GF 的长度；
由条件“折叠支撑柱以上座椅部分绕着点 O 逆时针旋转使 G 点与圆心 A 重合”所以有 OA=OG，OG 的
长可以放在图 6-1 Rt△OCG 中求，所求的 M′到地面的距离即为图 6-2 中线段 EN 的长，EN=OE-
ON=QE+HQ-ON，接下来的解题关键是解 Rt△ONM′，其中 OM′=OM=8,由旋转可得∠BO M′=15°，
故∠NO M′=60°
D C
G M G M G M
H
F H F TO H O
F O
K
N M'
A(G)
A
B B A B
Q
P E
图3-1
图 6-1 图 6-2 图 6-3
方法漫谈
1.充分理解题意，善于从题意中寻找解决问题的关键信息，如本例中发现 OG=OA 是解题关键；
2.从不同的角度观察图形往往可以获得不同的基本图形，如按图 6-3添加辅助线可得到 2个正三
角形也可解决问题.
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