5.4.3正切函数的性质与图象
一、单选题(本大题共8小题)
1. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 下列函数中,以为最小正周期且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4. 下列不等式中,正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 函数的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
6. 设函数的图象的一个对称中心为,则的一个最小正周期是( )
A. B. C. D.
7. 已知,函数在区间内仅有一个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数,点和是其相邻的两个对称中心,且在区间内单调递减,则( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题)
9. 下列函数中是奇函数,且最小正周期是的函数是( )
A. B.
C. D.
10. 若函数,则下列选项正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 图象关于点对称
C. 在区间上单调递增 D. 图象关于直线对称
11. 下列命题中正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 若,是第一象限角且,则
C. 在区间上的最小值是,最大值是
D. 是函数的一条对称轴
12. 已知函数则下列关于的说法正确的是( )
A. 周期为 B. 定义域为
C. 增区间为 D. 图象的对称中心为
三、填空题(本大题共4小题)
13. 若函数在上单调递增,则的取值范围是 .
14. 函数的单调递增区间是 .
15. 若“,”是真命题,则实数的最小值为 .
16. 图象的一个对称中心为,若, .
四、解答题(本大题共2小题)
17. 已知函数的最小正周期为.
Ⅰ求函数的定义域;
Ⅱ求函数的单调区间.
18. 设函数
求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心.
求不等式的解集.
答案和解析
1.【答案】
解:由,
解得,
故函数的单调增区间为.
故选B.
2.【答案】
解:由,,
可得,,即,,
所以的单调递增区间是,
故选A.
3.【答案】
解:选项,对于函数,由得,
所以不满足“在区间上单调递减”,选项错误.
选项,对于函数,根据函数的图象可知,函数的最小正周期为,
且函数在区间上单调递减,符合题意,选项正确.
选项,对于函数,在区间上单调递增,不符合题意,选项错误.
选项,对于函数,最小正周期,不符合题意,选项错误.
故选B.
4.【答案】
解:故A错误;
故B正确;
,故C错误;
,D错误.
故选B.
5.【答案】
解:令,,得 ,,
所以函数的对称中心是,
令,可得函数的一个对称中心为.
故选C.
6.【答案】
解:根据题意得,,则,
又,则,,
对于,若是的最小正周期,则,得,与矛盾,故A错误:
对于,由得,不满足条件,故B不正确:
对于,由得,故C正确
对于,由得,与矛盾,故D错误.
7.【答案】
解:令,,
解得,
当,
当,
因为函数在区间内仅有一个零点,
所以要求,且当时,,
解得 .
故选C.
8.【答案】
解:正切函数相邻两个对称中心的距离,
函数的周期为,即,解得;
又在区间内单调递减,,;
由得,;,当时,,
则,由,,得,,
即函数的单调递减区间为,,
令,函数的单调减区间为满足条件.
故选.
9.【答案】
解:是奇函数,且最小正周期是,故A正确;
B.是偶函数,不符合题意,故B错误;
C.是偶函数,不符合题意,故C错误;
D.是奇函数,且最小正周期是,故D正确.
故选AD
10.【答案】
解:对于函数,它的最小正周期是,故A错误;
由于当时,,故它的图象关于点对称,故B正确;
在区间上,,故函数在区间上单调递增,故C正确;
令,可得不存在,故函数的图象不关于直线对称,故D错误,
故选:.
11.【答案】
解:
选项,为偶函数,所以选项错误.
选项,不妨设第一象限角但,所以选项错误.
选项,,,所以选项正确.
选项,,所以是函数的一条对称轴,选项正确.
故选:.
12.【答案】
解:对于,函数的周期为;
对于,要使函数有意义,则,即的定义域为;
对于,由 ,解得 ,
即的单调递增区间为 ;
对于,令,得,即函数图象的对称中心为.
13.【答案】
解:根据题设可知,
又函数在上单调递增,
,且,
求得,且,
可得:,
的取值范围为
故答案为
14.【答案】,
解:令,,
解得,.
故函数的单调递增区间是,.
故答案为,.
15.【答案】
解:由已知可得恒成立.
设,显然该函数为增函数,
故的最大值为,
由不等式恒成立可得,即实数的最小值为.
16.【答案】或
解:函数图象的对称中心是:令,,
其中,即.
又,所以当时,.
当时,,所以或.
故答案为:
17.【答案】解:Ⅰ由已知,,,
所以,
由,,解得,,
所以函数的定义域为;
Ⅱ由,,
解得,,
所以函数的单调递增区间为,其中,
函数没有单调递减区间.
18.【答案】解:由,得到函数的定义域;
周期;,
增区间为,无减区间;
令,
对称中心.
由题意,,
可得不等式的解集为
.
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