5.4.3正切函数的性质与图象 提升练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

5.4.3正切函数的性质与图象
一、单选题（本大题共8小题）
1. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
2. 函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
4. 下列不等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 函数的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是( )
A. B. C. D.
7. 已知，函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题）
9. 下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是( )
A. B.
C. D.
10. 若函数，则下列选项正确的是( )
A. 最小正周期是 B. 图象关于点对称
C. 在区间上单调递增 D. 图象关于直线对称
11. 下列命题中正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 若，是第一象限角且，则
C. 在区间上的最小值是，最大值是
D. 是函数的一条对称轴
12. 已知函数则下列关于的说法正确的是( )
A. 周期为 B. 定义域为
C. 增区间为 D. 图象的对称中心为
三、填空题（本大题共4小题）
13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．
14. 函数的单调递增区间是 ．
15. 若“，”是真命题，则实数的最小值为 ．
16. 图象的一个对称中心为，若， ．
四、解答题（本大题共2小题）
17. 已知函数的最小正周期为．
Ⅰ求函数的定义域；
Ⅱ求函数的单调区间．
18. 设函数
求函数的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心．
求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】
解：由，
解得，
故函数的单调增区间为．
故选B．

2.【答案】
解：由，，
可得，，即，，
所以的单调递增区间是，
故选A．

3.【答案】
解：选项，对于函数，由得，
所以不满足“在区间上单调递减”，选项错误．
选项，对于函数，根据函数的图象可知，函数的最小正周期为，
且函数在区间上单调递减，符合题意，选项正确．
选项，对于函数，在区间上单调递增，不符合题意，选项错误．
选项，对于函数，最小正周期，不符合题意，选项错误．
故选B．

4.【答案】
解：故A错误；
故B正确；
，故C错误；
，D错误．
故选B．

5.【答案】
解：令，，得 ，，
所以函数的对称中心是，
令，可得函数的一个对称中心为．
故选C．

6.【答案】
解：根据题意得，，则，
又，则，，
对于，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误：
对于，由得，不满足条件，故B不正确：
对于，由得，故C正确
对于，由得，与矛盾，故D错误．

7.【答案】
解：令，，
解得，
当，
当，
因为函数在区间内仅有一个零点，
所以要求，且当时，，
解得 ．
故选C．

8.【答案】
解：正切函数相邻两个对称中心的距离，
函数的周期为，即，解得；
又在区间内单调递减，，；
由得，；，当时，，
则，由，，得，，
即函数的单调递减区间为，，
令，函数的单调减区间为满足条件．
故选．

9.【答案】
解：是奇函数，且最小正周期是，故A正确；
B.是偶函数，不符合题意，故B错误；
C.是偶函数，不符合题意，故C错误；
D.是奇函数，且最小正周期是，故D正确．
故选AD

10.【答案】
解：对于函数，它的最小正周期是，故A错误；
由于当时，，故它的图象关于点对称，故B正确；
在区间上，，故函数在区间上单调递增，故C正确；
令，可得不存在，故函数的图象不关于直线对称，故D错误，
故选：．

11.【答案】
解：
选项，为偶函数，所以选项错误．
选项，不妨设第一象限角但，所以选项错误．
选项，，，所以选项正确．
选项，，所以是函数的一条对称轴，选项正确．
故选：．

12.【答案】
解：对于，函数的周期为；
对于，要使函数有意义，则，即的定义域为；
对于，由 ，解得 ，
即的单调递增区间为 ；
对于，令，得，即函数图象的对称中心为．

13.【答案】
解：根据题设可知，
又函数在上单调递增，
，且，
求得，且，
可得：，
的取值范围为
故答案为

14.【答案】，
解：令，，
解得，．
故函数的单调递增区间是，．
故答案为，．

15.【答案】
解：由已知可得恒成立．
设，显然该函数为增函数，
故的最大值为，
由不等式恒成立可得，即实数的最小值为．

16.【答案】或
解：函数图象的对称中心是：令，，
其中，即．
又，所以当时，．
当时，，所以或．
故答案为：

17.【答案】解：Ⅰ由已知，，，
所以，
由，，解得，，
所以函数的定义域为；
Ⅱ由，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，其中，
函数没有单调递减区间．
18.【答案】解：由，得到函数的定义域；
周期；，
增区间为，无减区间；
令，
对称中心．
由题意，，
可得不等式的解集为
．
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