5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
一、单选题(本大题共8小题)
1. 当时,函数( )
A. 在区间上单调递增,在区间上单调递减
B. 在区间上单调递增,在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增,在区间及上单调递减
D. 在区间及上单调递增,在区间上单调递减
2. 将函数的图象向右平移个单位后,所得函数图象的一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
3. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象的一条对称轴方程为( )
A. B. C. D.
4. 下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是( )
A. B. C. D.
5. 函数的值域为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象的一条对称轴为,满足条件,则取得最小值时函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7. 关于,,下列叙述正确的是( )
A. 若,则是的整数倍
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上为增函数.
8. 函数图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为,且点是函数图象的对称中心,则函数在上的单调增区间为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共4小题)
9. 已知函数,则( )
A. 是上的奇函数 B. 的最小正周期为
C. 有最大值 D. 在上为增函数
10. 已知三角函数,以下对该函数的说法正确的是( )
A. 该函数的最小正周期为 B. 该函数在上单调递增
C. 为其一条对称轴 D. 该函数图像关于点对称
11. 已知函数,则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若,则函数的值域为
D. 函数的单调递减区间为
12. 函数满足,且在上单调,若在上存在最大值和最小值,则实数可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题(本大题共4小题)
13. 已知函数,其中,若的值域是,则实数的取值范围是_______.
14. 函数的定义域为 .
15. 已知函数当时,关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围是 .
16. 已知函数,当时函数能取得最小值,当时函数能取得最大值,且在区间上单调.则当取最大值时的值为 .
四、解答题(本大题共2小题)
17. 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是.
求的最小正周期以及的单调增区间;
求在的取值范围;
18. 设函数.
若,求的单调递增区间;
当时,的值域为,求的值.
答案和解析
1.【答案】
解:根据余弦函数的图象知:
函数的图象在上单调递增,在上单调递减,函数在上单调递增.
所以函数在区间及上单调递增,在区间上单调递减.
故选:.
2.【答案】
解:将函数的图象向右平移个单位后,可得的图象,
令,,求得,,可得所得函数图象的一条对称轴方程为,
故选:.
3.【答案】
解:将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象为,对称轴方程为,当时,可知B正确.
4.【答案】
解:不是周期函数,可排除选项;
的周期为,可排除选项;
在处取得最大值,不可能在区间上单调递增,可排除.
故选A.
5.【答案】
解:设
则,,
则当时,取最大值为,
当时,取最小值为,
则所求函数值域为.
故选C.
6.【答案】
解:,
,
,即,即,
则,
,,
则,
又直线是函数图像的一条对称轴,
,则,
,的最小值为,
此时函数的最小正周期为,
故选D.
7.【答案】
解:对于函数,由,可得 ,
是的整数,即是的整数倍,故A不正确;
由余弦函数的性质可知:
由,,得,,
则的对称中心为,,
令,可得函数的图象关于点对称,故B正确;
由,,得,,则其对称轴,,
易知,不正确;
由,,得,,
则的增区间为,,
在区间上不单调,故D不正确.
故选B.
8.【答案】
解:由题意,得,
又是函数图象的对称中心,
则,
则,
又,则,
故.
当时,,
令,
则.
故选A.
9.【答案】
解:已知函数,其定义域为,
则,即是上的奇函数;
由正弦函数的性质可知函数的最小正周期为,
当时取最大值,
在区间上单调递增,在区间上单调递减.
10.【答案】
解:由题意可得,三角函数的最小正周期,选项A正确;
若,则,故函数在区间上不单调递增,选项B错误;
当时,,则函数关于点中心对称,不关于直线对称,
选项C错误,选项D正确.
故选:.
11.【答案】
解:已知函数,
对于:当时,,故A正确;
对于:当时,,故B错误;
对于:由于,故,故.
故的值域为,故C错误;
对于:令,整理得,
函数的单调递减区间为故D正确.
故选:.
12.【答案】
解:函数在上单调,
,
,
又函数满足,且,
所以为函数对称轴,
,即,
故当时,,
当时,
在上存在最大值和最小值,
或,
或.
故选AD.
13.【答案】
解:
由,可知,
因为且,所以要使的值域是,结合图象可知只要,即,
故答案为.
14.【答案】
解:函数,
,
,
,
故函数的定义域为.
故答案为.
15.【答案】
解:等价于,
解得或,
因为,所以,,
如图,绘出函数的图象,
方程有三个不同的实数根,
等价于有一个实数解且有两个不同的实数解,
或有两个不同的实数解且有一个实数解,
当或时,无解,不符合题意;
当时,则,有一个实数解,有两个不同的实数解,符合题意;
当时,则,有两个不同的实数解,有一个实数解,符合题意;
当时,则,有一个实数解,至多有一个实数解,不符合题意,
综上,的取值范围为.
故答案为:.
16.【答案】
解:函数的最小正周期为,
当时能取得最小值,时能取得最大值,
,
即,
解得,
即为正偶数;
在上单调,
,
即,
解得;
当时,,
且,,,
由,得,
此时在不单调,不满足题意;
当时,,
且,,,
由,得,
此时在单调,满足题意;
故的最大值为,此时的值为.
故答案为.
17.【答案】解:由两相邻对称轴之间的距离是,得周期
,所以,所以
,,得,
所以的单调增区间为,
,则
,.
所以在的取值范围为.
18.【答案】解:,由,可得,
的单调递增区间为.
当时,,,
的值域为,或,解得或
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