学案：数系的扩充与复数
知识讲解
一、复数的概念
1.虚数单位i:
1）它的平方等于，即；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
3）i与－1的关系:i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．
4）i的周期性：， ， ， ．
2.数系的扩充：
复数
3.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
4.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
5.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系
对于复数：当且仅当时，复数是实数；
当时，复数叫做虚数；
当且时，叫做纯虚数；
当且仅当时，就是实数
6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，
二、复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
定义：复数与有序实数对是一一对应关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
2.几何意义：对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四则运算
1.复数与的和的定义：
2.复数与的差的定义：
3.复数的加法运算满足交换律:
4.复数的加法运算满足结合律:
5.乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
8.除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组，得
于是有:
利用
于是将的分母有理化得：
原式
．
∴(
9. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
典型例题
【例1】、已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则= 2i ．
解：根据题意，复数z=1﹣i，
则=（1+i）+=（1+i）+=2i，
故答案为：2i．
【例2】、已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a b的范围是 [，] ．
解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，
∴，即a2+b2=1，
令a=cosθ，b=sinθ，
则ab=cosθ sinθ=，
∴ab∈[，]．
故答案为：．
【例3】、如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是 1
解：复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，
∴z的几何意义是以A（0，3），B（0，﹣3）为端点的线段AB，
则|z+1+i|=|z﹣（﹣1﹣i）|的几何意义为AB上的点到C（﹣1，﹣1）的距离，
则由图象知C到线段AB的距离的最小值为1， 故答案为：1．
【例4】、已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为 6 ．
解：复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），复数z表示，复平面上的点到（﹣1，﹣1）的距离为1的圆．
|z﹣3+4i|的几何意义是圆上的点与（3，﹣4）的距离，
所以最大值为：=6．
故答案为：6．
【例5】、设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知，且（cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求|+…．
解：（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），
左边=右边，即n=1等式成立；
假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ），
则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）
=rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）
=rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]
=rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，
即当n=k+1时，等式成立；
综上，对n∈N+，zn=rn（cosnα+isinnα）；
（2）==1，
且（cosα+isinα）（α为实常数），
∴数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q=（cosα+isinα）的等比数列，
∴该数列的通项公式为Zn=Z1 qn﹣1= [cos（n﹣1）α+isin（n﹣1）α]；
（3）在（2）的条件下，=﹣=（cosα﹣1，sinα）
∴||=．
=[cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，
==．
|+…=×=．
【例6】、实数k为何值时，复数z=（k2﹣3k﹣4）+（k2﹣5k﹣6）i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0．
解：（1）当k2﹣5k﹣6=0，即k=6或k=﹣1时，z是实数．
（2）当k2﹣5k﹣6≠0，即k≠6且k≠﹣1时，z是虚数；
（3）当k2﹣5k﹣6≠0，且k2﹣3k﹣4=0，z是纯虚数，即k=4时为纯虚数；
（4）当k2﹣5k﹣6=0，且k2﹣3k﹣4=0，即k=﹣1时，z是0．
【例7】、已知复数z1=m+（1﹣m2） i（m∈R），z2=cosθ+（λ+2sinθ） i（λ，θ∈R）．
（1）当m=3时，求z1的虚部；
（2）若z1=z2，求λ的取值范围．
解：（1）当m=3时，z1=3﹣8i虚部为﹣8；
（2）由z1=z2，得．消去m可得λ=（sinθ﹣1）2﹣1．
由于﹣1≤sinθ≤1，可得﹣1≤λ≤0．
【例8】、已知复数z满足，z2的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），
由已知可得：，即，
解得或．
∴z=1+i或z=﹣1﹣i；
（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，
∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），
故△ABC的面积S=×2×1=1；
当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，
∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），
故△ABC的面积S=×2×1=1．
∴△ABC的面积为1．
【例9】、已知m∈R复数z=（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位）．
（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
解：z=（2m2﹣m﹣1）+（m2+m﹣2）i，
（1）由题意得，
解得．∴时，复数z为纯虚数．
（2）由题意得，
解得， ∴时，复数z对应的点位于第四象限．
【例10】、（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．
（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．
解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，
得=+=
=，
则z=；
（2）设z=a+bi（a，b∈R），
∵（1+3i） z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，
∴．
又ω===i，|ω|=5，
∴．
把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．
∴ω=±（i）=±（7﹣i）．
【例11】、设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，试求实数m取何值时，
（1）z是纯虚数；（2）z是实数；（3）z =0；（4）z对应的点位于复平面的第二象限．
解：（1）若z是纯虚数，则，解得m=3；
（2）若z是实数，则，解得m=﹣1或m=﹣2；
（3）若z =0，则，解得m=﹣1；
（4）若z对应的点位于复平面的第二象限，则，
由①得0＜m2﹣2m﹣2＜1，解得﹣1或1+＜m＜3．
由②得m＜﹣2或m＞﹣1． 取交集得﹣1或1+＜m＜3．
【例12】、设 z+1为关于 x 的方程 x2+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．
（1）当 z=﹣1+i 时，求 m、n 的值；
（2）若 n=1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q，试求|PQ|的取值范围．
解：（1）∵z=﹣1+i，∴z+1=i，
则方程 x2+mx+n=0的两根分别为i，﹣i．
由根与系数的关系可得，即m=0，n=1；
（2）设z=a+bi（a，b∈R），则==a+1﹣bi．
由题意可得：（z+1）=（a+1）2+b2=1．
令a+1=cosθ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．
|PQ|==∈[4，6]．
【例13】、已知m∈R，复数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）当m为何值时，z对应的点在直线x+y+3=0上？
解：（1）当z为纯虚数时，则，解得m=0，
∴当m=0时，z为纯虚数；
（2）当z对应的点在直线x+y+3=0上时，
则，
即，解得m=0或，
∴当m=0或时，z对应的点在直线x+y+3=0上．学案：数系的扩充与复数
知识讲解
一、复数的概念
1.虚数单位i:
1）它的平方等于，即；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
3）i与－1的关系:i就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．
4）i的周期性：， ， ， ．
2.数系的扩充：
复数
3.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示
4.复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
5.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系
对于复数：当且仅当时，复数是实数；
当时，复数叫做虚数；
当且时，叫做纯虚数；
当且仅当时，就是实数
6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么，
二、复数的几何意义
1.复平面、实轴、虚轴：
定义：复数与有序实数对是一一对应关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
2.几何意义：对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复数复平面内的点
这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
三、复数的四则运算
1.复数与的和的定义：
2.复数与的差的定义：
3.复数的加法运算满足交换律:
4.复数的加法运算满足结合律:
5.乘法运算规则：
设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的积
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足的复数(、)叫复数除以复数的商，记为：或者
8.除法运算规则：设复数 (、)，除以 (，)，其商为（、)，即∵
∴
由复数相等定义可知解这个方程组，得
于是有:
利用
于是将的分母有理化得：
原式
．
∴(
9. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
典型例题
【例1】、已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），则= ．
【例2】、已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a b的范围是 ．
【例3】、如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|=6，那么|z+1+i|的最小值是
【例4】、已知复数z满足|z+1+i|=1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为 ．
【例5】、设复平面上点Z1，Z2，…，Zn，…分别对应复数z1，z2，…，zn，…；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知，且（cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求|+…．
【例6】、实数k为何值时，复数z=（k2﹣3k﹣4）+（k2﹣5k﹣6）i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0．
【例7】、已知复数z1=m+（1﹣m2） i（m∈R），z2=cosθ+（λ+2sinθ） i（λ，θ∈R）．
（1）当m=3时，求z1的虚部；
（2）若z1=z2，求λ的取值范围．
【例8】、已知复数z满足，z2的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．
【例9】、已知m∈R复数z=（2+i）m2﹣m（1﹣i）﹣（1+2i）（其中i为虚数单位）．
（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．
【例10】、（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．
（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．
【例11】、设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，试求实数m取何值时，
（1）z是纯虚数；
（2）z是实数；
（3）z =0；
（4）z对应的点位于复平面的第二象限．
【例12】、设 z+1为关于 x 的方程 x2+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．
（1）当 z=﹣1+i 时，求 m、n 的值；
（2）若 n=1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q，试求|PQ|的取值范围．
【例13】、已知m∈R，复数．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）当m为何值时，z对应的点在直线x+y+3=0上？
