第2课时 两个基本计数原理(2)
一、单选题
1. 从1, 2, 3, 4这四个数字中选取3个数字可以组成的三位数的个数为( )
A. 12 B. 24
C. 30 D. 64
2. 将3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每个盒子至多放1个球，不同的放法共有( )
A. 60种 B. 125种
C. 243种 D. 120种
3. 若椭圆＋＝1(m>0, n>0)的焦点在y轴上，其中m∈{1, 2, 3, 4, 5}, n∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则满足上述条件的椭圆有( )
A. 20个 B. 24个
C. 12个 D. 21个
4. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法有( )
A. 120种 B. 20种
C. 72种 D. 12种
5. 我们把各个数位上的数字之和为6的四位数称为“六合数”，如2022是“六合数”，则千位数字是2的“六合数”共有( )
A. 18个 B. 15个
C. 12个 D. 9个
6. 中国有十二生肖，又叫十二属相．每个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖吉祥物各一个，三名同学依次选一个作为礼物，其中甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗、羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让这三名同学都选取到满意的礼物，那么不同的选法共有( )
A. 30种 B. 50种
C. 60种 D. 90种
7. 如图所示的几何体是由正三棱锥P ABC与正三棱柱ABC A1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色给这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均染不同的颜色，则不同的染色方案共有( )
A. 6种 B. 9种
C. 12种 D. 36种
8. 同寝室4个人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则不同的拿法有( )
A. 8种 B. 9种
C. 10种 D. 11种
二、多选题
9. (多选)已知集合M＝{－3, －2, －1, 0, 1, 2}, P(a, b)(a, b ∈M)表示平面上的点，则下列说法中正确的是( )
A. P可表示平面上36个不同的点 B. P可表示平面上6个第二象限的点
C. P可表示30个不在直线y＝x上的点 D. P可表示10个在坐标轴上的点
三、填空题
10. 从{0, 1, 2, 3, 5, 7, 11}中任取3个元素，分别作为直线Ax＋By＋C＝0中的A, B, C，那么经过坐标原点的直线有________条．
11. 用0～9这十个数字可以组成________个三位数，________个无重复数字的三位数．
四、解答题
12. 某体育彩票规定：从01～36中选取7个号组成1注，每注2元．某人想从01～10中选3个连续的号，从11～20中选2个连续的号，从21～30中选1个号，从31～36中选1个号，组成1注．问：此人想把这种特殊要求的号买全，至少要花多少钱？
13. 用n种不同的颜色为下面2块广告牌着色，要求在①②③④这四个区域中相邻(有公共边界)的区域着不同的颜色．
(1) 若n＝6，则为图1着色共有多少种不同的方法？
(2) 若为图2着色共有120种不同的方法，求n的值．
图1 图2第2课时 两个基本计数原理(2)
一、单选题
1. 从1, 2, 3, 4这四个数字中选取3个数字可以组成的三位数的个数为( )
A. 12 B. 24
C. 30 D. 64
1. D 提示 4×4×4＝64
2. 将3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每个盒子至多放1个球，不同的放法共有( )
A. 60种 B. 125种
C. 243种 D. 120种
2. A 提示 5×4×3＝60
3. 若椭圆＋＝1(m>0, n>0)的焦点在y轴上，其中m∈{1, 2, 3, 4, 5}, n∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则满足上述条件的椭圆有( )
A. 20个 B. 24个
C. 12个 D. 21个
3. A 提示 若要＋＝1的焦点在y轴上，则n＞m.当n＝7时，5个；当n＝6时，5个；当n＝5时，4个；当n＝4时，3个；当n＝3时，2个；当n＝2时，1个；当n＝1时，0个．所以共有5＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝20个
4. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法有( )
A. 120种 B. 20种
C. 72种 D. 12种
4. D 提示 由题意知3个面中有2个面是一组对面，共3种选法，另一个面是剩余4个面中的一个，故共有3×4＝12种不同的选法
5. 我们把各个数位上的数字之和为6的四位数称为“六合数”，如2022是“六合数”，则千位数字是2的“六合数”共有( )
A. 18个 B. 15个
C. 12个 D. 9个
5. B 提示 依题意知千位数字为2的“六合数”的百位上、十位上、个位上的数字之和为4.由4, 0, 0可组成3个数：400, 004, 040；由3, 1, 0可组成6个数：310, 301, 013, 031, 103, 130；由2, 2, 0可组成3个数：220, 202, 022；由2, 1, 1可组成3个数：211, 121, 112.所以满足题意的“六合数”共有3＋6＋3＋3＝15个
6. 中国有十二生肖，又叫十二属相．每个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖吉祥物各一个，三名同学依次选一个作为礼物，其中甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗、羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让这三名同学都选取到满意的礼物，那么不同的选法共有( )
A. 30种 B. 50种
C. 60种 D. 90种
6. B 提示 分两类：①甲同学选择牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，故不同的选法有2×10＝20种．②甲同学选择马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，故不同的选法有3×10＝30种．所以共有30＋20＝50种不同的选法
7. 如图所示的几何体是由正三棱锥P ABC与正三棱柱ABC A1B1C1组合而成的，现用3种不同的颜色给这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不染色)，要求相邻的面均染不同的颜色，则不同的染色方案共有( )
A. 6种 B. 9种
C. 12种 D. 36种
7. C 提示 先染三棱锥的3个侧面，然后染三棱柱的3个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的染法
8. 同寝室4个人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则不同的拿法有( )
A. 8种 B. 9种
C. 10种 D. 11种
8. B 提示 如果甲先拿，有3种拿法，此时被甲拿走的那张贺年卡的主人也有3种拿法，剩下2个人各只有1种拿法，由分步计数原理知有3×3×1×1＝9种不同的拿法二、多选题
二、多选题
9. (多选)已知集合M＝{－3, －2, －1, 0, 1, 2}, P(a, b)(a, b ∈M)表示平面上的点，则下列说法中正确的是( )
A. P可表示平面上36个不同的点 B. P可表示平面上6个第二象限的点
C. P可表示30个不在直线y＝x上的点 D. P可表示10个在坐标轴上的点
9. ABC 提示 P可表示11个在坐标轴上的点
三、填空题
10. 从{0, 1, 2, 3, 5, 7, 11}中任取3个元素，分别作为直线Ax＋By＋C＝0中的A, B, C，那么经过坐标原点的直线有________条．
10. 30 提示 由题意知C＝0, A, B从1, 2, 3, 5, 7, 11中选2个，共有6×5＝30种不同的选法
11. 用0～9这十个数字可以组成________个三位数，________个无重复数字的三位数．
11. 900 648 提示 由分步计数原理知，可以组成9×10×10个三位数，可以组成9×9×8个无重复数字的三位数
四、解答题
12. 某体育彩票规定：从01～36中选取7个号组成1注，每注2元．某人想从01～10中选3个连续的号，从11～20中选2个连续的号，从21～30中选1个号，从31～36中选1个号，组成1注．问：此人想把这种特殊要求的号买全，至少要花多少钱？
12.第一步，从01～10中选3个连续的号有8种不同的选法；第二步，从11～20中选2个连续的号有9种不同的选法；第三步，从21～30中选1个号有10种不同的选法；第四步，从31～36中选1个号有6种不同的选法．故共可组成8×9×10×6＝4320注，所以需要花费2×4320＝8640元
13. 用n种不同的颜色为下面2块广告牌着色，要求在①②③④这四个区域中相邻(有公共边界)的区域着不同的颜色．
(1) 若n＝6，则为图1着色共有多少种不同的方法？
(2) 若为图2着色共有120种不同的方法，求n的值．
图1 图2
13. (1)由分步计数原理知共有6×5×4×4＝480种不同的方法 (2)与第(1)问的区别在于与④相邻的区域由2块变成了3块．同样利用分步计数原理得n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，所以(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120，即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－12×10＝0，所以n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)，解得n＝5或n＝－2(舍去)，故n＝5
