6.1.2向量的加法同步质量检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.2向量的加法同步质量检测（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 738.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-02-19 06:02:07 | ||
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文档简介
人教B版必修二第六章平面向量初步——6.1.2向量的加法同步质量检测
书中自有黄金屋，书中自有颜如玉，加油同学们～
一、单选题
1．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
5．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（ ）
A．向东南走 B．向东北走
C．向东南走 D．向东北走
6．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝
二、多选题
7．如图所示，在中，是的中点，下列关于向量表示不正确的是
A． B．
C． D．
8．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，，点，为边上两个动点，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．当取得最大值时，点与点重合
三、填空题
11．已知正方形ABCD的边长为1，则______．
12．若向量与共线，且，则______．
13．在四边形中，，则四边形的形状是__________.
14．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________.
四、解答题
15．化简（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
16．已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
17．如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.
18．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
19．如图，网格小正方形的边长均为1，求.
20．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
21．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗
22．若向量，满足，，求的最大值及最小值.
参考答案：
1．B
【解析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
2．C
【分析】根据平行四边形中的对边平行且相等结合向量的概念求解.
【详解】，，所以A正确；
，所以B正确；
所以C错误；
，，，所以D正确.
故选：C
3．C
【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果.
【详解】解：、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，即，
综上所述，.
故选：C.
4．A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以，，，，都等于，
故选：A
5．B
【分析】由向量的加法进行求解.
【详解】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，
再向北走3km，即向东北走.
故选：B.
6．D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】＋＋＝＋，A正确；
＋＋＝＋＋＝，B正确；
＋＋＝＋＝＋＝，C正确；
＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，
故选：D．
7．BC
【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的平行四边形法则便可判每个选项的正误.
【详解】对于A，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以A正确；
对于B，由三角形法则得， ，所以B不正确；
对于C，，所以C 不正确；
对于D，因为是的中点，所以，所以D正确，
故选：BC
【点睛】此题考查向量加法、减法、数乘的几何意义，相等向量、向量加法的平行四边形法则，属于基础题.
8．CD
【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
9．ACD
【解析】根据三角形的中位线的性质和向量的加法三角形法则和平行四边形法则，可得选项.
【详解】由加法的三角形法则可得，，，
由三角形的中位线性质得，四边形ADEF是平行四边形，，，
故选：ACD．
【点睛】本题考查向量的加法的三角形法则和平行四边形法则的运用，关键在于由三角形的中位线的性质得出向量的共线关系，属于基础题.
10．BC
【分析】取的中点，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得，求出的最小值，即可得答案，当点与点重合时，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案
【详解】取的中点，则，，则，易知的最小值为点到的距离，即的最小值为，即的最小值为，故B选项正确，A错误；
当点与点重合时，取得最大值，即，故的最大值为，故C选项正确，D错误.
故选：BC
11．
【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
【详解】解：解：如图所示：
，，
．
故答案为：．
12．0或2
【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求
【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，
当与相等时，，
当与互为相反向量时，．
故答案为：0或2．
13．梯形
【分析】根据题中条件，得到，进而可得出结果.
【详解】∵，
∴，且.
∴四边形是梯形.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算以及向量的共线定理的应用，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.
14．
【分析】利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解
【详解】因为D是边BC的中点，
所以
所以
故答案为：
15．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（3）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（4）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（5）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量加法运算法则，代入即可.
（2）根据向量的数乘定义可知，且，从而可证出为梯形.
（1）
．
（2）
因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，且，
所以在四边形中，，且，
所以四边形为梯形．
17．小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.
【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出.
【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，
所以就是小船在静水中的速度.
在中，，，
，
，
∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题.
18．证明见解析
【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】由题意知，，，
由题意可知，．
．
19．.
【分析】根据向量加法的三角形法则即可得出结果.
【详解】解：如图，作，，，则根据向量加法的三角形法则可得，即.
20．①；② ；③
【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.
21．两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
【分析】由向量加法可知，根据长度和角度关系可求得，，由此可确定位移的方向和大小.
【详解】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知：，
可表示两次位移的和位移.
由题意知，在中，，则，，
在等腰中，，，
，，
两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
22．最大值是18，最小值是6.
【分析】根据向量的三角不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.
书中自有黄金屋，书中自有颜如玉，加油同学们～
一、单选题
1．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
（1）若，则；（2）若，则
（3）若，则（4）若，则或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
5．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（ ）
A．向东南走 B．向东北走
C．向东南走 D．向东北走
6．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝
二、多选题
7．如图所示，在中，是的中点，下列关于向量表示不正确的是
A． B．
C． D．
8．在中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，，点，为边上两个动点，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．当取得最大值时，点与点重合
三、填空题
11．已知正方形ABCD的边长为1，则______．
12．若向量与共线，且，则______．
13．在四边形中，，则四边形的形状是__________.
14．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________.
四、解答题
15．化简（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
16．已知，为两个不共线的向量，若四边形满足，，．
(1)将用表示；
(2)证明：四边形为梯形．
17．如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.
18．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
19．如图，网格小正方形的边长均为1，求.
20．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
21．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗
22．若向量，满足，，求的最大值及最小值.
参考答案：
1．B
【解析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】已知非零平面向量，，，
（1）若，则，所以或，即（1）错；
（2）若，则与同向，所以，即（2）正确；
（3）若，则，所以，则；即（3）正确；
（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
2．C
【分析】根据平行四边形中的对边平行且相等结合向量的概念求解.
【详解】，，所以A正确；
，所以B正确；
所以C错误；
，，，所以D正确.
故选：C
3．C
【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果.
【详解】解：、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，即，
综上所述，.
故选：C.
4．A
【分析】根据向量的加法运算律判断
【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以，，，，都等于，
故选：A
5．B
【分析】由向量的加法进行求解.
【详解】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，
再向北走3km，即向东北走.
故选：B.
6．D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】＋＋＝＋，A正确；
＋＋＝＋＋＝，B正确；
＋＋＝＋＝＋＝，C正确；
＋＋＝＋0＝＝≠，D错误，
故选：D．
7．BC
【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的平行四边形法则便可判每个选项的正误.
【详解】对于A，因为是的中点，所以，
因为，所以，所以A正确；
对于B，由三角形法则得， ，所以B不正确；
对于C，，所以C 不正确；
对于D，因为是的中点，所以，所以D正确，
故选：BC
【点睛】此题考查向量加法、减法、数乘的几何意义，相等向量、向量加法的平行四边形法则，属于基础题.
8．CD
【分析】根据向量的加法运算、相反向量、中线的向量表示，重心的性质分别计算求解.
【详解】由D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为的重心，
因为，故A错误；
由, 故B错误；
因为, 故C正确；
因为
, 故D正确.
故选：CD
9．ACD
【解析】根据三角形的中位线的性质和向量的加法三角形法则和平行四边形法则，可得选项.
【详解】由加法的三角形法则可得，，，
由三角形的中位线性质得，四边形ADEF是平行四边形，，，
故选：ACD．
【点睛】本题考查向量的加法的三角形法则和平行四边形法则的运用，关键在于由三角形的中位线的性质得出向量的共线关系，属于基础题.
10．BC
【分析】取的中点，利用向量的加法法则和数量积的运算律可得，求出的最小值，即可得答案，当点与点重合时，取得最大值，然后利用余弦定理可得答案
【详解】取的中点，则，，则，易知的最小值为点到的距离，即的最小值为，即的最小值为，故B选项正确，A错误；
当点与点重合时，取得最大值，即，故的最大值为，故C选项正确，D错误.
故选：BC
11．
【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
【详解】解：解：如图所示：
，，
．
故答案为：．
12．0或2
【分析】由题可知与相等或互为相反向量，据此即可求
【详解】向量与共线，且，∴与相等或互为相反向量，
当与相等时，，
当与互为相反向量时，．
故答案为：0或2．
13．梯形
【分析】根据题中条件，得到，进而可得出结果.
【详解】∵，
∴，且.
∴四边形是梯形.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算以及向量的共线定理的应用，熟记向量的共线定理即可，属于常考题型.
14．
【分析】利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解
【详解】因为D是边BC的中点，
所以
所以
故答案为：
15．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（3）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（4）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果；
（5）利用平面向量加法的三角形法则化简可得结果.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据向量加法运算法则，代入即可.
（2）根据向量的数乘定义可知，且，从而可证出为梯形.
（1）
．
（2）
因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，且，
所以在四边形中，，且，
所以四边形为梯形．
17．小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.
【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出.
【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，
所以就是小船在静水中的速度.
在中，，，
，
，
∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为，其中，.
【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题.
18．证明见解析
【分析】利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】由题意知，，，
由题意可知，．
．
19．.
【分析】根据向量加法的三角形法则即可得出结果.
【详解】解：如图，作，，，则根据向量加法的三角形法则可得，即.
20．①；② ；③
【解析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.
【详解】①＋＝+＝；
②＋＋＝＋＋＝；
③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.
【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.
21．两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
【分析】由向量加法可知，根据长度和角度关系可求得，，由此可确定位移的方向和大小.
【详解】用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知：，
可表示两次位移的和位移.
由题意知，在中，，则，，
在等腰中，，，
，，
两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
22．最大值是18，最小值是6.
【分析】根据向量的三角不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.