6.1-6.2平面向量的基本概念与线性运算 同步训练（含解析）

平面向量的基本概念与线性运算
一、选择题（共12小题）
1. 如图，在平行四边形 中， 是对角线的交点，下列结论正确的是
A. ， B.
C. D.
2. 下列说法正确的是
A. 向量 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B. 长度相等的向量叫做相等向量
C. 零向量长度等于
D. 共线向量是在一条直线上的向量
3. 已知向量 ，，则
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是
A. 向量可以比较大小
B. 坐标平面上的 轴和 轴都是向量
C. 向量就是有向线段
D. 体积、面积和时间都不是向量
5. 已知 是边长为 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为
A. B. C. D.
6. 有下列命题：①两个相等的向量，它们的起点相同，终点也相同；②若 ，则 ；③若 ，则四边形 是平行四边形；④若 ，，则 ；⑤若 ，，则 ；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为
A. B. C. D.
7. 如图，正方形 中， 是 的中点，若 ，则
A. B. C. D.
8. 下列命题中，是假命题的是
A.
B. 是为实数，若 ，则 或
C. 若 与 垂直， 与 垂直，则 与 垂直
D. ，若 ，则
9. 设 是 的内心，，．若 ，则
A. B. C. D.
10. 已知 ，点 在 的延长线上，且 ，则 点的坐标为
A. B. C. D.
11. 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ．若平面向量 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合 中，则
A. B. C. D.
12. 设平面向量 的和 ，如果平面向量 满足 ，且 顺时针旋转 后与 同向，其中 ，则
A. B.
C. D.
二、填空题（共5小题）
13. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ， 都是单位向量，则 ；③向量 与 相等．其中所有正确命题的序号是 ．
14. 若点 ，， 且 ，则点 的坐标为 ．
15. 如图， 是正三角形 的中心；四边形 和 均为平行四边形，则与向量 相等的向量有 ；与向量 共线的向量有 ；与向量 的模相等的向量有 ．（填图中所画出的向量）
16. 已知 ，，，点 在 内，且 ，设 ，则 等于 ．
17. 有下列命题：
① 在第一象限是减函数；
②若 ，则 ；
③若定义在 上的函数 满足 ，则 是周期函数；
④ ，， 是非零向量，若 ，，则 ；
⑤若存在实数 ，，使得 ，则 与 共线．其中正确命题的序号为 ．
三、解答题（共5小题）
18. 如图所示，在 中，已知向量 ，．求证 ．
19. 求证：任意四边形 中， 分别为 的中点，求证：．
20. 如图，已知函数 的图象 与直线 平行，， 是 上的点．
（1）当 ， 为何值时，
（2）当 ， 为何值时， 为单位向量
21. 设 为 三边上的点，且 ，，，若 ，，试用 将 表示出来．
22. 已知向量 ，，．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值．
答案
第一部分
1. C
2. C 【解析】向量 包含 所在的直线与 所在的直线平行和重合两种情况，故A错；
相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；
按定义零向量长度等于 ，故C正确；
共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．
3. C
4. D 【解析】向量既有大小，又有方向，不能比较大小，A错误；
坐标轴只有方向，没有大小，B错误；
从向量与有向线段的定义知，它们是有区别的，C错误；
体积、面积、时间都只有大小，没有方向，D正确．
5. B
【解析】方法一：如图，
设 ，，则 ，，，，
所以
方法二：建立如图所示的直角坐标系，
则 ，，，．
设 ，则 ，．
因为 ，
所以 ．
所以 ，，
所以 ．
6. D 【解析】①相等的向量是指长度相等、方向相同，与起点位置无关，错；②长度相等的两个向量，方向未必相同，错；③ 与 不一定相等，错；⑤ 与任意向量都共线，若 ，则 与 不一定共线，错；⑥向量是用有向线段表示的，但不是有向线段．故只有④正确．
7. B 【解析】，，；
所以
所以由平面向量基本定理得
解得 ， ，
所以 ．
8. C
9. A
10. A
11. C 【解析】因为 ，，
所以 ．
又因为 ，所以 ，．
又 和 都在集合 中，所以有 ．
而 ，所以 ，
从而 ，．
12. D 【解析】 ， ．将 分别按顺时针方向旋转 后与 重合，故 ．
第二部分
13. ①
【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，所以两个单位向量不一定相等，故②错误；向量 与 互为相反向量，故③错误．
14.
15. ，， ，，，，
【解析】因为 是正三角形 的中心，
所以 ，
所以结合相等向量及共线向量定义可知：
与 相等的向量有 ；
与 共线的向量有 ，；
与 的模相等的向量有 ，，，，．
16.
【解析】法一：如图所示，，
设 ，则 ．
，
．
法二：如图所示，建立直角坐标系．
则 ，
．
．
17. ②③④
【解析】① 在 上是减函数，但在第一象限不是减函数，例如 ，，显然 时，，①不正确；
②因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，，
所以 ，，
所以 ，
所以②正确；
③ ，
所以 是 的周期，③正确；
④因为 ，，
所以存在非零实数 ， 有 ，，
所以 ，
所以 ，④正确；
⑤若 ，则必有 ，而 与 可以不共线，⑤不正确．
第三部分
18. 连接 ，
因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
又 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
19. 因为 ，，
所以 ．
因为 分别为 的中点，所以 ，，
所以 ，所以 ，．
所以命题成立．
20. （1） 要使 ，当且仅当 与 重合，
于是 ，．
（2） 要使 为单位向量，只需 ．
由已知，，，，
得
解得 或
所以当 ， 或 ， 时，向量 是单位向量．
21. ，．
．
22. （1） 因为 ，则 ，
即 ．
所以 ，因为 ，
所以 ．
（2） ．
所以当 时， 取最大值，
即当 时， 取最大值 ．