5.1导数的概念及其意义专项练习
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，函数的图象在点处的切线是l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
4．一质点沿直线运动，如果由起始点经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为0的时刻是（ ）
A．1秒末 B．2秒末 C．4秒末 D．2秒末或4秒末
5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24 B．32 C．64 D．86
7．已知不等式，对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
9．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________．
12．函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是______．
13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
14．已知函数为上的奇函数，若当，，则函数在处的切线方程为______.
四、解答题
15．已知拋物线上一点，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
16．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
17．已知函数．
（1）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求在[1，2]上的最大值和最小值．
18．一质点M沿x轴做直线运动，在时刻t时，质点所在的位置为s，且．
(1)求质点M在这段时间内的平均速度及在时的瞬时速度（用导数定义法求解）；
(2)当t为何值时质点M的瞬时速度的大小等于－12？5.1导数的概念及其意义专项练习解析版
一、单选题
1．函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】直接代函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【详解】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
2．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
3．如图，函数的图象在点处的切线是l，则（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由题图求得函数的图象在点P处的切线方程，再求得，，从而求得答案.
【详解】解：由题图可得函数的图象在点P处的切线与x轴交于点，与y轴交于点，则切线，
，，，
故选：D.
4．一质点沿直线运动，如果由起始点经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为0的时刻是（ ）
A．1秒末 B．2秒末 C．4秒末 D．2秒末或4秒末
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数求瞬时速度即可.
【详解】∵，
∴．
令，
解得或．
故选：D
5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，
所以，
因为
所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.
故选：D
6．若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ）
A．24 B．32 C．64 D．86
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.
【详解】∵，
∴，
∴曲线在点处的切线斜率，
∴切线方程为.
令，得；令，得.
∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
∴.
故选：C
7．已知不等式，对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将不等式转化为恒成立，令，求导判断单调性，并求解最小值，转化为，令，求导判断单调性，再结合，即可求解出答案.
【详解】由题意，时，恒成立，
设，则，
因为时，，所以，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，由题意，只需，
设，则，
当时，，所以函数单调递增，而，
显然，当时，成立.
故选：B
【点睛】在求解有关与的组合函数综合题时要把握三点：
灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；
把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；
函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值.
二、多选题
8．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【答案】CD
【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，故C正确．同理D正确．
故选：CD
9．（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】对于A，，A满足；
对于B，，B不满足；
对于C，，C满足；
对于D，，D不满足.
故选：AC
10．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据导数的几何意义可对比切线斜率得到，将看作过和的割线的斜率，由图象可得斜率的大小关系，进而得到结果.
【详解】由图象可知，在x=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，
，
，
可看作过和的割线的斜率，
由图象可知，
，
故选：AB
三、填空题
11．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x在区间[t，1]上的平均变化率为2，则t＝________．
【答案】－2
【分析】由已知结合平均变化率即可求解．
【详解】因为＝f（1）－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，所以
又因为，所以t＝－2．
故答案为：－2
12．函数在上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是______．
【答案】##
【分析】根据导数的定义分别求出从到和从到的平均变化率，利用作差法比较的大小即可.
【详解】∵函数
从到的改变量为，
∴．
∵函数
从到的改变量为，
∴．∵，而，∴．
13．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.
【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.
14．已知函数为上的奇函数，若当，，则函数在处的切线方程为______.
【答案】
【分析】先根据奇偶性得当时，，再根据导数的几何意义求解即可得答案.
【详解】解：因为是奇函数，
所以当时，，
所以，
所以处的切线斜率.
因为时，
所以在处的切线的方程是，即.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，由奇偶性求函数解析式，考查运算能力，是中档题.
四、解答题
15．已知拋物线上一点，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
【答案】(1)0
(2)
【分析】求出函数的导数代入该点坐标即可求出斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即可得该点切线方程.
【详解】（1）
将点的代入，
所以点P处的切线的斜率为0；
（2）由（1）可知，点P处的切线的斜率，
根据直线的点斜式方程，点P处的切线为，得.
16．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导，根据两曲先都经过点，且在点P处有公切线求解；
（2）由（1）得到公切线方程，分别令，，再利用面积公式求解.
（1）
解：两函数和的导数分别为：
和，
由题意，
解得；
（2）
由（1）知公切线方程为，
即，
令得，令得，
所以所求面积为；
17．已知函数．
（1）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求在[1，2]上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，
（2）利用二次函数的性质求其最值
【详解】（1）由，得，
所以切线的斜率为，
因为，
所以所求切线方程为，即，
（2）因为的对称轴为，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
当或时，取得最大值
18．一质点M沿x轴做直线运动，在时刻t时，质点所在的位置为s，且．
(1)求质点M在这段时间内的平均速度及在时的瞬时速度（用导数定义法求解）；
(2)当t为何值时质点M的瞬时速度的大小等于－12？
【答案】(1)平均速度，瞬时速度－6．
(2)当时质点M的瞬时速度的大小等于－12
【分析】（1）先求平均速度，再按照导数的定义求解瞬时速度即可；
（2）直接求导，令导数等于－12解出t即可.
(1)
∵，∴，
∴质点M在这段时间内的平均速度．
质点M在时的瞬时速度．
(2)
质点M在t时刻的瞬时速度，
∴，∴．∴当时质点M的瞬时速度的大小等于－12．
