5.2导数的运算强化训练（答案）
一、选择题
1、下列求导运算正确的是( D )
A．′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcos x)′＝－sin x D．′＝1＋
2、设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( B )
A．e2 B．e
C． D．ln 2
3、下列结论中正确的是( B )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
4、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则( B )
A．f(0)C．f(0)>f(4) D．以上都不对
5、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．8
6、已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为( B )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0
7、函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
8、曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为( B )
A．(1，3) B．(1，3)或(－1，3)
C．(－1，－3) D．(－1，－3)或(1，－3)
9、设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
10、已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( A )
A． B．
C． D．
11、若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( C )
A．－1 B．1
C．2 D．e
12、已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( C )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝___－cos x_____．
14、设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝___－_____．
15、曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为_____y＝5x＋2_______．
16、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为___y＝2x_____．
17、已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
18、已知函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28…为自然对数的底数)的图象恒过定点A．
(1)则点A的坐标为___(0，1)_____；
(2)若f(x)在点A处的切线方程y＝2x＋1，则a＝___－1_____．
19、若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是__(－ln 2，2)______．
20、若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝___1－ln 2_____．
21、已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝ax2－x－(a>0)，若直线y＝2x－b与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象均相切，则a的值为________．
22、曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
23、已知过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是__(－∞，－4)∪(0，＋∞)______．
三、解答题
25、已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；
当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－.
因为直线l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
26、已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；
(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知
解得－1≤k<0或k≥1，
则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，
解得x∈(－∞，2－ ]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)．
27、已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)f′(x)＝1＋，
设切点为(x0，y0)，
则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，
因为切线过点(0，－3)，
所以－3－＝·(－x0)，
解得x0＝2，
所以y0＝，
所以所求切线方程为y－＝(x－2)，
即y＝x－3.
(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝(x－m)，
即y－＝(x－m)，
令x＝0，得y＝－，从而切线与直线x＝0的交点为，
令y＝x，得y＝x＝2m，
从而切线与直线y＝x的交点为(2m，2m)，
所以点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝··|2m|＝6，为定值．5.2导数的运算强化训练
一、选择题
1、下列求导运算正确的是( )
A．′＝x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(xcos x)′＝－sin x D．′＝1＋
2、设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( )
A．e2 B．e
C． D．ln 2
3、下列结论中正确的是( )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
4、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则( )
A．f(0)C．f(0)>f(4) D．以上都不对
5、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
6、已知函数f(x)＝(2x－a)ex，且f′(1)＝3e，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0
7、函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
8、曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A．(1，3) B．(1，3)或(－1，3)
C．(－1，－3) D．(－1，－3)或(1，－3)
9、设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
10、已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11、若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．e
12、已知P是曲线y＝－sin x(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、已知f(x)＝sin ，则f′(x)＝________．
14、设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________．
15、曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为____________．
16、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
17、已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
18、已知函数f(x)＝ex－ax(e＝2.718 28…为自然对数的底数)的图象恒过定点A．
则点A的坐标为________；若f(x)在点A处的切线方程y＝2x＋1，则a＝________．
19、若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
20、若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
21、已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝ax2－x－(a>0)，若直线y＝2x－b与函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象均相切，则a的值为_______．
22、曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_______．
23、已知过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
25、已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
26、已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．
(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围；
(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
27、已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
