学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数在函数中的应用（一）-单调性
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(
知识梳理
) 一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性． 已知函数的图象如左图所示， 由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数．现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况： 考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到： 在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数． 在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数． 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， （1）若，则在这个区间上为增函数； （2）若，则在这个区间上为减函数； （3）若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件． 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增． ③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数在区间（，）内可导， （1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数． 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 要点诠释： 求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． (
典例分析
) 考点一：利用导数判断不含参函数的单调性 例1、求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 例2、求函数的单调区间． 例3、当时，求证：函数是单调递减函数． 考点二：利用导数判断含参函数的单调性 例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 例2、判断函数（a＞0）的单调性． 例3、已知函数, 讨论函数的单调性． 例4、已知函数f()=－+(－1)，()， 讨论函数的单调性． 考点三：利用导数求参数的取值范围 例1、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【总结升华】 （1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间； （2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法． 例2、已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围． 例3、已知函数，若在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 例4、已知函数R, ． 求函数的单调区间；
P(Practice-Oriented)——实战演练
(
实战演练
) 课堂狙击 1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( ) A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞) 2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( ) A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤ 3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( ) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“函数在上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（ ） A． B． C． D． 7．函数图象如图，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 8．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（ ） A． B． C． D． 9．若函数在内是减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． （1）求a、b的值； （2）讨论函数f(x)的单调性． 课后反击 1．若，，则有（ ） A． B． C． D． 2．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 4．函数的图象可能是（ ） A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 5．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ） A． B． C． D． 6．若函数在单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数为其导数,且恒成立，则（ ） A． B． C． D． 8．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9.已知函数，讨论的单调性. (
直击高考
) 1．【全国Ⅰ卷】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （1）讨论f（x）的单调性； 2．【天津】已知函数 （I）求的单调区间; 3．【大纲理】函数． （I）讨论的单调性；
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(
重点回顾
) 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件． 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增． 1、当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 2、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 3、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． (
学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数在函数中的应用（一）-单调性
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
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知识梳理
) 一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性． 已知函数的图象如左图所示， 由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数．现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况： 考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到： 在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数． 在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数． 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上， （1）若，则在这个区间上为增函数； （2）若，则在这个区间上为减函数； （3）若恒有，则在这一区间上为常函数． 反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）． 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件． 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增． ③当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法： 设函数在区间（，）内可导， （1）如果恒有，则函数在（，）内为增函数； （2）如果恒有，则函数在（，）内为减函数； （3）如果恒有，则函数在（，）内为常数函数． 利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）在函数的定义域内解不等式或； （4）确定的单调区间． 或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号． 要点诠释： 求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． (
典例分析
) 考点一：利用导数判断不含参函数的单调性 例1、求下列函数的单调区间： （1）； （2）． 【解析】（1）第一步：确定函数的定义域： 的定义域是； 第二步：求导：； 第三步： 方法一：解不等式，确定单调增区间： 令，即令，解得x＞1或； 所以，当x＞1或，是增函数． 方法二：列表：令，解得x=1或． 定义域被1和分成三个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下表所示： （∞，）（，1）1（1，+∞）+00+↗略↘略↗
第四步：确定函数的单调区间： 因此，该函数的单调递增区间为（1，+）和，单调递减区间为． （2）第一步：确定函数的定义域： 该函数的定义域为（0，+∞）； 第二步：求导：， 第三步：方法一：解不等式，确定单调增区间： 令，同解于不等式，解得， 所以，当时，是增函数． 方法二：列表：令，解得或（舍去）； 定义域（0，+）被1分成两个子区间，在各个区间内，、的变化情况如下： （0，）（，+）0+↘略↗
第四步：确定函数的单调区间： 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为． 例2、求函数的单调区间． 【解析】令． 解得或，∵0≤≤2π，解得，，． 则区间[0，2π]被分成三个子区间，、的变化状态如下表所示： π+0－0－0+……
所以该函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 例3、当时，求证：函数是单调递减函数． 【解析】 ，， ∴ 故函数在上是单调递减函数． 考点二：利用导数判断含参函数的单调性 例1、已知函数，求导函数，并确定的单调区间． 【解析】的定义域为， ， 令，得． 同解于． 当，即，不等式的解为； 当，即，不等式的解为空集； 当，即，不等式的解为． 综上，当时，的单调增区间为，单调减区间为． 当时，的单调减区间为，无增区间． 当时，的单调增区间为，单调减区间为． 例2、判断函数（a＞0）的单调性． 【解析】由于 令，即时, 恒成立． 在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数． 当,即时 由得或 或或 又由得 综上 当时, 在上都是增函数， 当时, 在上是减函数， 在上都是增函数． 例3、已知函数, 讨论函数的单调性． 【解析】由题设知．令． （i）当>0时， 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； （ii）当＜0时， 若，则，所以在区间上是减函数； 若，则，所以在区间上是增函数； 若，则，所以在区间上是减函数． 例4、已知函数f()=－+(－1)，()， 讨论函数的单调性． 【解析】的定义域为， （1）若即, 则 故在单调递增； （2）若,而,故,则当时，； 当及时， 故在单调递减，在单调递增． （3）若，即，同理可得在单调递减，在单调递增． 考点三：利用导数求参数的取值范围 例1、已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【解析】， 在区间上是增函数， 对恒成立， 即对恒成立， 的图象是开口向上的抛物线，欲满足题意，则， 解之得： 所以实数的取值范围为． 【总结升华】 （1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间； （2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法． 例2、已知函数，，若在上是增函数，求的取值范围． 【解析】由已知得， ∵在（0，1]上单调递增， ∴，即在∈（0，1]上恒成立, 令，又在（0，1]上单调递增， ∴，∴＞－1． 当=－1时 ，对∈（0，1）也有， ∴=－1时，在（0，1]上也是增函数。 ∴综上，在（0，1]上为增函数， ∴的取值范围是[－1，+∞）． 例3、已知函数，若在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围． 【解析】 由≥0，得a≤ 记，． 当x≥1时，t(x)是增函数， ∴ t(x)min＝(1－1)＝0；∴ a≤0。 例4、已知函数R, ． 求函数的单调区间； 【解析】函数的定义域为． ∴． ① 当, 即时, 得,则． ∴函数在上单调递增． ② 当, 即时, 令 得, 解得． (ⅰ) 若, 则． ∵, ∴, ∴函数在上单调递增． (ⅱ)若,则时, ; 时, , ∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增． 综上所述, 当时, 函数的单调递增区间为; 当时, 函数的单调递减区间为, 单调递增区间为．
P(Practice-Oriented)——实战演练
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实战演练
) 课堂狙击 1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( ) A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞) C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞) 【解析】y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0， 解得x<－1或00时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( ) A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0 【解析】f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0；故选B。 4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m>，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】f ′(x)＝3x2＋4x＋m，∵f(x)在R上单调递增，∴f ′(x)≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0， ∴m≥，故p是q的必要不充分条件．故选B。 5．“”是“函数在上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若函数在上单调递增,则恒成立,即,即,则“”是“函数在上单调递增”充分不必要条件,故选A． 6．已知函数与的图象如图所示，则函数的递减区间为（ ） A． B． C． D． 【解析】，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D． 7．函数图象如图，则函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题设中函数所提供的图形信息可以看出是函数的两个极值点,即是方程的两根,所以,即,所以函数可化为因,解可得或,由于二次函数开口向上,对称轴为,故其单调递减区间为,应选答案A． 8．下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（ ） A． B． C． D． 【解析】所以函数为奇函数，且为增函数．B为偶函数，C定义域与不相同，D为非奇非偶函数，故选A． 9．若函数在内是减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】，由函数在内是减函数等价于 ，恒成立，即， 得，解得，故选B． 10．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． （1）求a、b的值； （2）讨论函数f(x)的单调性． 【解析】求导得f ′(x)＝3x2－6ax＋3b． 由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f ′(1)＝－12， 即， 解得a＝1，b＝－3． （2）由a＝1，b＝－3得 f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3) ＝3(x＋1)(x－3)． 令f ′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f ′(x)<0，解得－1直击高考
) 1．【全国Ⅰ卷】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2． （1）讨论f（x）的单调性； 【解答】（1）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2， 可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a）， ①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1， 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增； ②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增； 若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）； 由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）． 即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增； 在（1，ln（﹣2a））递减； 若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1； 由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1． 即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增； 在（ln（﹣2a），1）递减； 2．【天津】已知函数 （I）求的单调区间; 【解析】（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减．所以函数 的单调递增区间是,单调递减区间是． 3．【大纲理】函数． （I）讨论的单调性； 【解析】（I）的定义域为． （i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数． （ii）当时,成立当且仅当在上是增函数． （iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
(
重点回顾
) 要点诠释： ①导函数的正负决定了原函数的增减； ②在区间(,)内，（或）是在区间(，)内单调递增（或减）的充分不必要条件． 注意：只有当在某区间上有有限个点使时，（或）在该区间内是单调递增（或减）．例如：而在R上递增． 1、当在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数． 2、求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集； 3、求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确． (
学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是
