5.4三角函数的图象和性质专项练习解析版
一、单选题
1．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.
【详解】，，，
根据函数在的最大值为7,最小值为3，
所以，即，根据正切函数在为单调增函数，
则，在上单调减函数，
，，
则，，，，
，故选：B.
2．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
【答案】D
【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.
【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;
对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，
又，则函数为偶函数，故选项B错误;
对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，
根据图象变换作出函数草图如下：
由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;
对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.
3．函数在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由求得的最小正周期，再由的单调区间求得的单调区间，据此可解.
【详解】因为，所以，
而由选项BD中的图像可知它们的周期为，故排除BD；
因为的单调递增区间为，
由得，
所以的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
选项C中的图像不满足，排除C，而选项A中的图像满足，故A正确.故选：A.
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【详解】先证明：当0＜x＜时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以
所以，即 ，故选：C．
5．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
6．已知函数，的图象如图，若，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据图象求得函数解析式，再由，，且，
得到的图象关于对称求解.
【详解】由图象知：，
则，，
所以，
因为在函数图象上，
所以，
则，解得，
因为，则，所以，
因为，，且，
所以的图象关于对称，所以，故选：A
7．关于函数的叙述中，正确的有（ ）
①的最小正周期为；②在区间内单调递增；
③是偶函数；④的图象关于点对称．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【分析】由可判断①；令，求得函数的单调递增区间，可判断②；由，分析奇偶性可判断③；令，求出函数的对称中心，可判断④
【详解】由题意，函数
函数的最小正周期，故①错误；
令，解得，故函数在单调递增，当时，为区间，故②正确；
，令为奇函数，故③错误；
令，故，故的图象关于点对称，当时，为，故④正确故选：C
二、多选题
8．函数在区间上单调递增，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由且，可得出，根据正弦函数的单调性可得出
，其中，确定的可能取值，即可得出的取值范围.
【详解】因为且，则，
因为函数在区间上单调递增，则，其中，
所以，，其中，解得，其中，
所以，，可得，，
因为，当时，；当时，，
所以，实数的取值范围是.故选：ACD.
9．已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．对任意
【答案】ABD
【分析】对于A：利用函数的奇偶性的定义证明；
对于B、C、D：作出函数的图象，直接判断.
【详解】对于A：因为，所以是偶函数，A正确．
对于B、C、D：当时，，
当，．
画出的图象，如图所示，由图可得B，D正确，C错误．
故选：ABD
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．若，则
D．函数在区间上有且仅有1个零点
【答案】AC
【分析】直接利用函数的关系式的讨论整理出函数的解析式，进一步画出函数的图象，再利用函数的图象判断A、B、C、D的结论．
【详解】解：
．
其图象如图：
由图可知，是周期为的周期函数，故A正确；
在区间上不是单调函数，故B错误；
若，由，，
则只有，即，只能是函数的最值点的横坐标，
可得，故C正确；
函数的图象是把的图象向上平移1个单位得到的，则在区间上有且仅有2个零点，故D错误．
说法正确的是AC．故选：AC．
11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】ABC
【分析】作出函数，的图像与直线图像，数形结合求解即可.
【详解】解：作出函数，的图像与直线图像，如图，
所以，当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为0个；
当或时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为1个；
当时，，的图像与直线（为常数）的交点个数为2个；
故函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有1个，2个，3个.
故选：ABC
三、填空题
12．已知函数，若的图像在上与轴恰有两个交点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由已知确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质求解.
【详解】∵，且，∴，
又 在上恰好与轴有2个交点，
∴且，解之得.故答案为:
13．方程的解的个数为______．
【答案】无穷多个.
【分析】根据指数函数、正弦函数的图象与性质确定图象的交点个数即可得解.
【详解】方程的解的个数等价于：函数与函数交点的个数.
当时，函数的值域为，且连续单调递增，
而函数且以为周期的周期函数，且在时连续.
所以函数与函数交点的个数有无数个，
即方程的解的个数为无穷多个.故答案为：无穷多个.
14．用“五点法”作出函数，的大致图像，所取的五个点的坐标为______．
【答案】，，，，
【分析】根据“五点法”分别令、、、、求出所对应的函数值，即可得解.
【详解】解：根据“五点法”，令得，令得，
令得，令得，
令得，
所以所取的五个点的坐标分别为，，，，.
故答案为：，，，，
15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象列式可求出结果.
【详解】当时，，令，得，
若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点，
当时，，所以，即.
若，即时，在上恰有一个零点，
所以在上有且仅有4个零点，所以，即，
又，所以.
综上所述：的取值范围为. 故答案为：.
四、解答题
16．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由正弦函数性质知在上递增，即可求增区间；
（2）应用整体法求的区间，再由正弦函数性质求值域.
【详解】（1）由，
所以函数的单调增区间是.
（2）由，可得.
从而，所以.所以的值域为.
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）通过解方程，结合正切函数的性质进行求解即可.
（2）利用诱导公式，结合（1）的结论、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】（1）由，或，由；
（2）
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数图象的对称轴方程、对称中心的坐标;
(3)当时,求函数的最大、最小值及相应的x的值．
【答案】(1)
(2)对称轴;对称中心
(3)时,;时,
【分析】(1)根据和解析式即可求得最小正周期;
(2)整体将代入的对称轴、对称中心即可求得结果;
(3)换元法,令,求出的范围,即可求得的最值,根据求出最值时x的值即可.
【详解】（1）解:由题知,所以周期,故最小正周期为;
（2）令,
解得: ,
故对称轴方程为;
令,解得: ,故对称中心的坐标为;
（3）因为,令,故在时,
即,解得,,
在时,,即,解得,,
综上: 时,;时,.
19．已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)求不等式在上的解集．
【答案】(1)单调递减区间为； (2)
【分析】(1)利用周期计算出，用主题替换法结合三角函数性质求出递减区间即可；
(2) 等价于，结合给定区间求解不等式即可.
【详解】（1）由题意得．
由，得，
所以的单调递减区间为
（2）由，得，
得，得，
因为，所以，
故不等式在上的解集为．5.4三角函数的图象和性质专项练习
一、单选题
1．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（ ）
A． B． C． D．
2．下列关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数为奇函数
C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为
3．函数在一个周期内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，以为最小正周期，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，的图象如图，若，，且，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．关于函数的叙述中，正确的有（ ）
①的最小正周期为；②在区间内单调递增；
③是偶函数；④的图象关于点对称．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二、多选题
8．函数在区间上单调递增，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递减 D．对任意
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．若，则
D．函数在区间上有且仅有1个零点
11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、填空题
12．已知函数，若的图像在上与轴恰有两个交点，则的取值范围是___________.
13．方程的解的个数为______．
14．用“五点法”作出函数，的大致图像，所取的五个点的坐标为______．
15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范围为_______．
四、解答题
16．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)当时，求的值域.
17．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数图象的对称轴方程、对称中心的坐标;
(3)当时,求函数的最大、最小值及相应的x的值．
19．已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)求不等式在上的解集．
