5.5三角恒等变换专项练习解析版
一、单选题
1．若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】利用诱导公式及二倍角公式得到，再由两角和差的余弦公式得到，即可得解；
【详解】解：因为，
即
所以，
即，即，
所以，
所以，即，
因为，所以，
所以，即，所以为等腰三角形；
故选：C
2．设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可
【详解】因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
3．已知为第二象限角，且，则的值为（ ）
A．-25 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知，进而根据正切的差角公式展开求解即可.
【详解】解：因为为第二象限角，且，
所以，
所以
故选：C
4．函数的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将原式化简为的形式，再根据正弦型函数的单调区间即可求得结果.
【详解】
令，解得
所以的单调减区间为.
故选：A
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式和两角和与差的正弦公式即可求解.
【详解】
.
故选：C.
6．已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.
【详解】为锐角，，，
又，
.
故选：A.
7．已知为锐角，角的终边过点，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】利用任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系，结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】由角的终边过点，得
又因为为锐角，所以为钝角，
所以，
所以
.
故选:D.
8．的值等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解.
【详解】
故选：A.
二、多选题
9．在锐角三角形中，，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】化简已知得，故选项A正确；化简得选项B正确；对于选项CD可以假设推理分析得到两个选项错误.
【详解】解：由，得
等式两边同时除以，所以，故选项A正确；
由，得，所以，故选项B正确．
假设，由选项A得,因为是锐角三角形，所以,，与矛盾，所以选项C错误；
假设，所以，由选项A得，化简得,显然不成立，所以选项D错误.
故选：AB
10．下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据正切差角公式化简判断A；根据二倍角公式化简整理判断BCD；
【详解】解：对于A选项，，故正确；
对于B选项，，故正确；
对于C选项，，故错误；
对于D选项，，故错误.
故选：AB
11．下列说法中正确的是（ ）
A．二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角
B．存在角，使得成立
C．存在角，使得成立
D．存在角，使得成立
【答案】BCD
【分析】根据正切函数的定义可判断A；举例可判断BCD.
【详解】对于A，二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式要求且，故错误；
对于B，可举例：当时，，故正确；
对于C，可举例：当时，，故正确；
对于D，可举例：当时，，故正确．
故选：BCD.
12．下列各式中，值为的是（ ）
A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D．
【答案】CD
【分析】A、B应用二倍角正余弦公式化简求值；C、D根据同角三角函数的商数关系及平方关系、二倍角正余弦及正切公式化简求值.
【详解】A：2sin15°cos15°，不合题设；
B：2sin215°-1，不合题设；
C：，符合题设；
D：，符合题设.
故选：CD
三、填空题
13．已知，则的值是______.
【答案】
【分析】根据题意，结合诱导公式以及二倍角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以
故答案为:
14．已知为第二象限角，，则的值为______．
【答案】
【分析】先求出的值，再求出，最后利用二倍角的余弦可求的值.
【详解】因为，故或，
因为为第二象限角，故，故，且，
所以，
由为第二象限角可得，
故，所以为第一象限角或第三象限角，
故，
故答案为：
15．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】首先变形，再利用二倍角公式和同角之间的基本关系化简求值.
【详解】解：
又∵，
∴原式.
故答案为：
16．若，则＝________.
【答案】
【分析】由倍角公式、平方关系、商数关系求解即可.
【详解】
故答案为：
17．已知，且，则的值是___________.
【答案】
【分析】先由求出的值，由可得，从而由半角公式可得，而，进而可求出答案
【详解】解：因为，且，所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
四、解答题
18．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及对称轴；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)最小正周期，对称轴为，.
(2)
【分析】（1）二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：
，
即，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，，
所以函数的对称轴为，.
（2）解：因为，所以，
所以，所以，
即在上的值域为.
19．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值与最小值．
【答案】(1)，
(2)最大值，最小值-2，
【分析】（1）根据辅助角公式化简，利用整体换元法即可求解增区间，
（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.
【详解】（1）由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为，
（2）当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值.
20．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值．
(3)设为锐角，且，求的值；
【答案】(1)
(2)，；
(3)
【分析】（1）化简得，再求解最小正周期即可；
（2）由题知，进而得即可得答案；
（3）根据同角三角函数关系和余弦的和角公式求解即可.
【详解】（1）解：因为
所以，的最小正周期为
（2）解：当时，，
所以，即，
所以，
所以，当，即时，取得最小值，
当，即时，取得最大值
（3）解：因为为锐角，且，
所以，，，，
所以，
所以.
21．（1）化简:；
（2）已知，，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可；
（2）根据，可得，，结合同角三角函数的关系可得，的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，，
所以，
，
所以.5.5三角恒等变换专项练习
一、单选题
1．若在中，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．设，且，，则（ ）
A． B． C． D．或
3．已知为第二象限角，且，则的值为（ ）
A．-25 B． C． D．
4．函数的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为锐角，角的终边过点，则（ ）
A． B．或 C． D．
8．的值等于（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．在锐角三角形中，，则下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角
B．存在角，使得成立
C．存在角，使得成立
D．存在角，使得成立
12．下列各式中，值为的是（ ）
A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D．
三、填空题
13．已知，则的值是______.
14．已知为第二象限角，，则的值为______．
15．已知，则的值为______．
16．若，则＝________.
17．已知，且，则的值是___________.
四、解答题
18．已知函数．
(1)求函数的最小正周期及对称轴；
(2)当时，求函数的值域．
19．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值与最小值．
20．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值．
(3)设为锐角，且，求的值；
21．（1）化简:；
（2）已知，，，求的值.
