5.6函数专项练习解析版
一、单选题
1．要得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】利用诱导公式将变形为，从而根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】解：因为，
所以要得到的图象，只要将的图象向左平移个单位，
故选：C.
2．为了得到函数的图象，可将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】D
【分析】直接根据三角函数的平移规律计算可得.
【详解】令，
则，
为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
3．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离求出，由平移得利用单调性列出的不等式求解即可
【详解】由题意，知，∴，∴，∴，∴，由，得，即的增区间为，∴，∴，，∴．
∵，∴，
故选：B．
4．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦展开式化简得，求出的单调递减区间可判断A；求出函数在上的最小值可判断B；求出可判断C；利用图象平移规律和诱导公式可判断D.
【详解】，
由得，
所以的单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，当时，单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，所以A错误；
当时， ，，
所以函数在上的最小值为，故B错误；
因为，函数的图象不关于直线对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后，
得，故D正确.
故选：D.
5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值.
【详解】解法一：
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．故选:A．
解法二
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称．
因为，所以，
即，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．
故选：A．
6．对于函数，下列结论中，正确的是（ ）．
A．的图象是由的图象向右平移个长度单位而得到
B．的图象过点
C．的图象关于点对称，
D．的图象关于直线对称．
【答案】C
【分析】根据图像平移的表达式变化即可判断A选项；根据点代入法即可判断选项B；根据图像的对称轴公式即可判断C选项；根据图像的对称点公式即可判断D选项.
【详解】对于选项A：的图象是由的图象向右平移个长度单位而得到，
故选项A错误；
对于选项B：
当时，，
故选项B错误；
对于C选项：
令，
解得，
所以的图象关于点对称，
故选项C正确；
对于选项D：
令，
解得，
故选项D错误；
故选：C.
7．如图是函数的部分图象，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由最小正周期确定的值，然后确定的值即可.
【详解】由函数图象可知函数的最小正周期，则，
且当时，，
据此可得：，令可得.
故选：A.
8．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
【答案】A
【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论．
【详解】，
将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
故选：.
二、多选题
9．已知函数，下列关于函数f(x)说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称
D．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数f(x)的图象
【答案】BD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性、三角函数图象变换等知识确定正确答案.
【详解】的最小正周期，A选项错误.
，所以图象关于直线对称，B选项正确.
由于，，
所以图象关于点对称，C选项错误.
函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，
再向上平移1个单位长度可得到，D选项正确.
故选：BD
10．下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案.
【详解】，
对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误；
对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误．
故选：AC．
11．已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．函数的图象关于原点中心对称
D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】根据函数的图象性质可知，最小正周期为，可判断A正确；利用整体代换可得对称轴方程为，可知B错误；易知可得C错误；根据正弦函数单调性可知D正确.
【详解】对于A：由周期公式可得，故的最小正周期为，故A正确；
对于B：整体代换令可得对称轴方程为，因此的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C：，即为偶函数，不关于原点中心对称，故C错误；
对于D：当，此时单调递增，故D正确.
故选：BC.
12．函数的图象为，以下结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称；
B．图象关于点对称；
C．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
D．函数在区间内是增函数.
【答案】ABD
【分析】利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.
【详解】对于A，由，得，
所以的对称轴方程为，当时，，
所以图象关于直线对称，故A正确；
对于B，由，所以图象关于点对称，故B正确；
对于C，将的图象向右平移个单位长度可以得，故C错误；
对于D，由，得，
所以的递增区间为，
当时，为函数的一个增区间，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．将函数的图像向左平移，所得的曲线对应的函数解析式是______．
【答案】
【分析】结合已知条件利用函数的平移变换即可求解.
【详解】由函数的平移变换可知，
函数的图像向左平移后的解析式为，
故所求解析式为：.
故答案为：.
14．函数取最大值时的集合为________.
【答案】
【分析】根据正弦函数在（）处取得最大值，然后求解出方程即可
【详解】函数取得最大值时，可得：（）
解得： （）
故答案为：
15．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】首先求出，根据题意则有，解出即可.
【详解】当时，，
的图象在上恰有两个最大值点,
.
故答案为：.
16．若函数部分图像如图所示，则函数的图像可由的图像向左平移___________个单位得到.
【答案】
【分析】根据图像可确定，进而根据平移即可求解.
【详解】由图最高点可知,周期,所以可得最高点,故,将其代入，由于，故，
所以，故可由的图像向左平移个单位得到.
故答案为：
四、解答题
17．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域．
【答案】(1)，对称中心为，；
(2)
【分析】（1）结合函数的部分图象即可求得,即可求得解析式及对称中心.
（2）结合函数的伸缩偏移变换即可求得，结合三角函数的图象和性质即可求解值域.
【详解】（1）根据函数，，的部分图象，
可得，
，．
再由，，
故有．
根据图象可得，是的图象的一个对称中心，故函数的对称中心为，．
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的，可得的图象，
再向右平移个单位，得到的图象，
即，
结合，可得，故当，时，取得最大值，即；
当，时，取得最小值，即．故值域为．
18．已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式；
(2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解；
(2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解.
【详解】（1），
当时，，
因为，取，
，
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后，
，
（2）由（1）得，
，
不妨设或，显然
若，则在上必有偶数个零点，
所以中至少有一个为或，
不妨设，
当，则（舍）；
当，则，
此时在上有3个零点，
又，
即，
综上所述，．
19．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式以及单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，递增区间为，
(2)
【分析】（1）根据图象得到函数中，最小正周期，进而得到，再代入特殊点的坐标求出，得到解析式及递增区间；
（2）得到平移后的解析式，转化为与的图象在上有两个不同的交点，结合函数的单调性，且，，得到a的取值范围．
【详解】（1）设的最小正周期为T．
由题图得，，
因为，所以，解得．
所以，
将，即代入解析式得：，
结合图象可，，
，，又，
∴．
∴．
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，．
（2）将的图象向右平移单位长度得到的图象，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象．
∵方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点．
∵函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
∴，
即a的取值范围是．
20．已知函数（其中）的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）先根据图象变换的知识求得，然后结合三角恒等变换、同角三角函数的基本关系式的知识求得.
【详解】（1）由图可知，则，
，，
所以，
所以
（2）由（1）得，
将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，
得到函数，
，，
，
所以
.5.6函数专项练习
一、单选题
1．要得到的图象，只要将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．为了得到函数的图象，可将函数图象上的所有点（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
3．已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
5．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．对于函数，下列结论中，正确的是（ ）．
A．的图象是由的图象向右平移个长度单位而得到
B．的图象过点
C．的图象关于点对称，
D．的图象关于直线对称．
7．如图是函数的部分图象，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
二、多选题
9．已知函数，下列关于函数f(x)说法正确的是（ ）
A．最小正周期为π
B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称
D．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到函数f(x)的图象
10．下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（ ）
A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍
C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度
D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
11．已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．函数的图象关于原点中心对称
D．在上单调递增
12．函数的图象为，以下结论中正确的是（ ）
A．图象关于直线对称；
B．图象关于点对称；
C．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象；
D．函数在区间内是增函数.
三、填空题
13．将函数的图像向左平移，所得的曲线对应的函数解析式是______．
14．函数取最大值时的集合为________.
15．函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为___________.
16．若函数部分图像如图所示，则函数的图像可由的图像向左平移___________个单位得到.
四、解答题
17．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及对称中心；
(2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域．
18．已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.
(1)求函数与的解析式；
(2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点．
19．已知函数（，，）的部分图象如图所示．
(1)求的解析式以及单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
20．已知函数（其中）的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，当时，，求的值．
