向量的数乘与数量积
题型一 数量积的运算
【1】 已知|a|＝2，|b|＝5.
(1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若a、b夹角为60°，求a·b.
【解析】(1)当a∥b时，若a、b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10；
若a、b反向，则它们的夹角为180°.所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10.
(2)当a⊥b时，夹角为90°，所以a·b＝|a|·|b|·cos90°＝0.
(3)当a、b夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5.
【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______.
【答案】
【解析】由得
由得，所以
则
【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15 B．-13 C．13 D．14
【答案】C
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故答案为：C．
【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.
【答案】8
【解析】过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，可得D，E为AB，AC的中点，
则＝
＝×（25﹣9）＝8．
【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则 ．
【解析】 若，
则，即有0，
．
为边的三等分点，
则
．
【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴
【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______.
【答案】4
【解析】由题意，是的斜边上的高，所以，
可得，
因为
因为，所以，
所以
.
【8】如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点. ，点M在线段EF上，且满，则 ；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为 .
【答案】；
【解析】由题意得，，
所以，分别是以，的一个三等分点，，，
设，则
，
又，所以，解得，所以；
设，，，，
所以，
，
所以
，
因为，，所以，，
题型二、向量的夹角
【9】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|； ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
【解析】①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
【10】已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
即，所以.故选：D.
【11】非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得：，即，解得，
因此，，而，解得，
所以与的夹角为.故选：B
【12】设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.
【答案】
【解析】∵且与的夹角是，
∴，
，
设与的夹角为θ，则
又，∴，故与的夹角为.
【13】已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知：，即，
又，得，∴，
∴.
题型三、向量的模长
【14】若向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【答案】C
【解析】因为向量与的夹角为60°，，，
所以，即，
所以，解得或（舍），故选：C
【15】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
【解析】因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，所以||＝2.
【16】已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为
A. B. C.7 D.8
【答案】A
【解析】根据条件：；
．
【17】（多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】BD
，
因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，
即，，两两的夹角为或，
当夹角为时，
，，，
，
当夹角为时，
，，
，
，
所以或
【18】已知平面向量，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
（3），
所以，是向量和的夹角，
所以，
当时，.故选：A
【19】已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.
【答案】
【解析】
对，恒有，如示意图：
可得，所以
则
题型四、向量的投影
【20】已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B．-3 C．- D．
【答案】B
【解析】由,得,
,于是,因此在方向上的投影为.故选：B
【21】已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，
因为，，，
所以，
即，.
【22】已知，在方向上的投影为，在方向上的投影为，则与的夹角为_____.
【答案】120°
【解析】∵∴ 即∴
∴.∵，∴.
【23】设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A.－ B.－ C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，，
，
因此在方向上的投影为，故选：A.
【24】在中,则在方向上的投影为（ ）．
A．4 B．3 C．-4 D．5
【答案】C
【解析】对等式两边平方得，
，整理得，，则，
，
设向量与的夹角为，
所以，在方向上的投影为，向量的数乘与数量积
题型一 数量积的运算
【1】 已知|a|＝2，|b|＝5.
(1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若a、b夹角为60°，求a·b.
【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______.
【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（ ）
-15 B．-13
C．13 D．14
【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.
【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则 ．
【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________.
【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______.
【8】如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上. ，点M在线段EF上，且满，则 ；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为 .
题型二、向量的夹角
【9】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|； ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
【10】已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【11】非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【12】设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.
【13】已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型三、向量的模长
【14】若向量与的夹角为60°，，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【15】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.
【16】已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为
A. B. C.7 D.8
【17】（多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A． B．2 C． D．5
【18】已知平面向量，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【19】已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.
题型四、向量的投影
【20】已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）
A．3 B．-3 C．- D．
【21】已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ）
A. B. C. D.
【22】已知，在方向上的投影为，在方向上的投影为，则与的夹角为_____.
【23】设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A.－ B.－ C. D.
【24】在中,则在方向上的投影为（ ）．
A．4 B．3 C．-4 D．5
