5.7三角函数的应用专项练习解析版
一、单选题
1．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
故选：C
2．为了得到函数的图像，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
【答案】B
【分析】利用三角函数的周期公式进行判断.
【详解】 ，最小正周期变为原来的，
所以横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故A，C，D错误.
故选：B.
3．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A
【分析】根据最大值及半径求出A，根据周期求出ω.
【详解】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，则．故选:A
4．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A．290 B．291 C．292 D．293
【答案】B
【分析】设闰年个数为，根据闰年个数对应天数一致的原则建立关系式，求解即可.
【详解】解：，
所以一个回归年对应的天数为天
假设1200年中，设定闰年的个数为，则平年有个，
所以
解得：.
故选：B.
5．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
6．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦展开式化简得，求出的单调递减区间可判断A；求出函数在上的最小值可判断B；求出可判断C；利用图象平移规律和诱导公式可判断D.
【详解】，
由得，
所以的单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，当时，单调递减区间为，
当时，单调递减区间为，所以A错误；
当时， ，，
所以函数在上的最小值为，故B错误；
因为，函数的图象不关于直线对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位长度后，
得，故D正确.
故选：D.
7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由图像平移过程写出平移后的解析式，利用正弦函数的对称性求参数，最后由正弦型函数的单调性求区间最小值即可.
【详解】将向右平移个长度单位后，得到，
∵关于对称，
∴，
∴，即，
又，则，即，
由知：，则，
∴在上的最小值为.
故选：C.
8．从出生之日起，人的体力 情绪 智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲线)：
体力 情绪 智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（ ）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
【答案】A
【分析】由题知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为，进而根据周期性求解即可得答案.
【详解】解：由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为.
从同学甲出生到今日的天数为5850，
故对于体力，有，处于高潮期，体力充沛；
对于情绪，有，处于低潮期，心情烦躁；
对于智力，有，处于高潮期，思维敏捷；
故今日同学甲体力充沛，心情烦躁，思维敏捷.
故选：A
二、多选题
9．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
【答案】BCD
【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由该质点的振幅，可判定B正确；由简谐运动的特点，可判定C正确．
【详解】由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错，D正确；
该质点的振幅为5，所以B正确；
由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．
综上，BCD正确．
故选：BCD.
10．一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2．5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点）开始计时，以与底面的交点为坐标原点，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．OP旋转的角速度
B．摩天轮最低点离地面的高度为2米
C．点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为
D．点P第二次到达最高点需要的时间32秒
【答案】ABC
【分析】对选项A，根据角速度公式求解即可判断A正确.
对选项B，根据题意得到摩天轮最低点离地面的高度为（米），即可判断B正确.
对选项C，根据题意得到，再将代入即可判断C正确.
对选项D，根据点第二次到达最高的需要的时间是秒，即可判断D错误.
【详解】对于选项A，由题意可得，每分钟转动圈，
旋转的角速度（弧度/秒），故选项A正确；
对于选项B，因为摩天轮的半径为，
所以摩天轮最低点离地面的高度为（米），故选项B正确；
对于选项C，由题可知，
所以.
把代入中，则．又，所以，
所以，故选项C正确；
对于选项D，，求得，
所以（秒），根据摩天轮转一周需要（秒），
故点第二次到达最高的需要的时间是秒，故选项D错误，
故选：ABC．
11．已知函数（ ）
A．为的周期
B．对于任意，函数都满足
C．函数在上单调递减
D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】A.由函数周期定义判断是否满足；B根据诱导公式判断是否满足；C.根据定义域，化简函数，并判断函数的单调性；D.在一个周期内，分和两种情况讨论函数，并判断函数的最小值.
【详解】A.，即，所以为的周期，故A正确；
B.，，所以，故B正确；
C.当时，，此时，而 ，故C正确；
D.由A可知函数的周期是，所以只需考查一个周期函数的值域，设，
当时，，，
，即，
当时，，，
，即，所以时，的最小值为-1，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查诱导公式，周期性，函数的单调性和最值，属于中档题型.
12．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
【答案】BC
【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选:BC.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
三、填空题
13．如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面米时所用时间为______分钟.
【答案】20
【分析】设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为分钟，距离地面的距离为，根据题意求出，令，得或，由此可得结果.
【详解】设从最低处登上摩天轮后逆时针匀速转动的时间为分钟，因为每转一圈需要12分钟，则匀速转动分钟所转动的角为，
则距离地面的距离为米，
由，得，得，得或，即或，
故第1次距离地面米时所用时间为4分钟，第2次距离地面米时所用时间为8分钟，第3次距离地面米时所用时间为16分钟，第4次距离地面米时所用时间为20分钟.
故答案为：20
14．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为______．（答案精确到，参考数据）
【答案】
【分析】根据题意可计算得，再由计算即可.
【详解】因为，且天顶距，晷影长，
所以，
当晷影长度时，
所以
故答案为：
15．已知函数的表达式为若，则的所有可能值是________．
【答案】1或
【分析】对分类讨论代入即可求解.
【详解】由题知，，
，
，
当时，，
解得：或（舍）；
当时，，
解得：.
故答案为：1或.
16．已知函数的图像与轴的一个交点为，且与点相邻的一个最高点为，则当时，函数与函数的图像的所有交点的横坐标之和为______.
【答案】
【解析】首先根据题意求出，再数结合的函数图像，求得与函数的图像的所有交点的横坐标之和.
【详解】由题意可得：
，则，
所以，
由一个最高点为，则，
，
代入可得：，
由，可得：， ，
如图：与函数的图像的共有6个交点，
分别关于，所有交点的横坐标之和为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，考查了三角函数的周期、振幅等基本量的计算，同时考查了三角函数的对称性，主要方法是数形结合，属于中档题.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最小值及相应的值.
【答案】（1）（2）的最小值为，此时.
【分析】通过倍角公式，把化成标准形式，研究函数的相关性质(周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值及最值相对于的变量)，从而本题能顺利完成
【详解】（1）因为.
所以函数的最小正周期为.
（2）当时，，
此时，，，
所以的最小值为，此时.
【点睛】该类型考题关键是将化成性质，只有这样，我们才能很好的去研究他的性质.
18．已知函数，
（1）写出函数的周期；
（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性.
【答案】（1）；（2），奇函数
【分析】（1）由已知利用三角函数的周期公式直接求解即可；
（2）利用三角函数图像的变化规律得到的解析式，利用奇偶性的定义即可判断.
【详解】解：因为，
所以函数的周期,
（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数
，
因为，
所以函数为奇函数
【点睛】此题考查了函数的图像变化规律，三角函数的周期性及其求法，属于基础题.
19．如图，它表示电流，在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）在任意一段秒的时间内，电流既能取得最大值，又能取得最小值吗？
【答案】（1）；（2）不能.
【分析】(1)由图可知振幅、周期、零点，进而可得解析式；
(2)用 与周期比较即可.
【详解】（1）由题图知，，
∴，所以，
又是该函数图象的零点，
∴结合图形可得：，即，符合，
∴．
（2）不能．因为由（1）有，所以不可能．
20．某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；
【分析】（1）首先求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式；
（2）依题意令，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解；
【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以
（2）依题意令，即
所以
解得
因为
所以，又
即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时；5.7三角函数的应用专项练习
一、单选题
1．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A． B． C． D．
2．为了得到函数的图像，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
3．如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
4．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）.设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析.得到与近似满足.则每1200年中，要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为（ ）（精确到1）参考数据
A．290 B．291 C．292 D．293
5．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，那么下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在上的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位长度
7．若函数的图象向右平移个长度单位后关于点对称，则在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．从出生之日起，人的体力 情绪 智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示(均为正弦型曲线)：
体力 情绪 智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期(前半个周期)和低潮期(后半个周期)．它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5850，那么今日同学甲（ ）A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷
B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷
C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷
D．疲倦乏力，心情烦躁，反应迟钝
二、多选题
9．(多选题)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
10．一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米，已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2．5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮（图中点）开始计时，以与底面的交点为坐标原点，所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A．OP旋转的角速度
B．摩天轮最低点离地面的高度为2米
C．点P距离地面的高度h（米）与时间t（秒）的函数关系为
D．点P第二次到达最高点需要的时间32秒
11．已知函数（ ）
A．为的周期
B．对于任意，函数都满足
C．函数在上单调递减
D．的最小值为
12．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
三、填空题
13．如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心距离地面米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面米时所用时间为______分钟.
14．我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距为______．（答案精确到，参考数据）
15．已知函数的表达式为若，则的所有可能值是________．
16．已知函数的图像与轴的一个交点为，且与点相邻的一个最高点为，则当时，函数与函数的图像的所有交点的横坐标之和为______.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最小值及相应的值.
18．已知函数，
（1）写出函数的周期；
（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式，并判断函数的奇偶性.
19．如图，它表示电流，在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）在任意一段秒的时间内，电流既能取得最大值，又能取得最小值吗？
20．某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.
（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？
