4.2等差数列专项练习
一、单选题
1．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
5．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
6．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
7．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
二、多选题
9．已知等差数列的通项公式为，则（ ）
A． B． C． D．
10．(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
11．等差数列的前n项和为，若，公差，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
12．（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22
三、填空题
13．数列中，，，那么这个数列的通项公式是______．
14．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
15．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
16．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________．
四、解答题
17．已知等差数列的前三项依次为，，，求通项.
18．已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．为等差数列的前n项和，且记，其中是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前1111项和.4.2等差数列专项练习解析版
一、单选题
1．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】因为是公差为d的等差数列，且，
所以，
解得，
故选：C
2．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用求解.
【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，
所以.
故选：B
3．若等差数列和的前n项的和分别是和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和求和公式结合已知条件分析求解
【详解】因为等差数列和的前n项的和分别是和，且，
所以.
故选：B.
4．等差数列的前项和为，若，，则此数列中绝对值最小的项所在的项数为（ ）．
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．无法确定
【答案】C
【分析】由题意结合等差数列的性质可得，且，从而可求得答案
【详解】因为，，
由等差数列的性质可得，
所以，所以该数列的公差，
所以绝对值最小的项在0附近的项中取得，
因为，所以，
所以绝对值最小的项为，
故选：C
5．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.
【详解】设等差数列的公差为，
∵，∴，∴.
∵，，∴，
∴当取最大值时.
故选：D.
6．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10 B．11 C．20 D．21
【答案】C
【分析】由题结合等差数列的性质可得，，即可判断当时，的最大值.
【详解】由等差数列的性质，知，又，∴和异号．
∵数列的前项和有最大值，∴数列是递减的等差数列，∴，，
，，
∴当时的最大值为20．
故选：C.
7．已知是公差为的等差数列，前项和是，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】，，，，.
，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用等差数列的前项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
【答案】B
【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
二、多选题
9．已知等差数列的通项公式为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】代入可得；由可得.
【详解】令，则；
，公差.
故选：AD.
10．(多选)已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】BC
【分析】根据题意，可得a6＝0，根据公差d<0，可得a5>0，a7<0，分析即可得答案.
【详解】∵在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，
∴a3＋a9＝0，∴a6＝0.
又公差d<0，∴a5>0，a7<0，
∴使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是5或6.
故选：BC
11．等差数列的前n项和为，若，公差，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】对于A，由已知和等差中项的性质求得，再由等差数列求和公式可判断；
对于B，由已知得，继而得，，由此可判断；
对于C，由已知得，从而有，故而可判断；
对于D，由已知得，但不能确定是否为负，故而可判断．
【详解】解：对于A，因为，所以，即，所以，又，所以，故A错误；
对于B，由，得，得，
因为，，，
所以是中最大的项，故B正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，但不能确定是否为负，
因此不一定有，故D错误．
故选：BC．
【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和有如下性质：
（1）在二次函数的图象上，可以利用二次函数性质求得的最值；
（2），可由的正负确定与的大小；
（3），因此可由的正负确定的正负．
12．（多选）已知等差数列的前n项和为，公差，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22
【答案】AD
【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，可求得，，从而判断选项A和B；求得数列的通项公式后，解不等式，即可判断选项C；令，解出的范围，可判断选项D．
【详解】解：因为，所以，即①，
又，所以，所以，
因为，所以②，
由①②解得，，即选项A正确，B错误；
所以数列的通项公式为，
令，则，又，所以当或11时，取得最大值，即选项C错误；
令，则，
所以当时，n的最小值为22，即选项D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．数列中，，，那么这个数列的通项公式是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，判定数列是等差数列，再求出通项公式作答.
【详解】数列中，因，即，因此，数列是等差数列，公差d=3，
所以数列的通项公式是.
故答案为：
14．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式.
【详解】因为，，所以，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
故答案为：.
15．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．
【答案】.
【分析】先由，得，进一步得到，再分奇偶项来求通项公式即可．
【详解】因为，
所以，得．
所以当为奇数时，，
当为偶数时，．
又，，所以，
所以，，，…，，…构成以2为首项，2为公差的等差数列，
，，，…，，…构成以为首项，为公差的等差数列．
所以当是奇数时，；
当是偶数时，．
故数列的通项公式为．
故答案为：.
16．设数列的前n项和为，若，且是等差数列．则的值为__________．
【答案】52
【分析】根据给定条件求出，再求出数列的通项即可计算作答.
【详解】依题意，因是等差数列，则其公差，
于是得，，
当时，，而满足上式，
因此，，
所以.
故答案为：52
四、解答题
17．已知等差数列的前三项依次为，，，求通项.
【答案】
【分析】由等差中项公式及等差数列的定义，可求得等差数列的首项与公差，从而即可求解通项公式.
【详解】解：由题意，公差，且，解得，
所以等差数列的首项为，
所以.
18．已知等差数列的前项和满足，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，可得求出，从而可得的通项公式；
（2）由（1）可得，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求得
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，
因为，.
所以，化简得，解得，
所以，
（2）由（1）可知，
所以，
所以
【点睛】此题考查等差数列前项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题
19．已知数列的前项和．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）直接由前n项和与项的关系求解.（2）利用等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
显然时也满足，
所以．
（2）因为，
所以数列为等差数列，其前项和．
20．为等差数列的前n项和，且记，其中是高斯函数，表示不超过x的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前1111项和.
【答案】(1)
(2)2226
【分析】（1）求得等差数列的通项公式，即可求得的值；
（2）先得到数列的前9999项的通项公式，即可求得数列的前1111项和.
(1)
设的公差为d，据已知有，解得
所以的通项公式为
则
(2)
因为
所以数列的前项和为
