4.3等比数列专项练习解析版
一、单选题
1．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选：C
2．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【分析】利用等比中项可得，，因此，再结合，可得解
【详解】由，得，
由，得，所以，
所以．
故选：D
3．已知数列 的通项公式满足则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以判断，都是等比数列，进而求出通项公式，最后解出答案.
【详解】由题意，，则是以1为首项，为公比的等比数列，所以，
而，则是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，
所以.
故选：A.
4．已知等比数列中，，，则（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【详解】等比数列中，，，
则，解得，
故选：B．
5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，用基本量表示，化简可得，再表示，化简可得，代入即得解
【详解】设公比为q，∵，∴q≠1.
故选：B
6．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据规律可总结出第次操作去掉区间的长度和为，利用等比数列求和公式可求得去掉区间的长度总和，由此构造不等式求得结果.
【详解】第一次操作去掉的区间长度为；
第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；
第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；
以此类推，第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，
进行了第次操作后，去掉区间长度和，
由，即，，
又，的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据已知所给的规律总结出每次操作去掉的区间长度和成等比数列，并能得到等比数列通项公式.
7．在正项数列中，首项，且是直线上的点，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，代入点坐标进入直线方程可得，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列求和公式即得解
【详解】在正项数列中，，且是直线上的点，
可得，所以，
可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则的前项和.
故选：B
8．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
二、多选题
9．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C． D．
【答案】BD
【分析】根据已知条件判断的关系，结合等比数列的知识求得，从而确定正确选项.
【详解】依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
10．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比.
【详解】
数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
数列有连续四项在集合，，18，36，中
又数列是公比为的等比数列，
在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.
或.
故选：BD
11．下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（ ）．
A．（为常数） B．（为常数）
C． D．
【答案】ABD
【解析】根据等比数列定义、等比数列中项公式判定即可.
【详解】解：对于A. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；
对于B. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；
对于C. 根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；
对于D. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；
故选：ABD.
【点睛】
等比数列的有关概念：
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为；
（2）等比中项：如果成等比数列，那么是与的等比中项.即是与的等比中项成等比数列.注意：每一项不能为0.
12．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
【答案】ABD
【分析】根据已知条件求出等比数列的公比和首项，进而可以求得和；利用裂项相消法可得和，讨论数列的单调性，即可得出的范围.
【详解】A：由可得，所以等比数列的公比，所以.
由是与的等差中项，可得，即，解得，所以，所以A正确；
B：，所以B正确；
C：，所以C不正确；
D：所以数列是递增数列，得，所以，所以D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．在等比数列中，，则________.
【答案】4
【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.
【详解】设公比为，由，
得，
所以.
故答案为：4
14．设等比数列的前n项和为，若，，则______．
【答案】81
【分析】根据等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为，又，由等比数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为数列为等比数列，
由等比数列的性质可得，，，，…成等比数列，并设其公比为．
又由题意可得，，，所以，
所以．
故答案为：.
15．若a，b，这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的一组a，b的值__________.
【答案】a=1，b=4.
【分析】由a，b，这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列方程组，解出a、b的值.
【详解】可以取：a=1，b=4.
a，b，这三个数经适当排序后可成等差数列，可排为，a，b，则有：.
a，b，这三个数经适当排序后可成等比数列，可排为a，，b，则有：.
解得：a=1，b=4.
故答案为：a=1，b=4.
16．若数列{an}满足＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
【答案】32
【解析】由题得是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项求解.
【详解】由＝0可得an＋1＝an，
故{an}是公比为的等比数列，
故是公比为的等比数列，
则{bn}是公比为2的等比数列，
所以b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.
故答案为：32
【点睛】本题主要考查数列的新定义，考查等比数列的判定和通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题
17．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
18．已知等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，且，求m的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）利用等比数列的性质可求得公比，再由等比数列的通项公式即可得解；
（2）由等比数列求和公式按照、分类即可得解.
【详解】（1）因为在等比数列中，，
所以数列公比满足，所以，
当时，；当时，；
（2）当时，，解得；
当时，，无正整数解，不合题意；
综上，.
19．已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据前3项和为3，且，，成等比数列，列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，即可得答案；
（2）利用（1）的结论，可得数列是首项为，公比为9的等比数列，再利用等比数列求和公式可得答案.
【详解】（1）设的公差为，
因为等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列，
所以
解得
∴.
（2）∵，
∴，，
∴数列是首项为，公比为9的等比数列，
∴.
20．正项等比数列的前项和为，，若，，且点函数的图象上．
（1）求，通项公式；
（2）记，求的前项和．
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）利用等比数列基本量，转化为首项和公比的等式，再求，再由；（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）设数列的公比为，由题设可得，
解得：或（舍），，
故的通项公式为．
因为点在函数的图象上，所以，
所以．
（2）由题知，
∴
．
【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项和数列求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为， 4.分组转化法求和，适用于；5.倒序相加法求和.4.3等比数列专项练习
一、单选题
1．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问 其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
3．已知数列 的通项公式满足则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列中，，，则（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为(参考数据：，)（ ）
A． B． C． D．
7．在正项数列中，首项，且是直线上的点，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
8．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列 B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C． D．
10．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（ ）．
A．（为常数） B．（为常数）
C． D．
12．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
三、填空题
13．在等比数列中，，则________.
14．设等比数列的前n项和为，若，，则______．
15．若a，b，这三个数经适当排序后可成等差数列，也可适当排序后成等比数列，请写出满足题意的一组a，b的值__________.
16．若数列{an}满足＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．
四、解答题
17．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．已知等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，且，求m的值.
19．已知公差不为零的等差数列的前3项和为3，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．正项等比数列的前项和为，，若，，且点函数的图象上．
（1）求，通项公式；
（2）记，求的前项和．
