8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习
一、单选题
1．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ）
A．30 B．15 C．10 D．60
2．一件刚出土的珍费文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆（如图），要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用为（ ）
A．4500元 B．4000元 C．2880元 D．2380元
3．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
4．已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ ）
A．258 B．234 C．222 D．210
7．在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有一个三棱锥，其中一个面为边长为2的正三角形，有两个面为等腰直角三角形，则该几何体的体积可能是（ ）
A． B． C． D．
10．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．
若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）
A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为
12．如图，已知四棱锥中，底面，分别是的中点，且，记三棱锥的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知平行六面体各棱长均为，在由顶点出发的三条棱上，取，，，则棱锥的体积是该平行六面体体积的______.
14．某正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，则该棱台的体积为______．
15．如图，直四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过，，三点的平面记为，与平面的交点为．则此四棱柱被平面分成上、下两部分的体积之比为__．
16．给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个的四个顶点满足：（，2，3，4），则该正四面体的体积为_________．
四、解答题
17．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
18．正四棱台两底面边长分别为a和b(a（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
19．如图，四棱台，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且，，．
(1)求四棱台的侧面积；
(2)求四棱台的体积．
20．正三棱柱侧面展开图是边长为2和4的矩形，求它的表面积．
21．棱锥是生活中最常见的空间图形之一，譬如我们熟悉的埃及金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥.我国数学家很早就开始研究棱锥问题，公元一世纪左右成书的《九章算术》第五章中的第十二题，计算了正方锥、直方锥（阳马）、直三角锥（鳖臑）的体积，并给出了通用公式.公元三世纪中叶，数学家刘徽在给《九章算术》作的注中，运用极限思想证明了棱锥的体积公式.请你使用学过的相关知识，解决下列问题：如图，正三棱锥中，三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，侧棱长是3，底面内一点P到侧面的距离分别为x，y，z.
（1）求证：；
（2）若，试确定点P在底面内的位置.
22．正四棱台的下底边长，它的内切球半径为3．
（1）求正四棱台的表面积；
（2）求与底面所成角的正弦值.
参考答案
1--8BBCBC CBB
9．BCD 10．ACD 11．ACD 12．ACD
13．
14．
15．
16．
17．（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
18．解：（1）如图所示:
平面，侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，
，，．
分别取，的中点，，连接，．
则，．
斜高．
棱台的侧面积；
（2）棱台的侧面积等于两底面面积之和，
，
．
．
19．（1）设棱台是由棱锥截出的，如图，
棱台的侧面是全等的等腰梯形，则棱锥的侧面是全等的等腰三角形，显然侧棱都相等，
设是底面上与的交点，则是的中点也是中点，
所以，，则平面，正方形中心，因此是正棱锥，棱台是正棱台，
在侧面内过作于点，
则，
棱台的侧面积为侧＝；
（2）设是的中心，显然，
是直角梯形，，，
高，
棱台的体积为．
20．因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,
所以有以下两种情况：
当2是下底面的周长，4是正三棱柱的高时，
正三棱柱的表面积为；
当4是下底面的周长，2是正三棱柱的高时，
正三棱柱的表面积为；
故答案为：或.
21．（1）在正三棱锥中，SA，SB，SC两两垂直且AB=BC=CA，P为底面ABC内的一点，连接PA，PB，PC，PS，如图，可将原三棱锥分成三个三棱锥，
它们的高分别为，由，
即，
得
（2）由，得.
又，∴，∴，
当且仅当时取等号.
故当时，点P为正三角形的中心.
22．
（1）如图，做该正棱台的轴截面， 中， ，
所以 ，根据对称性， ，
故 所以 ，
正四棱台上底面是一个边长为 的正方形，
即
（2）正四棱台中，上下底面均为正方形，且侧棱长相等， 在底面的射影为 ，
所以 , 与底面所成角为 ,
,
, , .