4.1数列的概念专项练习
一、单选题
1．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列1，，5，，9，…，则该数列的第10项为（ ）
A． B． C．19 D．21
3．现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知数列中，，则数列中最大项的值是（ ）
A．107 B．108
C． D．109
5．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．数列满足性质：对于任意的正整数n，都成立，且，，则的最小值为（ ）
A．18 B．20 C．25 D．28
7．设数列前n项和为，已知，，则（ ）
A．410 B．408 C． D．
二、多选题
8．下列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
10．设数列满足，，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．已知数列中，，则_________．
12．如下表定义函数：
x 1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
对于数列，，，，3，4，…，则的值是______.
13．数列中，，，（为正整数），则______．
14．下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号）
四、解答题
15．根据数列的递推公式，写出它的前4项．
(1)
(2)
16．在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
17．已知数列满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
18．已知数列{an}的通项公式(k∈R).
（1）当k=1时，判断数列{an}的单调性；
（2）若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围.4.1数列的概念专项练习解析版
一、单选题
1．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以， 故选：C.
2．已知数列1，，5，，9，…，则该数列的第10项为（ ）
A． B． C．19 D．21
【答案】B
【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；
【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为，所以.
故选：B
3．现有下列说法：
①元素有三个以上的数集就是一个数列；
②数列1，1，1，1，…是无穷数列；
③每个数列都有通项公式；
④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；
⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．
其中正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.
【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确；
对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确；
对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为得到的不足近似值，
依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确；
对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等，
即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确；
对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，⑤不正确，
所以说法正确的个数是1.
故选：B
4．已知数列中，，则数列中最大项的值是（ ）
A．107 B．108
C． D．109
【答案】B
【分析】对数列的通项公式配方，然后根据二次函数的性质和数列的特点即可得到结果．
【详解】由题意可知
，
由于，
故当取距离最近的正整数时，取得最大值.
∴数列中的最大值为.
故选：B.
5．已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出数列的前5项，再由对勾函数的性质可得，的单调性，从而即可得最大值.
【详解】解：由，得，，，，．
又，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
故选：B．
6．数列满足性质：对于任意的正整数n，都成立，且，，则的最小值为（ ）
A．18 B．20 C．25 D．28
【答案】D
【分析】令，根据得到，再由累加法得到，结合求解.
【详解】令，
由得，即.
又，，即，，
∴，
即，
∴.
故选：D.
7．设数列前n项和为，已知，，则（ ）
A．410 B．408 C． D．
【答案】A
【分析】求出推出周期为4，即可求得前820项的和.
【详解】由已知得：
所以数列是周期为的数列，
.
故选：A
二、多选题
8．下列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据递增数列的定义判断．
【详解】A．令，则，是递增数列，正确；
B．令，则，，不合题意，错；
C．令，则，符合题意．正确；
D．令，则，，不合题意．错．
故选：AC．
9．下列四个选项中，正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
【答案】AD
【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．
【详解】解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；
对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；
对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；
对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．
故选：AD.
10．设数列满足，，数列的前项积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】通过迭代可以发现数列是以3为周期的周期数列，逐一判断四个选项即可
【详解】由题意知，，，，，
.
由此可知数列是以3为周期的周期数列.即
故.
故选：ABC.
三、填空题
11．已知数列中，，则_________．
【答案】
【分析】由求出，，，确定数列为循环数列，最小正周期为3，从而求出.
【详解】因为，所以，，
，……，
所以数列为循环数列，最小正周期为3，
故.
故答案为：-2
12．如下表定义函数：
x 1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
对于数列，，，，3，4，…，则的值是______.
【答案】5
【分析】先根据求出前几项，得出周期，利用周期性求解.
【详解】根据题意，，，，
所以周期为4，而，所以.
故答案为：5
13．数列中，，，（为正整数），则______．
【答案】
【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.
【详解】令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
令，则
数列为周期为的周期数列
.
故答案为：.
14．下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号）
【答案】⑤
【分析】由数列中的项有序的特点可知①②错误；验证数列中的项可知③错误；由常数列定义知④错误；由知⑤正确.
【详解】对于①，数列中的项是有序的，，，，与，，，项的排序不同，不是相同数列，①错误；
对于②，表示集合，其中元素无序；数列，，，，各项是有序的，不可以用来表示，②错误；
对于③，当时，，不是该数列的一个通项公式，③错误；
对于④，常数列是指各项均为同一常数的数列，④错误；
对于⑤，若，则，，数列是严格递增数列，⑤正确.
故答案为：⑤.
四、解答题
15．根据数列的递推公式，写出它的前4项．
(1)
(2)
【答案】(1)1，1，1，1；
(2)1，1，2，3.
【分析】运用代入法进行求解（1）（2）即可；
【详解】（1）因为，
所以，
所以该数列的前4项为1，1，1，1；
（2）因为，，
所以，
所以该数列的前4项为1，1，2，3.
16．在数列中，.
（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？
（2）求数列中的最大项.
【答案】（1）是，；（2）
【分析】（1）设，解方程，看是否为正整数即可．
（2）将看成二次函数，利用二次函数的最值来求．
【详解】（1）令，
解得或（舍去）.所以
（2），
由于，所以最大项为
【点睛】本题考查已知项求项数，注意项数要为整数，另外将数列的最值转化为函数的最值，解题会更加简单．
17．已知数列满足．
(1)写出数列的前3项；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据数列递推式可求得其前3项；
（2）由由可得,两式相减即可求得答案.
（1）
由数列满足，可得：时， ；
当时，；当时，；
（2）
由可得，
两式相减可得 ，也适合该式，
故数列的通项公式.
18．已知数列{an}的通项公式(k∈R).
（1）当k=1时，判断数列{an}的单调性；
（2）若数列{an}是递减数列，求实数k的取值范围.
【答案】（1）数列{an}是递增数列；（2）k<0.
【分析】（1）已知数列的通项公式，可以通过比较数列的相邻两项an与an+1的大小来确定数列的单调性；
（2）可根据数列是递减数列，得出an与an+1的大小关系，从而确定k的取值范围.
【详解】解：（1）当k=1时，an=，所以an+1=，
所以an+1-an=>0，
故数列{an}是递增数列.
（2）若数列{an}是递减数列，则an+1-an<0恒成立，
即an+1-an=<0恒成立.
因为(2n+5)(2n+3)>0，所以必有3k<0，故k<0.
