5.1导数的概念及几何意义
5.2导数的运算
强化训练
一、选择题
1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
2、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为( )
A．2π B．π C． D．
3、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是( )
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是( )
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
5、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝( )
A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x
6、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则( )
A.f(0)C.f(0)>f(4) D.以上都不对
7、已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
8、曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0
C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0
9、函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0
C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0
10、已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
11、函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
12、已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B.(3，＋∞)
C. D.(0，3)
13、(多选)下列导数的运算中正确的是( )
A.(3x)′＝3xln 3
B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝
D.(sin xcos x)′＝cos 2x
14、(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
15、(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x
二、填空题
16、曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________．
17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(8018、若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.
19、曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________.
20、过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为________.
21、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.
22、设函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过P(2，4)的切线方程为________.
23、设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________.
24、已知函数f(x)＝x2＋xln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________.
25、已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.
三、解答题
27、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
28、已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
29、设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
30、已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.5.1导数的概念及几何意义
5.2导数的运算
强化训练（答案）
一、选择题
1、一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( D )
A．－3 B．3 C．6 D．－6
2、现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V(单位：L)与直径d(单位：dm)的关系式为V＝d3，估计当d＝1 dm时，气球体积的瞬时变化率为( C )
A．2π B．π C． D．
3、如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是( D )
A．[x1，x2] B．[x2，x3]
C．[x1，x3] D．[x3，x4]
4、已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则下列说法中错误的是( C )
A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
5、已知f(x)＝cos 2x＋e2x，则f′(x)＝( A )
A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x
C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x
6、若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则( B )
A.f(0)C.f(0)>f(4) D.以上都不对
7、已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( B )
8、曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( A )
A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0
C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0
9、函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( C )
A.2x＋y＋e－4＝0 B.2x＋y－e＋4＝0
C.2x－y＋e－4＝0 D.2x－y－e＋4＝0
10、已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( D )
A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1
C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
11、函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是( B )
A.(－∞，2] B.(－∞，2)
C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
12、已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( A )
A. B.(3，＋∞)
C. D.(0，3)
13、(多选)下列导数的运算中正确的是( ABD )
A.(3x)′＝3xln 3
B.(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝
D.(sin xcos x)′＝cos 2x
14、(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( BCD )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
15、(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是( AC )
A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x
二、填空题
16、曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝____－2____．
17、日常生活中的饮用水通常都是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用会不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(8018、若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝____－____.
19、曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为___ y＝5x＋2_____.
20、过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为___y＝0或27x－4y＝0_____.
21、曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____2x－y＝0____.
22、设函数f(x)＝x3＋，则曲线y＝f(x)过P(2，4)的切线方程为___x－y＋2＝0或4x－y－4＝0_____.
23、设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝___1_____.
24、已知函数f(x)＝x2＋xln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝___ _____.
25、已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝____0____.
在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是__(e，1)______.
三、解答题
27、求下列函数的导数.
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；
(3)y＝；(4)y＝xsincos.
解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′
＝－.
(3)y′＝′＝
＝－.
(4)∵y＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
28、已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.
所以a的取值范围为
∪.
29、设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
30、已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
解 (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则xx2；
令f′(x)<0，则x1所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增.
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；
当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1).
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
由解得或
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).
