4.5函数的应用(二)专项练习
一、单选题
1．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
4．设的零点为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知函数若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A．-1 B． C． D．
6．已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，下列命题中正确的是（ ）
A．时， B．函数有3个零点
C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是或
9．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点
D．方程有两个实数解
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递减
C．的最大值为 D．是的一个零点
11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
31 23
则一定包含的零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．设函数 ，方程有四个不相等的实数根，由小到大分别为，，，，则的取值范围为___________．
13．函数的零点，则整数的值为______.
14．函数的零点为_________．
四、解答题
15．已知函数
(1)求函数的零点；
(2)求函数在区间上的值域.
16．已知2与是函数（）的两个零点．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
17．某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为（单位：百台），其总成本为（单位：万元）（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入（单位：万元）满足.设工厂利润为（利润=销售收入-总成本），假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：
(1)求的解析式
(2)要使工厂有盈利，产量应控制在什么范围内？
(3)工厂生产多少台产品时，盈利最大？
18．某商场预计全年分批购入每台价值2000元的电视机共3600台，每批都购入台，且每批均需付运费400元.且购入电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，其中比例系数为．若每批购入400台则全年所付保管费和运输费之和为43600元．
(1)求正比例系数的值；
(2)若商场希望全年所付保管费和运输费之和最少，应分几批购入？并求此时的费用，4.5函数的应用（二）专项练习解析版
一、单选题
1．函数的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.
【详解】易判断在递增，.
由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.故选:D.
2．函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数零点存在原理进行判断即可.
【详解】由题意得的图象是一条连续不断的曲线，是增函数．
因为，
所以零点所在的区间是．故选：B
3．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】解：因为函数都是增函数，
所以函数都是增函数，
又，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，所以函数的零点为，即，
所以.故选：C.
4．设的零点为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据题意，由零点存在定理可知函数的零点所在区间为，从而得到结果.
【详解】因为函数的零点所在的区间是，
再根据
，即
由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为，所以，故选:B
5．已知函数若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
【详解】作出函数，的图象如下，
因为关于的方程有5个不同的实根，
所以关于的一元二次方程有两个不同的根，
且满足，，或，，或，，
令，则的两根满足，时，
令，
，即，解得．
若的两根满足，，则，此时或，不符合要求，舍去，
若的两根满足，，则，此时或符合要求，
综上，故选：C
6．已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式画出函数的图象，将方程根的个数转化成函数图象交点的个数，再利用一元二次函数根的分布即可求得参数的取值范围.
【详解】由函数的解析式画出函数图象如下：
若方程有6个不同的实数根，
令，结合图象可知与函数的图象有三个交点，则；
等价于关于的一元二次方程在上有两个不同的实数根，
所以需满足，解得，
即的取值范围是. 故选：C
7．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.
【详解】因为和均为增函数，
所以为定义域上的增函数，
又因为，，，，，
根据零点存在定理可知的零点在区间内，故选：C
二、多选题
8．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，下列命题中正确的是（ ）
A．时， B．函数有3个零点
C．在区间上单调递增 D．不等式的解集是或
【答案】AB
【分析】A选项，根据奇偶性和时的解析式，求出时的解析式；
B选项，先求出时的函数零点，结合奇偶性得到时的零点，共3个零点；
C选项，当时，，配方后得到单调性，C错误；
D选项，分别在与时，解不等式，求出解集.
【详解】因为当时，，
所以当时，，，
因为函数是定义域为R的奇函数，
所以，即，
所以，
故时，，A正确；
时，令，解得：或0，
根据函数为R上的奇函数，所以，
所以共有3个零点，B正确；
当时，，故在上单调递减，C错误；
当时，令，解得：，当时，令，解得：，
综上：不等式的解集是或，D错误，故选：AB
9．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．函数是定义域上的增函数
C．函数有个零点
D．方程有两个实数解
【答案】AC
【分析】直接计算的值，可判断A选项；利用函数的单调性可判断B选项；解方程可判断C选项；解方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，因为函数在上不单调，故函数在定义域上不单调，B错；
对于C选项，当时，由，可得，
当时，由，可得.
综上所述，函数有个零点，C对；
对于D选项，当时，由可得，
当时，由，可得，解得或.
综上所述，方程有三个实数解，D错. 故选：AC.
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数 B．在上单调递减
C．的最大值为 D．是的一个零点
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.
【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为定义域上的偶函数，A选项正确；
令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当时，为减函数；
在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误；
由函数单调性可知，最大值为，C选项正确；
，解得，则的零点为，D选项错误.故选：AC.
11．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5
31 23
则一定包含的零点的区间是（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，，，
根据零点存在性定理可知，函数的零点的区间是．故选：ACD
三、填空题
12．设函数 ，方程有四个不相等的实数根，由小到大分别为，，，，则的取值范围为___________．
【答案】
【分析】不防令，由题意的图象是关于对称的，可得．助于的图象可以得到，之间的关系，最终将表示成的函数，根据函数的单调性求最值即可．
【详解】时，，在与上的图象关于对称，
作出图象如图：不妨令，
可得，，，
，，，
，
设，，故在单调递增，
，故的取值范围为 ，故答案为：．
13．函数的零点，则整数的值为______.
【答案】2
【分析】利用函数零点的存在性定理分析求解即可．
【详解】函数，
因为，，
又函数在R上为单调递增函数，
所以存在唯一的零点，
又零点，
所以．故答案为：2．
14．函数的零点为_________．
【答案】或4
【分析】直接令解方程即可.
【详解】令，
得，解得或4，故答案为：或4.
四、解答题
15．已知函数
(1)求函数的零点；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)零点为4和16；(2)
【分析】(1)根据零点的定义和对数的运算求解即可；
(2)换元法，求二次函数在给定区间的值域.
【详解】（1）令，解得或，
由解得，由解得，因此函数的零点为4和16.
（2）
令 ，
则
由，
所以时，y有最小值
所以当时，，当时，，
所以,因此，函数的值域为.
16．已知2与是函数（）的两个零点．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）把零点代入函数，求出，得到函数解析式，可求的值；
（2）把（1）中的结果代入不等式，利用分类讨论解高次不等式.
【详解】（1）因为2与是函数的两个零点，
所以，解得，，所， 所以．
（2）由（1）得，
所以，即．
若，则，得，所以；
若，则，得或，所以．
综上可得原不等式的解集为．
17．某工厂生产某种产品的固定成本为3万元，该工厂每生产100台该产品的生产成本为1万元，设该产品的产量为（单位：百台），其总成本为（单位：万元）（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入（单位：万元）满足.设工厂利润为（利润=销售收入-总成本），假定该产品产销平衡，根据上述信息求下列问题：
(1)求的解析式
(2)要使工厂有盈利，产量应控制在什么范围内？
(3)工厂生产多少台产品时，盈利最大？
【答案】(1)； (2)； (3)当生产百台时，盈利最大
【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求得正确答案.
（2）由求得的范围.
（3）结合二次函数的性质、函数的单调性求得正确答案.
【详解】（1），
.
（2）当时，由，
得，解得.
当时，由，解得.
所以应控制的范围是.
（3）当时，，开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为.
当时，，所以当生产百台时，盈利最大.
18．某商场预计全年分批购入每台价值2000元的电视机共3600台，每批都购入台，且每批均需付运费400元.且购入电视机全年所付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，其中比例系数为．若每批购入400台则全年所付保管费和运输费之和为43600元．
(1)求正比例系数的值；
(2)若商场希望全年所付保管费和运输费之和最少，应分几批购入？并求此时的费用，
【答案】(1)；(2)分20批购入全年所付保管费和运输费之和最少，此时的费用为24000元．
【分析】（1）根据每批购入400台则全年所付保管费和运输费之和即得；
（2）设每批都购入台，可得全年所付保管费和运输费之和，然后利用基本不等式即得.
【详解】（1）当时，，解得；
（2）设每批都购入台，则共批，
所以全年所付保管费和运输费之和为：
，
当且仅当，即时取等号，
故分20批购入时，全年所付保管费和运输费之和最少，此时的费用为24000元．
