学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数的概念及其计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解导数的概念及几何意义； 掌握几个基本函数的导函数求法及导数的基本运算法则； 会求函数过定点的切线方程。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
(
知识梳理
) 一、导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 二、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 求函数的增量：； 求平均变化率：； 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 三、导数几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割 线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 五、基本初等函数的导数 基本初等函数导数特别地常数函数，幂函数，指数函数对数函数正弦函数 余弦函数
六、和、差、积、商的导数 七、复合函数的求导法则：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为。 (
典例分析
) 考点一：求平均变化率 例1、求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率． 例2、已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ． 考点二：用定义求导函数 例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 例2、设函数在点x0处可导，则________。 考点三：利用公式求导函数 例1、求下列各函数的导数： （1）y=； （2）y=（x+1）（x+2）（x+3）； （3）y=-sin(1-2cos2)； 例2、求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点四：求曲线的切线方程 例1、已知直线是曲线的切线，则的值为（ ） A． e B．–e C． D． 例2、已知函数f(x)＝xlnx，过点A 作函数y＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________． 例3、已知曲线y=x3+． （1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程． 考点五：利用导数求解析式中的参数 例1、若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 例2、已知直线与曲线相切，则的值为 ． 例3、已知抛物线通过点，切在点处与直线相切，求的值．
P(Practice-Oriented)——实战演练
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实战演练
) 课堂狙击 1．若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时= ． 2．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ． 3．若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 ． 4．曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 ． 5．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 ． 6．已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条． 7．曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ． 8．若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 ． 9．求下列函数在x=x0处的导数． （1）f（x）=cosx·sin2x+cos3x，x0=； （2）f（x）=，x0=2； （3）f（x）=，x0=1． 10．求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离． 11．设函数f(x)=ax+（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3． （1）求f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 12．偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式． 课后反击 1． 设，若，则a=（ ） A．2 B．－2 C．3 D．不确定 2．在曲线上切线的倾斜角为的点是( ) A．(0,0) B．(2,4) C． D． 3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)直击高考
) 1．【新课标III】已知为偶函数，当 时，，则曲线在 处的切线方程式_____________________________. 2．【天津】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ． 3．【新课标1】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 4．【陕西】函数在其极值点处的切线方程为____________. 5．【安徽卷】若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线： ②直线在点处“切过”曲线： ③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线： ⑤直线在点处“切过”曲线：
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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重点回顾
) 一、导数的概念 要点诠释： ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。 ② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。 即存在一个常数与无限接近。 ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。 二、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 求函数的增量：； 求平均变化率：； 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 三、导数几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 五、基本初等函数的导数 1．常数函数的导数为0，即=0（为常数）．其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于轴． 2．有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即． 3．在数学中，“”表示以为底数的对数；“”表示以10为底的常用对数． 4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 六、和、差、积、商的导数 1． 上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2．两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：且（v≠0）． (
学霸经验
) 本节课我学到了 我需要努力的地方是学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高二 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
授课主题 导数的概念及其计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 理解导数的概念及几何意义； 掌握几个基本函数的导函数求法及导数的基本运算法则； 会求函数过定点的切线方程。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
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知识梳理
) 一、导数的概念 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作 二、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 求函数的增量：； 求平均变化率：； 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 三、导数几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割 线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 换一种表述： 曲线上一点及其附近一点， 经过点、作曲线的割线， 则有。 四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 五、基本初等函数的导数 基本初等函数导数特别地常数函数，幂函数，指数函数对数函数正弦函数 余弦函数
六、和、差、积、商的导数 七、复合函数的求导法则：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为。 (
典例分析
) 考点一：求平均变化率 例1、求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率． 【解析】 ∵Δy= ==， ∴=． 例2、已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ． 【解析】 ∵ ， ∴ 考点二：用定义求导函数 例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 【解析】∵ ∴ ∴。 例2、设函数在点x0处可导，则________。 【解析】 原式 。 考点三：利用公式求导函数 例1、求下列各函数的导数： （1）y=； （2）y=（x+1）（x+2）（x+3）； （3）y=-sin(1-2cos2)； 【解析】（1）∵y==x+x3+， ∴y′=（x）′+(x3)′+(x-2sinx)′ =-x+3x2-2x-3sinx+x-2cosx． （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6， ∴y′=3x2+12x+11． 方法二 y′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′ =［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2） =（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2） =（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11． （3）∵y=-sin(-cos)=sinx， ∴y′=(sinx) ′= （sinx）′=cosx． 例2、求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1） ． （2）． （3）∵，∴． （4） ． 考点四：求曲线的切线方程 例1、已知直线是曲线的切线，则的值为（ ） A． e B．–e C． D． 【解析】设切点，的导数为， ∴切线的斜率，显然， 代入中得，再代入中得，∴，∴．故选C。 例2、已知函数f(x)＝xlnx，过点A 作函数y＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________． 【解析】设切点T(x0，y0)，则kAT＝f′(x0)，∴＝lnx0＋1，即e2x0＋lnx0＋1＝0，设h(x)＝e2x＋lnx＋1，当x>0时h′(x)>0，∴h(x)是单调递增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根．又h ＝e2×＋ln＋1＝0，∴x0＝．由f′(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0． 例3、已知曲线y=x3+． （1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程． 【解析】（1）∵y′=x2, ∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4． ∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0． （2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点 A(x0，x03+)，则切线的斜率 k=y′|=x02． ∴切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0), 即y=x02·x-x03+． ∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+, 即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0, ∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0． 考点五：利用导数求解析式中的参数 例1、若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【解析】由题意得，因为为奇函数，那么，则，，，那么曲线在点处的切线方程为． 例2、已知直线与曲线相切，则的值为 ． 【解析】根据题意，求得，从而求得切点为，该点在切线上，得，即． 例3、已知抛物线通过点，切在点处与直线相切，求的值． 【解析】因为通过点，所以， 又，曲线过点的切线的斜率为， 曲线过点，所以有， 联立，解之得 所以得值分别为。
P(Practice-Oriented)——实战演练
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实战演练
) 课堂狙击 1．若f′（x0）=2，则当k无限趋近于0时= ． 【解析】-1 2．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= ． 【解析】-2 3．若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是 ． 【解析】 4．曲线y=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是 ． 【解析】5x+y-2=0 5．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 ． 【解析】（1，0） 6．已知曲线S:y=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有 条． 【解析】3 7．曲线y=和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ． 【解析】 8．若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是 ． 【解析】 9．求下列函数在x=x0处的导数． （1）f（x）=cosx·sin2x+cos3x，x0=； （2）f（x）=，x0=2； （3）f（x）=，x0=1． 【解析】（1）∵f′(x)=［cosx(sin2x+cos2x)］′=(cosx)′=-sinx, ∴f′（）=-． (2)∵f′(x)= = =,∴f′(2)=0． (3)∵f′(x)=(x)′-x′+(lnx)′=-x-1+,∴f′(1)=- ． 10．求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离． 【解析】设曲线上过点P（x0,y0）的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′|= =|==2． 解得x0=1,所以y0=0,即点P（1，0）， 点P到直线2x-y+3=0的距离为, ∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是． 11．设函数f(x)=ax+（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3． （1）求f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 【解析】（1）f′(x)=a-,于是 解得或 因为a,b∈Z,故f(x)=x+． （2）证明 ：在曲线上任取一点（x0,x0+）, 由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为 y-=(x-x0)． 令x=1,得y=, 切线与直线x=1的交点为; 令y=x,得y=2x0-1, 切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 |2x0-1-1|=|2x0-2|=2． 所以,所围三角形的面积为定值2． 12．偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式． 【解析】∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1． ① 又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）． 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e． ∴b=0，d=0． ② ∴f（x）=ax4+cx2+1． ∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2， ∴可得切点为（1，-1）． ∴a+c+1=-1． ③ ∵f′（1）=（4ax3+2cx）|x=1=4a+2c， ∴4a+2c=1． ④ 由③④得a=，c=-． ∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=x4-x2+1． 课后反击 1． 设，若，则a=（ ） A．2 B．－2 C．3 D．不确定 【解析】，∴a=2，故选A。 2．在曲线上切线的倾斜角为的点是( ) A．(0,0) B．(2,4) C． D． 【解析】易求y′＝2x，设在点P(x0，)处切线的倾斜角为，则2x0＝1， ∴x0＝，∴D． 3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)f′(xB)．选A。 4．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则及分别为( ) A．3,3 B．3，－1 C．－1,3 D．－1，－1 【解析】由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B． 5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴斜交 【解析】由导数的几何意义知B正确，故应选B． 6．设函数可导，则等于（ ） A． B．不存在 C． D．以上都不对 【解析】 由导数的定义知，。故选C。 7．曲线上有两点A（4，0）、B（2，4）。求： （1）割线AB的斜率及AB所在直线的方程； （2）在曲线上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由。 【解析】（1）∵， ∴割线AB所在直线方程是y=―2(x―4)， 即2x+y―8=0。 （2）由导数定义可知y＇=―2x+4，―2x+4=―2， ∴x=3，y=－32+3×4=3。 ∴在曲线上存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行，C点坐标为（3，3）， 所求切线方程为2x+y－9=0。 (
直击高考
) 1．【新课标III】已知为偶函数，当 时，，则曲线在 处的切线方程式_____________________________. 【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即． 2．【天津】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为 ． 【解析】因为 ,所以. 3．【新课标1】已知函数的图像在点的处的切线过点，则 . 【解析】∵，∴，即切线斜率， 又∵，∴切点为（1，），∵切线过（2,7），∴，解得1. 4．【陕西】函数在其极值点处的切线方程为____________. 【解析】 5．【安徽卷】若直线与曲线满足下列两个条件： 直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线在点处“切过”曲线： ②直线在点处“切过”曲线： ③直线在点处“切过”曲线： ④直线在点处“切过”曲线： ⑤直线在点处“切过”曲线： 【解析】①③④
S(Summary-Embedded)——归纳总结
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重点回顾
) 一、导数的概念 要点诠释： ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。 ② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。 即存在一个常数与无限接近。 ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。 二、求导数的方法： 求导数值的一般步骤： 求函数的增量：； 求平均变化率：； 求极限，得导数：。 也可称为三步法求导数。 三、导数几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 四、曲线的切线 （1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： ①求出切点的坐标; ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程 （2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。 在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点， 求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。 五、基本初等函数的导数 1．常数函数的导数为0，即=0（为常数）．其几何意义是曲线（为常数）在任意点处的切线平行于轴． 2．有理数幂函数的导数等于幂指数与自变量的（－1）次幂的乘积，即． 3．在数学中，“”表示以为底数的对数；“”表示以10为底的常用对数． 4．基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 六、和、差、积、商的导数 1． 上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2．两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分． （2）注意：且（v≠0）． (
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) 本节课我学到了 我需要努力的地方是
